Не простое

[wpoms.]

Дано простое число, десятичная запись которого содержит по меньшей мере 4 различные цифры. Докажите, что его цифры можно переставить в другом порядке так, чтобы полученное число не было простым.

@темы: Теория чисел

Comments

[Trotil]

1) Если среди этих цифр окажутся 0,2,4,5,6,8 - утверждение очевидно.
2) Рассмотрим перестановки чисел 1,3,7,9
1379 mod 7 = 0
3179 mod 7 = 1
3971 mod 7 = 2
7913 mod 7 = 3
1397 mod 7 = 4
3197 mod 7 = 5
7391 mod 7 = 6

Следовательно, одно из чисел с произвольным началом и с окончанием на четыре цифры из списка тоже будет делиться на 7...

[Trotil]

Трёх различных цифр, тоже, похоже, достаточно.
Но доказательство будет длиннее.

[VEk]

Можно было указать, что сумма цифр 1, 3, 7, 9 равна 20 и образует две группы с суммой 10. Поэтому всегда можно получить число, делящееся на 11.

[All_ex]

VEk, Поэтому всегда можно получить число, делящееся на 11.
а если цифр разное количество? например, 13379 - перестановка цифр вроде не даст деления на 11... ...
или я не прав?...

[VEk]

Почему-то решил , что цифр ровно 4. Подумаю.

[VEk]

Кстати, перестановка 13739=11*1249.

[All_ex]

Кстати, перестановка 13739=11*1249.
про это не подумал...