Криволинейный интеграл 1 го рода

[...Полярная Звезда...]

1.Найти массу первого витка винтовой линии, если плотность в каждой точке равна радиусу вектора этой точки. Не могу понять как определить плотность
2.Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой r=a(1+cos(фи)). Есть формулы для вычисления, но они для параметрического задания, а какую формулу здесь применить? пробовал перейти к параметрическим координатам, но там сложновато получается

@темы: Кратные и криволинейные интегралы

---

Трапеция и окружность

[BCO590]

Здравствуйте! Посмотрите пожалуйста задачу.
В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС . Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е . Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD=4, ВС=3.
Я пытался найти искомое расстояние через подобие треугольников-получается плохо. Подскажите пож идею решения задачи

@темы: ГИА (9 класс)

---

Найти производную и дифференциал первого порядка

[Пушистохвост]

Здравствуйте.
У меня есть уравнение:

x*ln(x)-e^y+y=0
нужно найти производную и дифференциал первого порядка
Вот что у меня получилось:

ln(x)+x/x-y*(e^y)+y'=0

С dy вообще намудрила что-то:

dy(y'-y*(e^y))=ln(x)dx
Ответ, естественно, неправильный.
Подскажите, где не так, и что я недопонимаю?

@темы: Математический анализ, Производная

---

Линейные пространства

[...Полярная Звезда...]

`П(ax^3+bx^2+cx+d)=a^2*x^3+b^2*x^2+c^2*x+d^2`
П-это оператор
1.Нужно проверить это оператор на линейность.
2.И найти матрицу линейного оператора, что бы ее найти нужно найти образы базисных векторов насколько я понял. Подойдет ли базис e_1=x^3, e_2=x^2, e_3=x, e_4=1 или есть более удобный
вот с оператором дифференцирование все понятно, вот этот оператор заменяющий а, в, с, d на a^2, b^2 и тд не совсем ясно
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

---

Решение задачи на сечения, стереометрия

[Romerion]

В правильной четыркхугольной пирамиде SABCD точка К - середина ребра AD, точка М - середина ребра AB, а точка N - середина ребра BC. Точки P, Q и R лежат на отрезках SK, SМ и SN соответственно, причем SP:PK=2:1, SQ:QM=4:7, а R - середина отрезка SN. В каком отношении плоскость PQR делит ребра пирамиды, которые она пересекает?
Данное сечение должно лежать на точке c, но никак не получается доказать это, подскажите, пожалуйста. У меня есть некоторые идеи, но я не знаю в правильном ли направлении я иду и что можно сделать дальше.
Решение актуально до 22:00, 11 апреля (сегодня)

@темы: Стереометрия

---

Вычислить предел

[alligator76]

Требуется вычислить предел:

`lim_(x->infty) ((5x-4)/(2-8x))^(2x^3+4)`

Я решаю следующим образом:

`lim_(x->infty) ((5x-4)/(2-8x))^(2x^3+4)=lim_(x->infty) ((5x-4)/(2-8x))^(lim_(x->infty) (2x^3+4))=(-5/8)^infty=`
`=(-1)^infty*(5/8)^infty=(-1)^infty*0`

В ответе должен получиться ноль. Но меня смущает, что предел `lim_(x->infty)(-1)^x` не существует. Как быть?

@темы: Пределы

---

Теория алгоритмов

[...Полярная Звезда...]

1.Доказать, что если множества А и В рекурсивно перечислимы, то множества А пересечение В и А объединение В рекурсивно перечислимы. Вот с рекурсивными множествами понятно, нужно построить характеристическую функцию являющуюся рекурсивной. А вот с рекурсивно перечислимым не знаю с чего начать
2. Множества А и В отличаются конечным числом элементов, доказать, что: если А рекурсивно перечислимо, то и В рекурсивно перечислимо

@темы: Дискретная математика, Множества

---

Бусики

[wpoms.]

Три обруча расположены концентрически (см. рисунок). На каждом обруче через равные промежутки нанесены 20 бусинок, `10` из которых черного и `10` белого цвета. На каждом обруче бусинки пронумерованы числами от `1` до `20` начиная снизу и в направлении против часовой стрелки. Мы говорим о совпадении в позиции `i` если все три бусинки в позиции `i` имеют один и тот же цвет. Мы можем перемещать все бусинки вокруг любого обруча (при этом нельзя нарушать порядок их следования друг за другом). Покажите, что возможно (вращением) найти конфигурацию в которой будет не менее `5` совпадений.

