Тригонометрическое уравнение

[yapogajiva]

`(2*cos^2(x)-cos(x))/(sqrt(sin(x)))=0 `
Решите уравнение и найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[-pi/2;2pi]`
Одз x≠pi*n
Можно дробь умножить на sqrt(sin(x))>0
Получается cos(x)(2cos(x)-1)=0
X=pi/2+pi*n
X=±pi/3+2pi*k
На данном промежутке 11 корней, верно?

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ

---

[MisteryS]

Найти все решения уравнения
`cosz=3i/4`


В интернете нашла подобное задание, но оно было решено без введения экспоненты.

Я решила через экспоненту, но ответ не сошелся. Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так

@темы: Комплексные числа

---

[wpoms.]

Ник хочет написать вокруг окружности 100 целых чисел от 1 до 100 в некотором порядке без повторений так, чтобы они удовлетворяли условию: сумма 100 расстояний при движении по часовой стрелке между каждым числом и следующим за ним в направлении обхода равна 198. Определите, сколькими способами Ник может упорядочить эти 100 чисел для достижения своей цели? Пояснение: Расстоянием между числами $a$ и $b$ называется $|a-b|.$

@темы: Комбинаторика

---

Найти сумму ряда

[alligator76]

Здравствуйте!

Требуется найти сумму ряда `sum_(n=1)^infty 1/((2n-15)(2n+15))` с точностью до 0,001.

Во-первых, меня смущает то, что первые несколько членов ряда отрицательные, а уже затем идут положительные члены.

Во-вторых, у меня не получается оценить сверху остаток ряда:

`r_n=int_(n+1)^infty dx/(4x^2-225)`

Не совсем понимаю, как его оценить...
Прошу помощи.

@темы: Ряды

---

Задачи питерской олимпиады 2016-17

[wpoms.]

и некоторые решения.

Файл раньше был размещен на сайте Аничкова, сейчас что-то не могу найти.

rgho.st/64vrnfBVt

@темы: Олимпиадные задачи

---

Сумма ряда

[alligator76]

Здравствуйте!

Сколько нужно взять слагаемых ряда `sum_(n=1)^infty 1/(n!)`, чтобы получить его сумму с точностью 0,01.

Я получаю:


`sum_(n=1)^infty 1/(n!)=1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+...+1/(n!)+r_n`

Вопрос только в том, чтобы оценить остаток `r_n`.

Не могу сообразить, как это сделать в случае обратного факториала.

Прошу помощи.

@темы: Ряды

---

Теория массового обслуживания

[alligator76]

Здравствуйте!

Столкнулся со следующей задачей:

Коммутационная система колл-центра позволяет выстраивать неограниченную по количеству очередь клиентов, но имеет ограничение по времени ожидания в очереди: после истечения времени Т соединение с заявкой, ожидающей обслуживания, обрывается. Из-за загруженности колл-центра в данный час при помощи указанного правила принудительно удаляются из очереди в среднем 16% клиентов. Какова вероятность, что клиент проведет в очереди время, не превышающее 4Т?

Не совсем понимаю вопрос. Если после истечения времени Т соединение с заявкой обрывается, то как клиент может прождать на линии 2Т или 3Т?

Мне раньше приходилось решать задачи по ТМО, где просто применялась формула Пуассона. Но как ее применить здесь, не понимаю...

Перечитал массу литературы по ТМО, еще больше запутался.

Прошу помощи.

@темы: Теория вероятностей

---

Построение графика незамкнутого эллипса

[blackhawkjkee]

Здравствуйте, хочу разобраться как вывести формулу для построения графика незамкнутого эллипса.
Нужный мне график я нарисовал на картинке ниже.
Изучал все это дело года 3 назад, но не думал что это может понадобится в личных целях. Теперь вот жалею :c

График

@темы: Векторная алгебра

---

Нерешаемый интеграл

[alligator76]

Здравствуйте!

Задача следующая:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

`x=-1, x=1, y=0, y=1/(x^2+1), z=0, z=1/(e^x+1)`.

Вычисляю тройной интеграл:

`V=int_(-1)^1 dx int_0^(1/(x^2+1)) dy int_0^(1/(e^x+1)) dz = int_(-1)^1 dx/((x^2+1)(e^x+1)) `

У меня не получается вычислить получившийся интеграл. Wolframalpha тоже пишет, что этот интеграл не разрешим в элементарных функциях.

Прошу помощи.

@темы: Интегралы

---

Угол - это место, где я провёл часть своего детства

[wpoms.]

