Уравнения, неравенства, параметры, ЕГЭ 2016, 6 июня

[wpoms]

Уравнения, неравенства, параметры, ЕГЭ 2016, 6 июня

а) Решите уравнение `2cos2x=4sin(pi/2+x)+1`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-5pi/2; -pi]`

а) Решите уравнение `cos 2x + 1= `sqrt2 `cos(x-pi/2)`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[2pi;7pi/2]`

а) Решите уравнение `2cos^2 x=-5sqrt 3 cos+9
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[pi;5pi/2]`

а) Решите уравнение `2log_(3^2)(2cosx)-5log_3(2cosx)+2=0`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[pi;5pi/2]`

---

Решите неравенство `(x-3)*log_(x+4) (x-3) * log_5(x+4)^2 <= 0.`

Решите неравенство `(4^(x+1)-9*2^x-19)/(4^(x+1)-9*2^x+2) + (4*2^x-7)/(2^x-3) <= (5*2^(x+2))/(4*2^x-1).`

Решите неравенство `log_(12x^2-5x-2) (4x+1) <= 0.`

Решите неравенство `2^x - 6 - (9*2^x-37)/(4^x-7*2^x+12) <= 1/(2^x-4).`

Решите неравенство `2log_((x^2+6x+10)^2) (4x^2-3x-7) <= log_(x^2+6x+10) (3x^2+5).`

Решите неравенство `log_(x/2) (x^2-2x+1) >= 2.`

Решите неравенство `8^x - 4*4^x + (9*4^x-288)/(2^x-9) >= 32.`

---

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `2^x-a=sqrt(4^x-2a)` имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `sqrt(3x^2+2ax+1)=x^2+ax+1` имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `sqrt(x^4-x^2+a^2)=x^2+x-a` имеет ровно три различных корня.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `sqrt(2^x-a)+(a-2)/(sqrt(2^x-a)) = 1` имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых система уравнений `{(x(x^2+y^2+y-2)=|x|(y+2)),(y=x+a):}` имеет ровно три решения.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `(x^3+x^2-9a^2x-2x+a)/(x^3-9a^2x)=1` имеет ровно один корень.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `(x-2a)/(x+2) + (x-1)/(x-a) =1` имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых уравнение `sqrt(x) + sqrt(2a-x) = a` имеет ровно два различных корня.

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства, Задачи с параметром, ЕГЭ, Логарифмические уравнения (неравенства), Иррациональные уравнения (неравенства)

---

Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

[wpoms]

Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

В правильной призме `A\dots C_1` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `AA_1` равно 3. На ребре `B_1C_1` отмечена точка `L` так, что `B_1L=1`. Точки `K` и `M` --- середины рёбер `AB` и `A_1C_1` соответственно. Плоскость
`\gamma` параллельна прямой `AC` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `M`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.


В основании прямой призмы `A\dots C_1` лежит прямоугольный `Delta ABC (/_ C=90^{\circ}, AC=4, BC=16; A A_1=4sqrt2)`. Точка `Q` --- середина ребра `B_1A_1`. Точка `P` делит ребро `B_1C_1` в отношении 1:2, считая от `C_1`. Плоскость `APQ` пересекает ребро `C C_1` в точке `M`.
а) Докажите, что `M` --- середина `C C_1`.
б) Найдите расстояние от точки `A_1` до плоскости `APQ`.

В правильной призме `A\dots D_1` сторона основания `AB` равна 8, а боковое ребро `A A_1` равно 4. На ребрах `BC` и `D_1C_1` отмечены точки `K` и `L` так, что `BK=4, C_1L=6`. Плоскость `\gamma` параллельна прямой `BD` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `AC_1` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `C_1`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.

В правильной пирамиде `SABC` сторона основания равна 12, а высота равна 1. На рёбрах `AB, AC` и `AS` отмечены точки `M,N` и `K` соответственно, причём `AM=AN=3` и `AK=7/4`.
а) Докажите, что `MNK\parallel SBC`.
б) Найдите расстояние от точки `K` до плоскости `SBC`.