@темы: Комбинаторика

---

дифференциальная геометрия

[...Полярная Звезда...]

1.Найдите, под каким углом пересекаются линии u+v=0, u-v=0 на прямом геликоиде x=ucosv, y=usinv, z=av
Пытаюсь найти угол с помощью коэффициентов первой квадратичной формы, но что то не выходит, кажется нужно определить чему равны u и v.

@темы: Дифференциальные уравнения, Высшая геометрия

---

Делимость

[wpoms.]

Найдите наименьшее натуральное число `a`, для которого `2001` делит `55^n + a*32^n` для некоторого нечетного целого `n`.

@темы: Теория чисел

---

Задача по геометрии

[SophieL]

В наклонном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковое ребро равно 10, а площадь боковой поверхности 420 . Расстояние между ребрами AA1 и DD1 на 11 больше расстояния между рёбрами AA1 и BB1. Расстояние между ребрами BB1 и DD1 равно 19. Найдите углы между смежными боковыми гранями

Помогите, пожалуйста, решить. Расстояния я поняла, как найти, а дальше не получается

@темы: Стереометрия

---

Ряд Фурье

[MestnyBomzh]

Ракладываю в ряд `y=x, x in [0;2]`. Получаю, что коэффициент при косинусе обнуляется. Как такое может быть если исходная функция не обладает свойством четности?

@темы: Ряды

---

помогите плиз

[aldekvant]

привет! помогите плиз решить задачу, надо до четверга. Десятичная запись натурального числа n содержит 61 цифру. Среди этих цифр есть тройки, четверки и пятерки. Других цифр нет. Число троек больше чем пятерок. Найти остаток от деления на 9.

@темы: Теория чисел

---

Функция нормального распределения

[@Заноза]

Есть таблица. Нужно найти значение от отрицательного аргумента, например, от -0.5. Интуитивно понятно, что нужно из 100% вычесть значение для 0.5, но не совсем понятно почему?

@темы: Математическая статистика

---

Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что для действительных чисел `a`, `b` (`a*b > 0`) выполняется неравенство `root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + 10ab + b^2)/12`. Определите, при каких условиях достигается равенство. Докажите, как следствие или иным образом, что для всех действительных чисел `a`, `b` верно неравенство `root(3){(a^2b^2(a + b)^2)/4} <= (a^2 + ab + b^2)/3` Определите, при каких условиях достигается равенство.

@темы: Доказательство неравенств

---

А у нас сегодня праздник!

[All_ex]

Уважаемые сообщники!
Поздравляю Вас с Днём Математика!

Желаю всем всяческих свершений в профессиональной сфере и просто по жизни!...

по традиции немного баянов...

Если обычного человека спросить "Как найти площадь Ленина?", он ответит, что надо длину Ленина умножить на ширину Ленина... А математик скажет, что надо вычислить интеграл по поверхности...

********

Дифференциальное уравнение было очень сложным, но профессор с присущей ему скромностью назвал его обыкновенным.

********

Если черный кот дважды пересек вам дорогу, он отменил неприятности или удвоил? Если кот векторный, то отменил, если скалярный, то удвоил.

********

B маршрутке. На остановке в салон вваливается парнишка лет семнадцати и спрашивает у водителя: - До проспекта Тухачевского доеду? Водитель (к слову - яркий представитель народов Кавказа) отвечает: - Параллэльно едем. Парень, жертва ЕГЭ, уточняет: - То есть пересекаем? Водитель: - Параллэльно, в эвклидовом понимании!..

********

Экспонента - это число Пи, записанное наоборот!

********

Определитель: `|(cos x, sin x), (-sin x, cos x)|`
Соки и нектары Reach. Жизнь - хорошая штука, как не крути!

********

Всякое уважающее себя дифференциальное уравнение не решается.

********

Физик Шрёдингер ходил по комнате в поисках нагадившего котёнка, а тот сидел в коробке ни жив ни мертв.