Точка $D$ на стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана так, что $AD = AC.$ Пусть $P$ и $Q$ будут, соответственно, основаниями перпендикуляров, опущенных из $C$ и $D$ на сторону $AB.$ Известно, что $AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2$. Найдите величину угла $ABC.$

@темы: Планиметрия

---

Неравенство

[yapogajiva]

Здравствуйте, подскажите, пожалуйста, как решить следующее задание:
1.Решить неравенство -2(x^2)sin2x>=x^2.
x^2+4x^2sinx*cosx<=0
x^2(1+2sin(2x))<=0
Нули:
x1=0
x2=pi*n-7/12pi
x3=pi*n-pi/12

@темы: Тригонометрия, ЕГЭ, Иррациональные уравнения (неравенства)

---

Показательно-степенное уравнение

[alligator76]

Доброго времени суток!

Требуется решить уравнение:

`(x-3)^(x^2+x)=(x-3)^(7x-5)`

Насколько мне известно, показательно-степенные уравнения решают в предположении, что основание степени положительно. В данном случае `x-3>0`.

Но при решении квадратного уравнения `x^2+x=7x-5` получаем корень `x=1`, который не входит в ОДЗ, но является корнем исходного уравнения, так как `-2^2=-2^2`.

Так же получаем корень `x=3`, не входящий в ОДЗ, если приравниваем основание степени к нулю (но насколько я понимаю, это допустимо)

Прошу помощи разобраться, можно ли указывать корни `x=1` и `x=3` в ответе.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

Геометрический смысл производной

[yapogajiva]

Парабола является графиком производной функции y=f(x). Сколько точек экстремума имеет функция y=f(x)?

@темы: Производная, Касательная

---

Геометрический смысл производной

[yapogajiva]

К параболе y=2x^2-5x+3 через начало координат проведены две касательные с угловыми коэффициентами k1 и k2. Найдите произведение k1*k2.

y'=4x-5
Xв=1.25
Как найти k1 и k2?

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, ЕГЭ, Касательная

---

Метод максимального правдоподобия

[alligator76]

Добрый день!
Задание следующее:

Результаты 100 независимых наблюдений представлены в виде вариационного ряда:

`x_i` 1 2 3 4 5 6 7

`n_i` 5 10 20 35 10 15 5

Считая, что случайная величина Х распределена по закону с плотностью
`f(x)=2a^2xe^(-a^2x^2)`, `x>=0`

Найти оценку параметра `a` по методу максимального правдоподобия.

Раньше я решал подобные задачи, но в них была только дискретная случайная величина `x_1, x_2, ..., x_k`.
В таком случае функция правдоподобия была равна

`L(x_1,...,x_k,a)=f(x_1,a)...f(x_k,a)`.

Но здесь мы имеем вариационный ряд. Интуиция подсказывает, что должно быть так:

`L(n_1x_1,...,n_kx_k,a)=f(n_1x_1,a)...f(n_kx_k,a)`.

Верны ли мои догадки?

@темы: Теория вероятностей

---

Level up

[wpoms.]

Юлиан пишет в клетки доски размером $1\times100$ все целые числа от 1 до 100 включительно в некотором порядке, без повторений. Из каждых трех последовательных клеток он отмечает клетку, в которой записано среднее по величине число из трёх чисел, записанных в этих клетках. Например, если в трёх клетках записаны числа 7, 99 и 22, то он отметит клетку с числом 22. Пусть $S$ будет суммой чисел в отмеченных клетках. Найдите минимальное значение, которое может принимать $S.$ Пояснение. Каждое число из отмеченных клеток суммируется однократно, но клетки могут отмечаться более одного раза.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Биномиальные коэффициенты

[rom7]

Прошу подсказать,

Дано выражение

7С20 - 8С20 + 9С20 - 10С20 +....+19С20 - 20С20

Запись не очень нормальная. Имеются ввиду биномиальные коэффициенты из комбинаторики.

Интуитивно чувствую, что надо применить вторую формулу
mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000504/pic/490_07.jpg

т.к. знаки чередующиеся.

Я пришел к тому, что данное выражение равно
0C20 - 1C20 + 2C20 - 3C20 + 4C20 - 5C20 + 6C20

А дальше тупик(

@темы: Комбинаторика

---

Игра

[wpoms.]