В правильной пирамиде `SABCD` сторона основания равна 16, а высота равна 4. На рёбрах `AB, CD` и `AS` отмечены точки `M,N` и `K` соответственно, причём `AM=DN=4` и `AK=3`.
а) Докажите, что `MNK\parallel SBC`.
б) Найдите расстояние от точки `K` до плоскости `SBC`.

В правильной пирамиде `SABCD` боковое ребро `SA=\sqrt5`, а высота `SH=\sqrt3`. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `CD` и `AB`. Точка `N` --- вершина пирамиды `NSCD`, `NT` --- её высота.
а) Докажите, что точка `T` делит `SM` пополам.
б) Найдите расстояние между прямыми `NT` и `SC`.

---

В трапеции `ABCD` боковая сторона `AB` перпендикулярна основаниям. Из точки `A` на сторону `CD` опустили перпендикуляр `AH`. На стороне `AB` отмечена точка `E` так, что прямые `CD` и `CE` перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые `BH` и `ED` параллельны.
б) Найдите отношение `BH:ED`, если `/_ BCD=135^{circ}`.

В трапеции `ABCD` точка `E` --- середина основания `AD`, точка `M` --- середина боковой стороны `AB`. Отрезки `CE` и `DM` пересекаются в точке `O`.
а) Докажите, что площади четырёхугольника `AMOE` и треугольника `COD` равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника `AMOE`, если `BC=3, AD=4`.

В треугольнике `ABC` проведены высоты `AK` и `CM`. На них из точек `M` и `K` опущены перпендикуляры `ME` и `KH` соответственно.
а) Докажите, что прямые `EH` и `AC` параллельны.
б) Найдите отношение `EH:AC`, если `/_ ABC = 30^{circ}`

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1` и `C C_1`. Из точек `A_1` и `C_1` к отрезкам `C C_1` и `A A_1` проведены высоты `A_1L` и `C_1K`.
а) Докажите, что отрезок `KL` параллелен `AC`.
б) Найдите отношение `KL:AC`, если угол `B` задан. Ответ: `KL:AC=cos^2(B).

Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырёхугольника, делит его площадь пополам, а другой в отношении 11:17.
а) Докажите, что данный четырёхугольник --- трапеция.
б) Найдите отношение оснований этой трапеции.

Квадрат `ABCD` вписан в окружность. Хорда `CE` пересекает диагональ `BD` в точке `K`.
а) Докажите что `CK*CE=AB*CD`.
б) Найдите отношение `CK:KE`, если `/_ ECD = 15^{circ}`.

В окружность вписан квадрат `ABCD`. Через середины сторон `BC` и `CD` проведена хорда `MK` окружности.
а) Доказать, что треугольник `AMK` – равносторонний;
б) Найти площадь треугольника, если радиус окружности равен 2.

Дан треугольник `ABC` с углом `/_ ABC=60^{circ}`, в него вписана окружность, на стороне `AC` точка касания `M`.
А) Докажите, что `BM` не больше утроенного радиуса вписанной окружности.
Б) Найдите `sin(BMC)`, если `BM=2.5r`.

Окружность касается стороны АС остроугольного треугольника АВС и делит каждую из сторон АВ и ВС на 3 равные части.
а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
б) В каком отношении высота этого треугольника делит сторону ВС?

@темы: Планиметрия, Стереометрия, ЕГЭ

---

Привести к интегралу Эйлера

[IWannaBeTheVeryBest]

`int_{0}^{\infty} ((sqrt(x)*lnx)dx)/(1 + x)`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`

