Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Математическая олимпиада в Латвии
Республиканская олимпиада школьников по математике Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный. Лучшие участники каждого этапа приглашаются к участию в следующем этапе. Школьникам предлагаются разные комплекты заданий для каждого класса. Школьники 9-12 классов принимают участи во всех этапах, школьники 5-8 классов только в первых двух. Первое соревнование по решению задач в Латвии состоялось в 1945-46 году. Регулярно подобные соревнования проводятся с 1949-50 учебного года. Республиканская олимпиада: задачи |  |
-
-
20.05.2018 в 19:329 класс
1. Сумма 63 различных натуральных чисел равна 2017. Найдите эти числа и обоснуйте, что других нет!
обсуждение
2. На прямой выбраны точки $P,$ $Q,$ $R$ и $S$ так, что $PQ = RS$ (см. рис.). Отрезки $PQ,$ $RS,$ $PS,$ $QR$ --- диаметры кругов. Прямая $MN$ --- ось симметрии закрашенной области. Докажите, что площадь закрашенной области равна площади круга с диаметром $MN.$
обсуждение
3. Все цифры в десятичной записи натурального числа заменили на буквы, одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, разные --- разными и получили $GANGA.$ Известно, что при делении $GANGA$ на 7 в остатке получается $A,$ при делении $GANGA$ на 11 в остатке получается $N,$ при делении $GANGA$ на 13 в остатке получается $G,$ кроме того, $G > A > N.$ Каким может быть оригинальное число?
обсуждение
4. Докажите, что $x^4 - x^2 - 3x + 4 > 0$ выполняется для всех действительных $x.$
обсуждение
5. Каждый из шаров, лежащих в коробке, окрашен в один из $N$ цветов и на каждом шаре написано натуральное число не превосходящее $N.$ Известно, что каждый из $N$ цветов использован не менее одного раза и каждое натуральное число, не превосходящее $N,$ написано не менее одного раза. При каких значениях $N$ в коробке можно будет найти $N$ окрашенных в разные цвета шаров, на которых будут $N$ разных чисел?
обсуждение
10 класс
1. Дано, что $b$ и $c$ --- натуральные числа и что квадратное уравнение $x^2 - bx + c = 0$ имеет действительные корни $x_1$ и $x_2.$ Докажите, что a) $x_1^2 + x_2^2 + 2017;$ b) $x_1^3 + x_2^3$ --- натуральные числа.
обсуждение
2. Дано простое число, десятичная запись которого содержит по меньшей мере 4 различные цифры. Докажите, что его цифры можно переставить в другом порядке так, чтобы полученное число не было простым.
обсуждение
3. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega_1$ и середины всех сторон $ABCD$ лежат на окружности $\omega_2.$ Докажите, что $\angle ABD + \angle BDC = 90^\circ.$
обсуждение
4. Есть 40 карточек, на двух из них написано число 1, еще на двух --- число 2, \ldots, еще на двух --- число 20. Какое наибольшее возможное количество комплектов возможно одновременно создать из этих 40 карточек так, чтобы в каждом комплекте было три карточки и сумма всех чисел комплекта была равна 21?
обсуждение
5. Шесть туристов совершили несколько поездок в шесть стран, во время одной поездки каждый турист посещал только одну страну. Оказалось, что если выбрать любые три из этих стран, а также любых трех туристов, то, по крайней мере, один из них был в одной из этих стран. Чему равно наименьшее возможное общее количество поездок?
обсуждение
11 класс
1. Сколько всего пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
обсуждение
2. Какое из чисел $(\sqrt{7})^{\sqrt{5}}$ или $(\sqrt{5})^{\sqrt{7}}$ больше?
обсуждение
3. Три окружности $\omega_1,$ $\omega_2$ и $\omega_3$ пересекаются в точке $O.$ Попарно они пересекаются в точках $P(\omega_1\ \text{и}\ \omega_2),$ $R(\omega_2\ \text{и}\ \omega_3)$ и $S(\omega_1\ \text{и}\ \omega_3).$ На окружности $\omega_1$ выбрана точка $A,$ принадлежащая дуге $PS,$ не содержащей точку $O,$ прямая $AP$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $B,$ и прямая $AS$ повторно пересекает $\omega_3$ в точке $C.$ Докажите, что точки $B,$ $R$ un $C$ лежат на одной прямой.
обсуждение
4. Докажите, что из любых 17 натуральных чисел можно выбрать 9 чисел так, чтобы их сумма делилась на 9.
обсуждение
5. На окружности отмечены $N$ точек, которые являются вершинами правильного $N$-угольника. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру: Они по очереди проводят хорды, соединяющие пару отмеченных точек, так чтобы хорды не пересекались (за исключением их концов). Выигрывает тот игрок, который первым получает треугольник. Какой игрок может выиграть, если $A$ начинает игру и a) $N = 14;$ b) $N = 15?$
обсуждение
12 класс
1. Даны такие числа $a$ и $b$ и $c$, что $a + c = \frac{b}{3},$ кроме того, ни одно из чисел $a$ и $b,$ $c$ не равно 0. Докажите, что график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $x$ на промежутке $[-1; 1]$.
обсуждение
2. Докажите, что $\sqrt{x^2 + y^2} + (2 - \sqrt{2})\sqrt{xy} \geq x + y,$ если $x$ и $y$ --- положительные действительные числа.
обсуждение
3. Дан прямоугольник $ABCD.$ На прямой $BD$ выбрана точка $E$ так, что $D$ лежит между $B$ и $E.$ На прямой $EC$ выбрана точка $F$ так, что $BF$ параллельна $AC.$ Докажите, что площадь треугольника $BEF$ больше площади прямоугольника $ABCD$.
обсуждение
4. Назовем натуральное число красивым, если сумма всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) нечётна. Найдите наименьшее натуральное число $k$ такое, что среди любых $k$ красивых чисел можно выбрать два различных числа, произведение которых будет квадратом натурального числа.
обсуждение
5. В некоторой стране из депутатов парламента создаются 100 комиссий. Каждый депутат обязан работать по крайней мере в одной комиссии, но депутаты могут работать и в нескольких комиссиях. Каждый депутат за работу в комиссиях ежемесячно получает вознаграждение по такому принципу:
$\bullet$ за работу в первой комиссии не выплачивается заработная плата;
$\bullet$ за работу в каждой следующей комиссии платится за 10 евро больше, чем за работу в предыдущей комиссии (то есть, за работу во второй комиссии выплачивается 10 евро, за работу в третьей комиссии платят 20 евро и т. д.).
Известно, что в составе любых двух различных комиссий есть ровно один общий депутат, который работает в обеих. Насколько велика общая ежемесячная заработная плата всех депутатов за работу в комиссиях?
обсуждение