Алекс и Биби играют в игру. Алекс выбирает натуральное число $k$ меньшее или равное 1000. Затем Биби составляет коллекцию $B,$ содержащую более $k$ целых чисел из диапазона от 0 до 1000 включительно, числа в коллекции могут повторятся. После этого Алекс многократно применяет к $B$ такую операцию: он выбирает $k$ чисел из $B$ и меняет их. Каждое выбранное число $b$ он заменяет на число $b+1,$ если $b$ меньше $1000,$ и заменяет $b$ на 0, если $b = 1000.$ Алекс выигрывает, если после выполнения нескольких операций все числа в коллекции $B$ станут равными 0, если он не сможет добиться этого результата, то выиграет Биби. Найдите все $k$ такие, что Алекс сможет гарантированно выиграть, вне зависимости от выбора Биби чисел для коллекции.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Две равномерные случайные величины

[alligator76]

Добрый день!
Задача следующая:

Случайные величины `xi` и `eta` независимы и распределены по равномерным законам `R(0,1)` и `R(1,2)` соответственно. Найдите плотность распределения случайной величины `zeta=5xi+3` и дисперсию `D(5xi+3eta)` .

Мне кажется, что авторы задачи допустили опечатку в том месте, где просят найти плотность распределения случайной величины `zeta=5xi+3`, а не случайной величины `zeta=5xi+3eta`. Ну ладно, будем решать так, как есть.

С дисперсией проблем у меня не возникло. Я нашел дисперсии у обоих равномерных величин по формуле для дисперсии равномерного распределения `DX=(b-a)^2/12` и применил свойство дисперсии:

`D(5xi+3eta)=5^2D(xi)+3^2D(eta)=25*1/12+9*1/12=17/6`

А вот как быть с плотностью вероятности, не знаю. Прошу помощи.

@темы: Теория вероятностей

---

Турнир городов. Осень. Сложный вариант

[wpoms.]

Турнир городов. Осень. Сложный вариант

8-9 классы

Задача 1.
Имеется железная гиря в 6 кг, сахар и невесомые пакеты в неограниченном количестве, а также нестандартные весы с двумя чашами: весы находятся в равновесии, если грузы на левой и правой чашах относятся как 3:4. За одно взвешивание можно положить на весы любые уже имеющиеся грузы и добавить на одну из чаш пакет с таким количеством сахара, чтобы чаши уравновесились (такие пакеты с сахаром можно использовать при дальнейших взвешиваниях). Удастся ли отмерить 1 кг сахара?

Задача 2.
Даны две монеты радиуса 1 см, две монеты радиуса 2 см и две монеты радиуса 3 см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за июль, на сколько — за август, и на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на x процентов, курс падал на x процентов, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Задача 4.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.

Задача 5.
Цифры натурального числа $n > 1$ записали в обратном порядке и результат умножили на $n.$ Могло ли получиться число, записываемое только единицами?

Задача 6.
Вписанная окружность касается сторон $AB,$ $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $N,$ $K$ и $M$ соответственно. Прямые $MN$ и $MK$ пересекают биссектрису внешнего угла $B$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что прямые $RK$ и $SN$ пересекаются на вписанной окружности треугольника $ABC.$

Задача 7.
Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседних по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесенном доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры а) $20 \times 20$ клеток; б) $50 \times 90$ клеток?

10-11 классы

Задача 1.
Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток.

Задача 2.
Дан правильный шестиугольник с центром $O.$ Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника такие, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины $\alpha$ с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна $6\alpha.$

Задача 3.
Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов изменится курс за октябрь, на сколько — за ноябрь, ..., на сколько — за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на $x$ процентов, курс падал на $x$ процентов, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

Задача 4.
Покажите, что для любой последовательности $a_0,$ $a_1,$ ..., $a_n,$ ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k,$ что
$|a_0 \cdot a1 \cdot ... \cdot a_k + a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_{k+1} + ... + a_n \cdot a_{n+1} \cdot ... \cdot a_{n+k}| = 2017.$

Задача 5.
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: 1) вначале режем сыр на 2 куска, затем один из них режем на 2 куска, затем один из трёх кусков опять режем на 2 куска, и т.д.; 2) после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса любой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R.$

а) Докажите, что при $R = 0{,}5$ можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если $R > 0{,}5,$ то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если $R = 0{,}6?$

Задача 6.
Дан треугольник $ABC.$ Пусть $I$ — центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB,$ а $A_1$ и $B_1$ — точки её касания с продолжениями сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $IC,$ а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N.$ Докажите, что точки $N,$ $B_1,$ $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

Задача 7.
Город имеет вид квадрата $n \times n,$ разбитого на кварталы $1 \times 1.$ Улицы идут с севера на юг и с запада на восток. Человек каждый день утром идёт из юго-западного угла в северо-восточный, двигаясь только на север или восток, а вечером возвращается обратно, двигаясь только на юг или запад. Каждое утро он выбирает свой путь так, чтобы суммарная длина знакомых участков пути (тех, которые он уже проходил в том или ином направлении) была минимальна, и каждый вечер тоже. Докажите, что за $n$ дней он пройдёт все улицы целиком.

@темы: Порешаем?!