@темы: Математический анализ

---

Вычислить интегралы. 2

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Хотел, чтобы проверили. И у меня еще есть вопрос.
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^2`
Воспользоватся тем, что `int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2) = (pi*e^(-|y|))/2` (интеграл Лапласа)
Решение.
`(dI)/(dy) = -int_{0}^{\infty} (xsin(yx)dx)/(1 + x^2)^2 = |u = sin(xy); dv = -xdx/(1 + x^2)^2| = sin(xy)/(2(1 + x^2))|_{0}^{\infty} - y/2 * int_{0}^{\infty} (cos(xy) dx)/(1 + x^2) = `
`= -y/2 * pi/2 * e^{-|y|} = pi/4 * (-ye^{-|y|})`
Тогда
`I = pi/4 int -ye^{-|y|} dy = pi/4 * e^{-|y|} + C`
Константу можно определить как
`I(0) = int_{0}^{\infty} dx/(1 + x^2)^2 = pi/4`
`I = pi/4 * (e^{-|y|} + 1)`
Я только вот здесь не понимаю, каким образом определяется константа. Мы можем любое значение под интеграл подставлять? Лишь бы могли его вычислить? Не обязательно же константу определять, как `I(0)`? Или нужно, чтобы интеграл превращался в 0? Ну просто в моем случае, я думаю это верно, так как 0 будет гарантировать, что в числителе у меня будет точно 1. А вообще есть какое-то правило, по которому надо определять эту константу? Или без разницы?
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^3`
Здесь было написано тоже решить. Но мне кажется, что он просто сводится к предыдущему дифференцированием по параметру. Верно?

@темы: Математический анализ

---

Вычислить интегралы.

[IWannaBeTheVeryBest]

`int_{0}^{\infty} ((x - sinx)dx)/x^3`
Вычитал про них из Фихтенгольца. Хотя может дальше про них что-то еще сказано... Но пока вот что я сделал
1) Разбиваем интеграл на 2 части
`int_{0}^{1} + int_{1}^{\infty}`
2) Подбираем ряд для подынтегральной функции
`sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 1))/((2n - 1)!)`
`x - sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n + 1))/((2n + 1)!)`
`(x - sinx)/x^3 = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!)`
Этот ряд сходится равномерно только при `|x| < 1`. То есть в нашем случае мы имеем право таким образом, применяя ряд, интегрировать только первый интеграл.
Первый интеграл будет равен `sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!*(2n - 1))` если не ошибаюсь.
Что делать со вторым? Там где-то вроде еще была замена `x = 1/z`. Может прокатит? Там как раз пределы интегрирования поменяются. Или так просто ничего не изменится?
И еще один
`int_{0}^{1} ((x^(n - 1) - 1)dx)/lnx`
Тут мне просто не понятно, что за n. Вроде не сказано, что это параметр из какой-то области. Может просто типа константа любая. Однако я что-то не могу здесь применить способ решения через ряды? Какой-то другой здесь используется? Хотя можно попробовать от логарифма в знаменателе избавиться с помощью замены вроде `x = e^t`.
Очень удобные тогда будут в этом случае пределы интегрирования. На них экспоненциальный ряд точно сходится равномерно.

@темы: Математический анализ

---

Единственное решение

[wpoms.]

Пусть `c_1, c_2, ldots ,c_n, b_1, b_2, ldots ,b_n \ \ (n\geq 2)` - положительные действительные числа. Докажите, что `sum_{i = 1}^{n} c_i*sqrt{x_i - b_i} = 1/2*\sum_{i = 1}^{n} x_i` имеет единственное решение `(x_1, ldots ,x_n)` тогда и только тогда, когда `sum_{i = 1}^{n} c_i^2 = sum_{i = 1}^{n} b_i`.

@темы: Системы НЕлинейных уравнений

---

Доказать устойчивость нулевого решения по определению

[IWannaBeTheVeryBest]

Не люблю, когда прилетают нестандартные задачи, о которых в интернете мало что сказано.
Доказать по определению, что нулевое решение ДУ `x' = -3x` ассимптотически устойчиво.
Все, что я находил про устойчивость касалось исключительно систем. Я так понимаю, что передо мною стоит задача опустить условия для систем на одиночное ДУ.
Не хочу доказывать асс. уст-ть, пока не докажу обычную. Хотя может этого и не требуется делать.
Определение должно быть таким
Решение `y = \varphi(x)` является устойчивым по Ляпунову, если для любого `\epsilon > 0` существует такая `\delta(\epsilon) > 0`, что как только `|y(x_0) - \varphi(x_0)| < \delta` сразу же выполняется `|y(x) - \varphi(x)| < \epsilon` (для `x > x_0`).
Предположим, что в нашем случае `x' = dx/dt`, хотя как мне кажется, без разницы по какой букве выбирать дифференцирование.
Для начала я найду общее решение.
`dx/x = -3dt`
`lnx = -3t + C`
`x = C*e^{-3t}`
Нулевое решение, как я понимаю, это `x(0) = 0`. Решением такой задачи Коши является просто 0. А решением задачи `x(0) = x_0`, является функция `x = x_0*e^{-3t}`
Неравенства должны принимать такой вид
`|x_0 - 0| = |x_0| < \delta`
`|x_0*e^{-3t}| < \epsilon` для `t > t_0`
Положим `\delta = \epsilon`. Дальше можно сделать преобразования
`|x_0*e^{-3t}| = |x_0|*e^{-3t} < |x_0| < \delta = \epsilon` для `t > 0`
Для ассимптотической устойчивости достаточно сказать, что `|x(t) - \varphi(t)| -> 0`, при `t -> \infty`
То есть `lim_{t -> \infty} x_0*e^{-3t} = 0`. Это очевидно для положительных t, что нам и надо.
Все верно? Просто само выражение "нулевое решение" меня как-то смущает.

