Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.

[IWannaBeTheVeryBest]

`int_{0}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))`
`Y \in (0;1)`
По определению, этот интеграл является предельным для
`int_{0}^{1 - \nu} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))|_{\nu->0}`. Из равномерной сходимости этого интеграла следует равномерная сходимость исходного. А этот интеграл сходится равномерно, если для любого положительного эпсилон, найдется положительная дельта, независящая от игрек, что только лишь `\nu < \delta` сразу выполнено
`|int_{1 - \nu}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))| < \epsilon`
Вот есть идея тупо проинтегрировать, считая игрек константой. Ну перемножить скобки под корнем. Далее выделить полный квадрат. Но мне кажется ответ грязный будет выходить. Может есть какой-то более короткий путь?
Появилась еще идея попробовать игрек заменить на 1 или 0. Ну в общем на какую-нибудь предельную точку области, в которой определен игрек

@темы: Математический анализ

Comments

[All_ex]

Подынтегральная функция имеет особенности в точках `x = 1` и `x = 1/y`...
Непрерывность этой функции по игреку сомнения не вызывает... но равномерная непрерывность явно отсутствует...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, Могу разделить интеграл на 2. От 0 до 1/2 и от 1/2 до 1.
`x = 1/y` выпадает из пределов интегрирования вроде.

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex,
Ну интеграл несобственный получается.
`int dx/sqrt((1 - x)(1 - yx)) = int dx/sqrt(yx^2 -x(y + 1) + 1) = int dx/sqrt((sqrt(y)x - (y + 1)/(2sqrt(y)))^2 + (4y - (y + 1)^2)/(4y)) = `
`= 1/sqrt(y) * ln|sqrt(y)x - (y + 1)/(2sqrt(y)) + sqrt(yx^2 -x(y + 1) + 1)| + C`
Что-то в этом роде. Здесь можно просто подставить пределы и посмотреть, что будет получаться.

[All_ex]

Здесь можно просто подставить пределы и посмотреть, что будет получаться.
Ну, посмотрите, что получится при `y -> 0` ...

[IWannaBeTheVeryBest]

All_ex, ну если не ошибаюсь, то выражение будет стремиться к бесконечности. То есть само значение интеграла будет просто расти в зависимости от игрек. Всегда можно будет подобрать такой игрек, который будет больше эпсилон, так что-ли получается?

[All_ex]

Ну, типа того...

[IWannaBeTheVeryBest]

Извините, что опять поздно по этой теме пишу. Но так вышло, что по итогу у меня получилось значение этого интеграла такое
`1/sqrt(y) * ln|(y + 1)/(y + 1 + 2sqrt(y))||_{y->0}...`
Что это может значить? Просто получается, что при любом игрек у меня выходит значение интеграла 0. Что-то сомнительный результат конечно. Никак для любого игрек не проверить.
Появилась идея сделать замену для основного интеграла `1 - x = t^2`. Тогда в знаменателе будет один корень.

[IWannaBeTheVeryBest]

Точнее у меня получился такой ответ
`1/sqrt(y) * ln|(y + 1)/(y + 1 + 2sqrt(y))|`
Ну при стремлении игрека к 0 получается не однозначный ответ.

[All_ex]

Ну при стремлении игрека к 0 получается не однозначный ответ. - ... вроде предел легко вычисляется...

Что это может значить? - ну, вообще-то я видимо сбил Вас ранее с толку советом вычислить предел по игреку в нуле...
Особенностью Вашего интеграла является `y = 1` ...

[IWannaBeTheVeryBest]

Я думал нужно устремить к 0 для того, чтобы установить факт, что при стремлении `y->0` значение нашего интеграла будет уходить в бесконечность. При `y->1` будет получатся вполне обычное значение.
Я в самом начале сам себя зачем-то начал путать какими-то непонятными определениями равномерной сходимости. Мой интеграл спокойно сводится к интегралу по пределам от A до бесконечности путем замены.
`int_{0}^{1} dx/(sqrt((1 - x)(1 - yx))) = |x = 1/t; dx = -dt/t^2| = int_{1}^{\infty} dt/(tsqrt((t - 1)(t - y)))`
И уже его стандартно оценивать
`|int_{A}^{\infty} dt/(tsqrt((t - 1)(t - y)))| < \epsilon`
Может тут что выйдет? Я могу вернутся к прошлому интегралу, путем обратной замены. Только там уже будут пределы от 0 до 1/A.
Или все что я сейчас описал - лишнее?

[IWannaBeTheVeryBest]

Кстати, подынтегральная функция будет мажорироваться функцией `1/(tsqrt(t - 1))`, которая интегрируется на бесконечности

[All_ex]

Я думал нужно устремить к 0 для того, чтобы установить факт, что при стремлении `y ->0` значение нашего интеграла будет уходить в бесконечность. При `y ->1` будет получатся вполне обычное значение.
Вот это и странно... Если рассмотреть исходный интеграл при малых значениях игрек, то подынтегральная функция имеет интегрируемую особенность в единице (поскольку там стоит корень)...
А если рассмотреть предел подынтегральной функции при `y to 1`, получите неинтегрируемую особенность (в пределе получите первую степень в знаменателе)...

Кстати, подынтегральная функция будет мажорироваться функцией
Со множителем, который зависит от игрек...

[All_ex]

Вычислил Ваш интеграл... Получилось `1/{sqrt{y}} * ln| {1 + sqrt{y}}/{1 - sqrt{y}} |` ...
Как я и говорил, в нуле тут всё хорошо... а в единице - не очень...

[IWannaBeTheVeryBest]

Ну то есть с возрастанием игрек, к единице, интеграл будет расти до бесконечности. То есть получается, что равномерно интеграл не сходится. Ну хорошо тогда. Спасибо))

[All_ex]

welcome ...