Честно говоря, не нашел такой темы в Фихтенгольце. Там только про равномерную сходимость есть.
`int_{1}^{\infty} lnxdx/((x - y)^2 + 1)`
`Y \in R`
В википедии говорится, что если `f(x, y)` непрерывна в области `\overline{G} = {(x,y): a <= x <= b; c <= y <= d}`, тогда и функция `int_{a}^{b} f(x,y) dx` непрерывна на `[c; d]`
Это замечательно, но только верхний предел у меня бесконечен. Что тут делать вообще плохо понимаю.
`int_{1}^{\infty} lnxdx/((x - y)^2 + 1)`
`Y \in R`
В википедии говорится, что если `f(x, y)` непрерывна в области `\overline{G} = {(x,y): a <= x <= b; c <= y <= d}`, тогда и функция `int_{a}^{b} f(x,y) dx` непрерывна на `[c; d]`
Это замечательно, но только верхний предел у меня бесконечен. Что тут делать вообще плохо понимаю.
-
-
08.06.2016 в 09:04-
-
08.06.2016 в 09:33-
-
08.06.2016 в 11:20-
-
08.06.2016 в 19:08`y_1` и `y_2` - это какие-то произвольные константы, которые мы ставим вместо игрек в интегралы? Просто немного не понял
-
-
08.06.2016 в 19:31Почему константы?... это значения переменной...
У вас же задана функция `J(y) = int_{1}^{\infty} {lnx * dx}/((x - y)^2 + 1)`... вот и покажите, что она определена при любом `y`... и непрерывна при любом `y`...
-
-
11.06.2016 в 18:26Я тут почему-то раньше времени запаниковал. В Фихтенгольце оказывается была эта тема, я просто просмотрел. И там есть теорема
Предположим существует функция `f(x, y)`, для любого `x >= a` и `y \in [c, d]`. Если интеграл `int_{a}^{\infty} f(x,y) dx` равномерно сходится относительно игрек в промежутке `[c, d]` (в моем случае - это все действительные числа), то он представляет собой непрерывную функцию, относительно игрек, на этом промежутке.
В таком случае мне нужно доказать равномерную сходимость этого интеграла. Которая, кстати говоря, тут очевидна. По первому критерию, вроде Вейерштрасса, интеграл `int_{a}^{\infty} f(x,y) dx` сходится равномерно, если существует такая функция `\varphi(x)`, интегрируемая на всем промежутке `[a, +\infty)`, что для любого игрек из заданного промежутка выполнено
`|f(x, y)| <= \varphi(x)`
В нашем случае, подынтегральная функция ограничена логарифмом, так как для любых игрек, знаменатель будет `>= 1`. Вроде все.
Если верно, то скажите, каким образом по определению можно было доказать непрерывность. Просто интересен сам процесс. Как например нахождение производной через предел, по определению тоже))
-
-
11.06.2016 в 20:28каким образом по определению можно было доказать непрерывность. - всё как обычно... пишите определение типа для любого эпсилон... ... в конце будет неравенство для разности двух интегралов... ну, и надо проверять существует ли в этом случае `delta(varepsilon)`...
-
-
11.06.2016 в 20:30для какой функции?...
-
-
11.06.2016 в 21:15Само определение не могу найти. Есть разные высказывания по поводу непрерывности. Но там же повязана равномерная сходимость. Может здесь реально проще установить равномерную сходимость? Определение равномерной сходимости я знаю))
-
-
11.06.2016 в 21:37При чём тут интеграл с параметром...
У вас же задана функция `J(y)` ... которая задаётся как интеграл `int_{1}^{\infty} {lnx * dx}/((x - y)^2 + 1)` ...
Определение непрерывности для неё - это первый семестр матанализа...
`forall \ varepsilon > 0 \ exists delta(varepsilon) > 0 \ : \ forall \ 0 < |y - y_0| < delta \ => \ |J(y) - J(y_0)| < varepsilon`...
Ну, и далее оцениваете модуль разности интегралов...
Может здесь реально проще установить равномерную сходимость?
Можно и так... хозяин-барин ...
-
-
11.06.2016 в 23:00Чето у меня реально иногда какие-то тормоза в голове случаются))
Я все-таки попробую двумя способами))
Значит сейчас надо попытаться доказать
`|int_{1}^{\infty} (lnxdx)/((x - y)^2 + 1) - int_{1}^{\infty} (lnxdx)/((x - y_0)^2 + 1)| < \epsilon`
при условии, что
`|y - y_0| < \delta`
Ну я пока что буду думать. На первый взгляд не приходит ничего лучше, чем попробовать интегрировать по частям оба интеграла.
-
-
12.06.2016 в 00:21Можно записать под один интеграл... и привести к общему знаменателю...
-
-
12.06.2016 в 00:30`|int_{1}^{\infty} (lnx*(2xy - 2xy_0 + y^2 - y_0^2)dx)/(((x - y)^2 + 1)((x - y_0)^2 + 1))| = |int_{1}^{\infty} ((y - y_0)lnx*(2x + y + y_0)dx)/(((x - y)^2 + 1)((x - y_0)^2 + 1))| < \epsilon`
`y - y_0` можно в общем-то вынести, если не ошибаюсь.Но знаменатель все равно страшный
-
-
12.06.2016 в 11:11Числитель будет такой
`lnx*(2xy - 2xy_0 + y_0^2 - y^2) = lnx*(-2x(y_0 - y) + (y_0 - y)(y_0 + y)) = (y_0 - y)lnx*(y_0 + y - 2x)`
Сейчас дальше подумаю.