@темы: Дифференциальные уравнения

---

Дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

[IWannaBeTheVeryBest]

Еще один вопрос по диффурам сегодня.
`(2x + 3)^3 y''' + 3(2x + 3)y' - 6y = 0`
`2x + 3 = t`
`dx = 1/2dt`
`y' = dy/dx = 2dy/dt`
`y''' = 2(d^3y)/dt^3`
`2t^3 y''' + 6ty' - 6y = 0`
Это уравнение Эйлера. Сводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой
`t = e^z;dt = e^zdz`
`y' = dy/dt = e^{-z}dy/dz`
Ну и так далее. Чтобы не отнимать большое количество времени, хотел спросить. В конце у нас же получится функция `y(z)`, если не ошибаюсь. А изначально у нас игрек зависел от икса. Мне придется обратно как-то приходить к зависимости от икс?

@темы: Дифференциальные уравнения

---

Последовательные приближения Пикара.

[IWannaBeTheVeryBest]

Система
`{(x' = y^2),(y' = x^2):}`
`{(x(0) = 1),(y(0) = 1):}`
Как строить приближения для системы уравнений? Условия написал примерно. Не помню точно какие были. Но думаю эти пойдут.
Для простого уравнения это будет так
`y_n = y_0 + int_{x_0}^{x} f(x,y_{n - 1}) dx`
В моем случае уже будет не `y_0`, а вектор `T_0 = ((1),(1))`
Дальше идет интеграл. Рассуждаю логически. В случае одного уравнения пределы интегрирования являются точка `x_0` и `x`. В нашем случае это точка `t_0` и `t`, так как в системах и икс и игрек зависят от t.
Потом составляется функция - правая часть `y' = f(x, y)`, но вместо игрек мы подставляем на первом приближении `y_0`, затем `y_1` и так далее. В нашем случае это будет вектор-функция. Но тут я никак не могу сообразить, что будет. Справа нет ничего связанного с t. Что будет с первым приближением? Если в случае одного уравнения аргумент икс оставался без изменения, то логично предположить, что все аргументы должны оставаться без изменений, кроме t. Тогда, под интегралом, должен быть вектор
`((y^2),(x^2))`
Все вместе должно выглядеть так
`T_{n} = T_0 + int_{t_0}^{t} F(t_{n - 1}, x, y) dt`
Первое приближение такое
`T_{1} = ((1),(1)) + int_{0}^{t} ((y^2),(x^2)) dt`
Пределы интегрирования наверное тоже надо было в векторном виде записать. Хотя я в векторной форме записи не очень силен. Подскажите, если что не так.

@темы: Дифференциальные уравнения

---

Главная часть функции вида Cx^n при x->0.

[semamoroz]

f(x)=(1-3x)^1/3-(1-2x)^1/2. Как после этого преобразования числителя получили решение?

@темы: Пределы

---

Перпендикулярность

[wpoms.]

Равносторонние треугольники `XAB`, `YBC`, `ZCD`, `WDA`, точки пересечения медиан которых обозначены `S_1`, `S_2`, `S_3`, `S_4` соответственно, построены вне выпуклого четырехугольника `ABCD`. Докажите, что `S_1S_3 perp S_2S_4` тогда и только тогда, когда `AC=BD`.

