`int_{0}^{\infty} ((sqrt(x)*lnx)dx)/(1 + x)`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`
-
-
15.06.2016 в 19:45`\B'_{a}(a, b) = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1) ln(t/(t + 1))dt)/((1 + t)^(a + b)) = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1) ln(t) dt)/((1 + t)^(a + b)) - int_{0}^{\infty} (t^(a - 1) ln(t + 1) dt)/((1 + t)^(a + b)) = `
`= int_{0}^{\infty} (t^(a - 1) ln(t) dt)/((1 + t)^(a + b)) + \B'_{b}(a, b)`
Это будет верным равенством? Еще проверю...
Вроде верно. Только вот можно ли эту функцию дифференцировать по параметру...
-
-
15.06.2016 в 19:55-
-
15.06.2016 в 19:59-
-
15.06.2016 в 20:29-
-
15.06.2016 в 21:33Может так и представить, как разность производных бета-функций? - там не будет бета-функции, пока в пределах стоит бесконечность...
-
-
15.06.2016 в 21:34-
-
15.06.2016 в 21:48Странно, но вы же тоже преподаватель, если не ошибаюсь. Что бы вы сделали на месте преподавателя, если бы вам принесли работу и сказали, что там в задании опечатка?
я смотрю, что Вы нынче "призрачный гонщик"
Да просто гуглил какую-нибудь картинку, размером 128 на 128. Нашел первую более менее)) Кстати действительно похоже на призрачного гонщика.
-
-
15.06.2016 в 22:22Сказав, что опечатки - это проблема преподавателя я уже высказал своё мнение...
С другой стороны кто Вам сказал, что там опечатка?... возможно это хитрый ход преподавателя, который желает увидеть студента, умеющего решать не по шаблону...
Иначе получается, что приходит студент и говорит "Я умею решать только этим методом... а другого делать не умею"...
-
-
15.06.2016 в 23:13Но как? Если задача не решается и интеграл расходится. Впрочем, я предположил, что можно расписать, как разность бета-функций, но это же не является все же решением данной задачи))
Я умею решать только этим методом
Вот это кстати говоря очень большая проблема. Когда люди умеют решать только по шаблонным методам. Мне поэтому нравится тема "Интегралы", так как, по моему мнению, тут некоторое творческое мышление проявляется в решении.
-
-
15.06.2016 в 23:33-
-
15.06.2016 в 23:40-
-
15.06.2016 в 23:45-
-
15.06.2016 в 23:49-
-
16.06.2016 в 00:01пропустил мимо ушейне заметил...-
-
16.06.2016 в 00:04В таком случае нормально расписано? Или все же желательно обосновать, почему можно дифференцировать?
-
-
16.06.2016 в 00:06В общем можете написать такое решение...
1) Говорите о расходимости (ссылка на признак)... 2) Говорите о формализме - делая общую выкладку... находите параметры ... и делаете вывод о том, что там Б-ф не определена... что подтверждает вывод о расходимости...
-
-
16.06.2016 в 00:08В общей выкладке - это должно следовать из равномерной сходимости бета-функции на области определения...
-
-
16.06.2016 в 00:11-
-
16.06.2016 в 00:13