-
-
12.06.2016 в 14:06Что-то я в тупике.
`|(y - y_0)*int_{1}^{\infty} (lnx*((x - y)+(x - y_0))dx)/(((x - y)(x - y_0))^2 + (x - y) + (x - y_0) + 1)| < \epsilon`
Везде находятся эти `(x - y)` и `(x - y_0)`. Есть идея заменить `x - y = t`. Тогда полно где будет `(y - y_0)`. Может это как-то да поможет. Просто такой трудный интеграл я даже не могу проинтегрировать. Если смотреть по пределам интегирования он вроде не принимает отрицательных значений. То есть его оценка идет от 0 до эпсилон. Это пока что все. что я смог выжать из данного интеграла.
Может логарифм вообще убрать. Хотя это будет не законно скорее всего. Хотя от этого, я думаю, значение интеграла станет меньше. Да и интеграл будет чуть проще.
-
-
12.06.2016 в 18:14-
-
12.06.2016 в 18:16Ещё подумаю ...
-
-
12.06.2016 в 18:50Вот если доказывать например равномерную сходимость интеграла
`int_{1}^{\infty} (lnxdx)/((x - y)^2 + 1)`
то можно его начать интегрировать по частям
`0<int_{A}^{\infty} (lnxdx)/((x - y)^2 + 1)<\epsilon`
`u = lnx; dv = dx/((x - y)^2 + 1)`
`0 < lnx*arctg(x)|_{A}^{\infty} - int_{A}^{\infty} (arctg(x - y)dx)/x < \epsilon`
-
-
12.06.2016 в 19:23-
-
12.06.2016 в 20:43-
-
12.06.2016 в 20:49Это тогда же тоже надо как-то показывать, если не ошибаюсь?
Ну например доказывая равномерную сходимость, я там получал расходящийся интеграл. Может как-то так сделать?
-
-
12.06.2016 в 21:18Неприятность в этом примере доставляет то, что `y` может быть сколь угодно большим... то есть на всей числовой прямой равномерной сходимости нет...
Однако, если рассмотреть значения `-oo < y <= M`, то подынтегральную функцию можно ограничить и получить равномерную сходимость...
То есть вывод видимо такой... в любой конечной точке интеграл непрерывен по параметру... и неограничен при `y -> +oo`...
-
-
12.06.2016 в 21:35подынтегральную функцию можно ограничить
Я так понимаю ограничить функцией, независимой от игрек? Но логарифм ведь не подходит. Ну то есть получается, что он не интегрируем на бесконечности. К слову, в той книжке, которую я нашел в инете, Фихтенгольц, там это первый критерий и почему-то промежуток, на котором должна интегрироваться функция, которой мы можем ограничить подынтегральную функцию, записан так `[a; +\infty]` именно с квадратной скобкой)) Хотя это скорее всего опечатка. Но вдруг имеется ввиду любое бесконечно большое число?
-
-
12.06.2016 в 21:44Ну, не так прямолинейно... от знаменателя тоже можно что-нибудь оставить...
записан так `[a; +\infty]`
Скорее всего это указание на то, что рассматривается интеграл не на произвольном конечном отрезке, а именно `int_{a}^{+oo}` ...
К слову, в той книжке, которую я нашел в инете, Фихтенгольц
Неужели Вам никогда её не рекомендовали?...
-
-
12.06.2016 в 21:52Понял)) Сейчас подберу другую))
Неужели Вам никогда её не рекомендовали?
Я имел ввиду, что может быть издание отличается. Просто я находил разные издания. Даже количество томов иногда разное. Не знаю. Может опечатка в каком-то конкретном издании...
А вообще, насчет Фихтенгольца - это самая замечательная книжка, которую я знаю по матану)) Если так, оффтоп писать, то мне она нравится в первую очередь за отсутствие голой теории. Можно практически после каждой темы находить примеры. Иногда они прямо после какой-то теоремы встречаются, иногда в конце главы. Только вот по линалу не могу такую книжку найти. Чтобы тоже примеры были в самой книге вместе с теорией. А то иногда даже доходит до некоторого нервоза, когда вообще не можешь понять, о чем идет речь, а примеров нет. Примеры в другой книге, где только практика. А там эти примеры не решаются. Очень сложно таким образом самостоятельно обучаться. Хочу хорошо разобраться в тензорах еще... Но видимо легко эта тема не пойдет у меня.
-
-
12.06.2016 в 21:55-
-
12.06.2016 в 22:13Есть "Курс дифференциального и интегрального исчисления" в 3-х томах... а есть "Основы математического анализа" в 2-х томах...
ограничить можно функцией `lnx/x^2` - можно и такой...
-
-
12.06.2016 в 22:23-
-
12.06.2016 в 22:35Нет...
`J(y) <= C(M) int_{1}^{+oo} {ln x * dx}/{x^2}` при `y in (-oo; M]`... но равномерно на всей оси такой оценки не будет...
-
-
12.06.2016 в 22:54Интеграл (1) - это
`I(y) = int_{a}^{\infty} f(x,y)dx`
Просто я этот момент не понял, со значениями игрек... Ну и получается, что это неравенство верно для любых игрек из R