---

Исследование на непрерывность интеграла, зависящего от параметра

[IWannaBeTheVeryBest]

Честно говоря, не нашел такой темы в Фихтенгольце. Там только про равномерную сходимость есть.
`int_{1}^{\infty} lnxdx/((x - y)^2 + 1)`
`Y \in R`
В википедии говорится, что если `f(x, y)` непрерывна в области `\overline{G} = {(x,y): a <= x <= b; c <= y <= d}`, тогда и функция `int_{a}^{b} f(x,y) dx` непрерывна на `[c; d]`
Это замечательно, но только верхний предел у меня бесконечен. Что тут делать вообще плохо понимаю.

@темы: Математический анализ

---

Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.

[IWannaBeTheVeryBest]

`int_{0}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))`
`Y \in (0;1)`
По определению, этот интеграл является предельным для
`int_{0}^{1 - \nu} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))|_{\nu->0}`. Из равномерной сходимости этого интеграла следует равномерная сходимость исходного. А этот интеграл сходится равномерно, если для любого положительного эпсилон, найдется положительная дельта, независящая от игрек, что только лишь `\nu < \delta` сразу выполнено
`|int_{1 - \nu}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))| < \epsilon`
Вот есть идея тупо проинтегрировать, считая игрек константой. Ну перемножить скобки под корнем. Далее выделить полный квадрат. Но мне кажется ответ грязный будет выходить. Может есть какой-то более короткий путь?
Появилась еще идея попробовать игрек заменить на 1 или 0. Ну в общем на какую-нибудь предельную точку области, в которой определен игрек

@темы: Математический анализ

---

Разложение функции в ряд Фурье

[IWannaBeTheVeryBest]

Такую вот задачу я получил на контрольной.
Разложить в ряд Фурье функцию `y = cos^7x` на промежутке `[-pi, pi]`
По логике, решение должно быть таким
`a_0 = 2/pi * int_{0}^{pi} cos^7x dx`
`a_n = 2/pi * int_{0}^{pi} cos^7x*cosnx dx`
`f(x) = a_0/2 + sum_{n = 1}^{\infty} a_n * cosnx`
Так, потому что функция четная. Но степень высоковатая и как такое интегрировать я что-то не в курсе. Понижать степень и перемножать с косинусом энного угла - не вариант.
Пробую ломать по-другому. Ну насколько я понимаю, надо представить косинус через формулу Эйлера. Выходит так
`cos^7x = ((e^{ix} + e^{-ix})/2)^7`
Ну предположим. То есть я как бы могу раскрыть такую скобку, используя или треугольник Паскаля или по хардовому - через Бином Ньютона, что честно говоря мне делать не очень охота. Поэтому использую треугольник Паскаля. 7 уровень треугольника Паскаля имеет коэффициенты `1,7,21,35,35,21,7,1`
Кроме того, мы знаем, что сможем в каждом множителе преобразовывать степени экспонент. Получается, что степени экспонент будут таковыми `7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7`
По итогу имеем
`1/128 * (e^{7ix} + 7e^{5ix} + 21e^{3ix} + 35e^{ix} + 35e^{-ix} + 21e^{-3ix} + 7e^{-5ix} + e^{-7ix})`
Группируем и возвращаем к стандартной записи
`1/64 * (cos(7x) + 7cos(5x) + 21cos(3x) + 35cos(x))`
Это все очень замечательно, но перемножать 4 слагаемых с косинусом nx как-то все равно долго. Есть пути короче? Тем более, насколько я понимаю, при перемножении двух косинусов получается сумма косинусов. При интегрировании косинусов получаются синусы. А синусы по таким пределам будут просто обнуляться. Получается, что разложение будет состоять только из `a_0`, НО невооруженным глазом видно, что по таким пределам косинус в любой степени будет обнуляться. Что-то прямо страшное происходит. Пока что думаю, что надо пойти почитать про самое начало разложения в ряд Фурье. Где был рассказ про базис, по которому раскладывается функция. Ортогональные системы функций, что-ли... Подскажите, что делать

@темы: Математический анализ

---

[selfmajesty]

Доброго времени суток!

