Добрый день. Могли бы проверить задачу (пункты 2, 3), а также сказать, верно ли моё утверждение в п. 1 ?
1) Верно ли, что если у нас есть матрица `X` и известны её СЧ `lambda_1..lambda_n`, то для матрицы `X-m*E` собственные числа `lambda_1-m, ..., lambda_n-m`?
И следует это из представления матрицы в собственном базисе?
Дальше сама задача:
2) Задача: доказать, что функции `det(X), det(X-E), det(X+E)` на пространстве комплексных матриц 3x3 линейно независимы.
Я сначала говорю, что если мы представим матрицу `X` в собственном базисе, то её определитель не поменяется, поэтому `det(X) = lambda_1 * lambda_2 * lambda_3`
Значит `det(X-E) = (lambda_1-1) * (lambda_2-1) * (lambda_3-1)` Аналогично `det(X+E)= (lambda_1+1) * (lambda_2+1) * (lambda_3+1)`
Дальше я просто составляю систему: `c_1 * det(X) + c_2 * det(X+E) + c_3 * det(X-E)=0`, решаю систему, получаю нетривиальное решение => доказано
3) Докажите, что найдется такое натруальное `m`, что `det(X-mE), det(X-(m-1)E)...det(X+mE)` линейно зависимы (матрица X - по-прежнему 3x3). Тут я просто взял m=4, выписал как и в пункте a) и получил, что система имеет только решение `c_i=0`
1) Верно ли, что если у нас есть матрица `X` и известны её СЧ `lambda_1..lambda_n`, то для матрицы `X-m*E` собственные числа `lambda_1-m, ..., lambda_n-m`?
И следует это из представления матрицы в собственном базисе?
Дальше сама задача:
2) Задача: доказать, что функции `det(X), det(X-E), det(X+E)` на пространстве комплексных матриц 3x3 линейно независимы.
Я сначала говорю, что если мы представим матрицу `X` в собственном базисе, то её определитель не поменяется, поэтому `det(X) = lambda_1 * lambda_2 * lambda_3`
Значит `det(X-E) = (lambda_1-1) * (lambda_2-1) * (lambda_3-1)` Аналогично `det(X+E)= (lambda_1+1) * (lambda_2+1) * (lambda_3+1)`
Дальше я просто составляю систему: `c_1 * det(X) + c_2 * det(X+E) + c_3 * det(X-E)=0`, решаю систему, получаю нетривиальное решение => доказано
3) Докажите, что найдется такое натруальное `m`, что `det(X-mE), det(X-(m-1)E)...det(X+mE)` линейно зависимы (матрица X - по-прежнему 3x3). Тут я просто взял m=4, выписал как и в пункте a) и получил, что система имеет только решение `c_i=0`
-
-
01.07.2018 в 16:27по-моему, это просто следует из определения собственных чисел...
уравнение `det(X - \lambda*E) = 0` имеет решения `\lambda_1, ldots, \lambda_n`... тогда `det((X - m*E) - \mu*E) = 0 \ \ iff \ \ det(X - (m + \mu)*E) = 0`, то есть `\lambda_k = m + \mu_k` ...
Могли бы проверить задачу (пункты 2, 3)
какая-то путаница с понятием линейной зависимости/независимости...
2) ... решаю систему, получаю нетривиальное решение - наличие нетривиальной линейной комбинации означает зависимость функций...
3) ... и получил, что система имеет только решение `c_i = 0` - а тут наоборот, независимость...
-
-
01.07.2018 в 16:29По поводу пункта 1 - да, ваше решение выглядит более наглядным, спасибо
-
-
01.07.2018 в 16:48в условии или решении?...
спасибо
welcome...
-
-
02.07.2018 в 10:33В решении