Задачи по алгебрам Ли.

1. Пусть есть G = sln(C) = {x - матрица размерности n над полем C с нулевым следом}; отображение phi: G -> Gln(C); phi: [a, b] = a о b - b o a (композиция).
Доказать, что данное представление неприводимо.

2. Найти базис и размерность O(J) - ортогональной алгебры Ли.
Четность не имеет значения, важен сам алгоритм.

3. Тождество Лейбница для алгебр Ли: d / dtetha_i (tetha_j * f) = dtetha_i/dtetha_j * f - tetha_j * df/dtetha_i
(производная произведения)

Мне известно, что дифференцирование задается как отображение по правилу:
- если в одночлен f не входит tetha_i, то df/dtetha_i = 0
- если входит, то tetha_i "переносится" вперед со сменой знака и удаляется.
Но это не слишком помогает расписать тождество.

Пожалуйста, подскажите, как подступиться к решению задач, с чего начать? Заранее спасибо за подсказки.

@темы: Высшая алгебра

---

Поиск функции

[Муссон]

Здравствуйте.
Столкнулась со сложностью при выполнении следующего задания:
"Функция f(x) определена всюду, кроме точек х = 0 и х = 1. На области определения выполняется тождество: f(x) + f(1/(1 - x )) = x. Найти эту функцию"
Перебирая и подставляя различные точки из области определения в отображение x -> 1/(1 - x), получилось "зацикливание". Например:
1/2 -> 2 -> -1 -> 1/2
3 -> -1/2 -> 2/3 -> 3
и так далее.
Выразила несколько значений функции, с помощью численных методов при желании можно построить график в Excel, а как выйти на аналитическое задание - никаких идей. Может, надо какое-то выражение подставить, а не числа? Или я не вижу чего-то очевидного? Подскажите, пожалуйста.

@темы: Функции

---

ЕГЭ, 6.6.2016

[wpoms]

ЕГЭ, 6.6.2016

Какие впечатления от экзамена? Какие задачи запомнились?

@темы: ЕГЭ

---

Геометрия на ЕГЭ 2015

[wpoms]

Геометрия на ЕГЭ 2015

В кубе `ABCDA_1B_1C_1D_1` все рёбра равны 5. На его ребре `B B_1` отмечена точка `K` так, что `KB = 3`. Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha,$ параллельная прямой `BD_1`.
а) Докажите, что `A_1P: PB_1 = 1:2,` где `P` -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром `A_1B_1.`
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $\alpha.$
Ответ: `1075/9`.

В кубе `ABCDA_1B_1C_1D_1` все рёбра равны 4. На его ребре `B B_1` отмечена точка `K` так, что `KB=3`. Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой `BD_1`.
а) Докажите, что `A_1P:PB_1=2:1`, где `P` -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром `A_1B_1`.
б) Найдите угол наклона плоскости $\alpha$ к плоскости грани `B B_1C_1C`.
Ответ: `arctg (sqrt17/3)`.

Основанием прямой четырёхугольной призмы `ABCDA_1B_1C_1D_1` является квадрат `ABCD` со стороной `3sqrt2,` высота призмы равна `2sqrt7.` Точка `K` -- середина ребра `B B_1.` Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha,$ параллельная прямой `BD_1.`
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б)Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha.$
Ответ: 16.

В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` все рёбра равны 5.
На рёбрах `SA,` `АВ,` `ВС` взяты точки `Р,` `Q,` `R` соответственно так, что `РА = AQ = RC = 2`.
а) Докажите, что плоскость `PQR` перпендикулярна ребру `SD`.
б) Найдите расстояние от вершины `D` до плоскости `PQR`.
Ответ: `7/2`.

В основании четырехугольной пирамиды `SABCD` лежит прямоугольник `ABCD` со сторонами `AB = \sqrt5` и `BC = 2`.
Длины боковых ребер пирамиды `SA = \sqrt7`, `SB = 2\sqrt3,` `SD = sqrt11`.
а) Докажите, что `SA` -- высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой `SC` и плоскостью `ASB`.
Ответ: `30^@`.

В основании четырёхугольной пирамиды `SABCD` лежит прямоугольник `ABCD` со сторонами `AB=8` и `BC=6`.
Длины боковых рёбер пирамиды `SA=sqrt21,` `SB=sqrt85,` `SD=sqrt57`.
а) Докажите, что `SA` --- высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми `SC` и `BD.`
Ответ: `arccos(14/55)`.

В основании четырёхугольной пирамиды `SABCD` лежит прямоугольник `ABCD` со сторонами `AB=4` и `BC=6`.
Длины боковых рёбер пирамиды `SA=3`, `SB=5`, `SD=3sqrt5`.
а) Докажите, что `SA` --- высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины `A` до плоскости `SBC`.
Ответ: `12/5.`

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 60, а боковое ребро `SA` равно 37. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите расстояние от вершины `A` плоскости $\alpha$.
Ответ: `5\sqrt{3}`.

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 12, а боковое ребро `SA` равно 13. Точки `M` и `N` -- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды `SABC` плоскостью $\alpha.$
Ответ: 44.

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `SA` равно 4. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды `SABC` плоскостью $\alpha$.
Ответ: `8+2sqrt2`.

В правильной треугольной пирамиде `SABC` сторона основания `AB` равна 12, а боковое ребро `SA` равно 8. Точки `M` и `N` --- середины рёбер `SA` и `SB` соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую `MN` и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану `CE` основания в отношении `5:1`, считая от точки `C`.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка `C`, а основанием --- сечение пирамиды `SABC` плоскостью $\alpha$.
Ответ: `(80sqrt3)/3`.


Дана равнобедренная трапеция `ABCD` с основаниями `BC < AD`. Окружность с центром `O`, построенная на боковой стороне `AB` как на диаметре, касается боковой стороны `CD` в точке `P` и второй раз пересекает основание `AD` в точке `H`, точка `Q` --- середина `CD`
а) Докажите, что четырёхугольник `DQOH` --- параллелограмм.
б) Найдите `AD`, если `/_BAD=75^@` и `C=1`.
Ответ: 3.

К окружности, вписанной в квадрат `ABCD`, проведена касательная, пересекающая стороны `AB` и `AD` в точках `M` и `N` соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника `AMN` равен стороне квадрата.
б) Прямая `MN` пересекает прямую `CD` в точке `P`. В каком отношении делит сторону `BC` прямая, проходящая через точку `P` и центр окружности, если `AM:MB=1:3`?
Ответ: 1:3.

Окружность, построенная на медиане `ВМ` равнобедренного треугольника `ABC` как на диаметре, второй раз пересекает основание `ВС` в точке `К`.
а) Докажите, что отрезок `BK` втрое больше отрезка `CK`.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону `AB` в точке `N`. Найдите `AB`, если `BK = 18` и `BN = 17`.
Ответ: 18.

В прямоугольной трапеции `ABCD` с прямым углом при вершине `A` расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания `AD,` вторая --- боковых сторон, меньшего основания `BC` и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание `AD` в точке `P`. Докажите, что `(AP)/(PD)=sin D`.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны `4/3` и `1/3`.
Ответ: `116/7`.

В трапецию `ABCD` с основаниями `AD` и `ВС` вписана окружность с центром в точке `О`.
а) Докажите, что `sin /_AOD = sin /_BOC`.
б) Найдите площадь трапеции, если `/_BAD = 90^\circ`, а основания равны 5 и 7.
Ответ: 35.

Диагонали `AC` и `BD` четырёхугольника `ABCD`, вписанного в окружность, пересекаются в точке `P`, причём `BC=CD`.
а) Докажите, что `AB:BC=AP:PD`.
б) Найдите площадь треугольника `COD`, где `O` --- центр окружности, вписанной в треугольник `ABD, если дополнительно известно, что `BD` --- диаметр описанной около четырёхугольника `ABCD` окружности, `AB=5`, а `BC=5sqrt2`.
Ответ: `(25sqrt3)/2`.

Две окружности касаются внутренним образом в точке `A,` причём меньшая проходит через центр большей. Хорда `BC` большей окружности касается меньшей в точке `P`. Хорды `AB` и `AC` пересекают меньшую окружность в точках `K` и `M`соответственно.
а) Докажите, что прямые `KM` и `BC` параллельны.
б) Пусть `L` -- точка пересечения отрезков `KM` и `AP`. Найдите `AL`, если радиус большей окружности равен 26, а `BC = 48`.
Ответ: `2sqrt26`.

Две окружности касаются внутренним образом в точке `A`, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда `BC` большей окружности касается меньшей в точке `P`. Хорды `AB` и `AC` пересекают меньшую окружность в точках `K` и `M`.
а) Докажите, что `KM || BC`.
б) Пусть `L` --- точка пересечения отрезков `KM` и `AP`. Найдите `AL`, если радиус большей окружности равен 10, а `BC=16`.
Ответ: `sqrt10`.

Две окружности касаются внутренним образом в точке `K`, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда `MN` большей окружности касается меньшей в точке `C`. Хорды `KM` и `KN` пересекают меньшую окружность в точках `A` и `B`, а отрезки `KC` и `AB` пересекаются в точке `L`.
а) Докажите, что `CN:CM=LB:LA`.
б) Найдите `MN`, если `LB:LA=1:3`, а радиус меньшей окружности равен `3sqrt2`.
Ответ: 16.

Точка `M` лежит на стороне `BC` выпуклого четырёхугольника `ABCD`, причём `B` и `C` --- вершины равнобедренных треугольников с основаниями `AM` и `DM` соответственно, а прямые `AM` и `MD` перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах `B` и `C` четырёхугольника `ABCD` пересекаются на стороне `AD`.
б) Пусть `N` --- точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника `ABCD`, если известно, что `MB:MC=1:3`, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых `AM`, `DM`, `BN` и `CN`, равна 18.
Ответ: 96.

Точка `M` лежит на стороне `BC` выпуклого четырёхугольника `ABCD`, причём `B` и `C` --- вершины равнобедренных треугольников с основаниями `AM` и `DM` соответственно, а `MA_|_MD`.
а) Докажите, что четырёхугольник `ABCD` --- трапеция или параллелограмм.
б) Найдите площадь треугольника `AMD`, если `BM:MC=1:2`, а площадь четырёхугольника `ABCD` равна 36.
Ответ: 16.

@темы: Планиметрия, Стереометрия, ЕГЭ

---

Занимательные задачи на ЕГЭ 2015

[wpoms]

Занимательные задачи на ЕГЭ 2015

Никогда такого не было, и вот опять... (
Традиционно, с небольшим опозданием, публикуем материалы ЕГЭ 2015.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на 61)
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) например, 32 раза число 92 и число 26; б) нет; в) 693.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Ответ: а) например, 15 раз число 19 и число 78; б) нет; в) 1650.

На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.
а) Может ли на доске быть написано ровно 1024 числа?
б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?
Ответ: а) да; б) да: в) 4.

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Ответ: а) 5523, б) нет, в) 12 (5586, ...)

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
Ответ: а) да; б) нет; в) `(6*7+1)/7`.

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если набрал не менее 85 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 7 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 85, средний балл участников, не сдавших тест, составил 95, средний балл участников, не сдавших тест, составил 70. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 100, а не сдавших тест -- 72. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Ответ: а) да, б) да, в) 35

На доске написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3, с доски стерли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 16?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) 20,5.

На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ: а) да; б) нет; в) `(38*7+1)/7`.

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках?
Ответ: а) да, б) нет, в) 25

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться. что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
Ответ: а) да, б) нет, в) 30

В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800000 рублей (размер премии каждого сотрудника -- целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

@темы: ЕГЭ

---

Найти координаты вектора

[kanoChan]

Здравствуйте!
Заданы две карты, определяемые отношениями `x^{1'}=(x^1)^2-(x^2)^2, x^{2'}=x^1*x^2`. В точке `A` с координатами `x^1=1, x^2=1` задан вектор `u=\partial/(\partial x^1) + \partial/(\partial x^2)`. Найти координаты вектора `u` в базисе `(\partial/(\partial x^1'), \partial/(\partial x^{2'}))`.

Можете подсказать, как хотя бы начать делать?

@темы: Векторная алгебра, Векторный анализ