********

Телефонный звонок:
- Алло, это квартира Сидорова Ивана Петровича?
- Нет, это квартира Каца Абрама Самуиловича.
- Извините, это 22-38-89?
- Нет, это 22-38-88.
- Надо же! В шестом знаке ошибка, а такой эффект!

********

Tеорема: Бутерброд лучше вечного кайфа.
Доказательство: Что может быть лучше вечного кайфа? Да ничего. А бутерброд - это лучше, чем ничего. Следовательно, бутерброд лучше вечного кайфа.

@темы: Праздники, Юмор

---

ЕГЭ, 28 марта 2016 г.

[wpoms]

ЕГЭ, 28 марта 2016 г.¹

13. а) Решите уравнение `8^x -7*4^x - 2^(x+4) + 112 = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[log_2 5; log_2 11]`.

14. В правильной четырехугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `A A_1` равно `4sqrt3`. На ребрах `AB`, `A_1D_1` и `C_1D_1` отмечены точки `M `, `N` и `K` соответственно, причем `AM = A_1N = C_1K = 1`.
а) Пусть `L` – точка пересечения плоскости `MNK` с ребром `BC .` Докажите, что `MNKL` – квадрат .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью `MNK`.

15. Решите неравенство: `(5x-13)*log_(2x-5) (x^2-6x+10) >= 0`.

16. Точка `O` – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника `ABC`, `I` – центр вписанной в него окружности, `H` – точка пересечения высот. Известно, что `/_BAC = /_OBC + /_OCB`.
а) Докажите, что точка `I` лежит на окружности, описанной около треугольника `BOC`.
б) Найдите угол `OIH`, если `/_ABC = 55^@`.

17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.

18. Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система уравнений
`(xy^2-3xy-3y+9)/sqrt(x+3) =0`,
`y = ax`
имеет ровно два различных решения .

19. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два
подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множества {200;201;202;…;299} хорошим?
б) Является ли множество {2;4;8;…;2^100} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?

----------------------------------------------
¹ alexlarin.net/ege/2016/280316.html

@темы: ЕГЭ

---

Помогите, пожалуйста

[Luba-95]

1)На множестве N найти область значений и область определения бинарных отношений и указать, какими свойствами они обладают. p={(3;5);(5;3);(3;3)}
2)На множестве R найти область значений и область определения бинарных отношений и указать, какими свойствами они обладают. p=[0;2]x[1;4]
3)На множестве M={1,2,...,10} найти область значений и область определения бинарных отношений и указать, какими свойствами они обладают. xpx<=>(x*y=10)

@темы: Бинарные отношения

---

Теория вероятностей

[442]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с двумя задачами.

1. В больницу поступило 14 больных: 5 с заболеванием А, 6 - с заболеванием Б, остальные - с заболеванием С. Через неделю половину из них выписали. Какова вероятность того, что среди них четверо с заболеванием Б, двое с заболеванием С.

Мое решение:

A - вероятность того, что среди выписанных 4 с заболеванием Б, 2 - с С.

n - число всех возможных исходов. Т.к. выписана половина - 7 человек, то `n=C_n^k=С_14^7=14!/(7!*(14-7)!)=3432`

m - число благоприятствующих исходов.

Больных с заболеванием С `14-(5+6)=3`

Тогда:

`m=C_6^4*C_3^2=45`

Искомая вероятность:

`P(A)=m/n=45/3432=0131`

Верно ли это решение, или необходимо учитывать что-то еще?

2. Какова вероятность максимального выигрыша ("джек-пот" в лотерею типа лото, если в лотерейный билет вносятся 12 чисел от 1 до 99 ("джек-пот" выигрывает билет, в котором оказались все двенадцать первых чисел, выданных машиной"?

Мое решение:

n - число всех возможных исходов, то есть это количество разнообразных билетов

`n=C_99^12=924370524973896`

Если я верно понимаю, то двух одинаковых билетов быть не может, то есть благоприятствующий исход один m=1

`P=1/n`

Заранее спасибо.

@темы: Теория вероятностей, Комбинаторика

---

Площадь наибольшего треуголника

[MestnyBomzh]

Не могли бы Вы проверить:
Дан круг радиусом `R`. Найти найти вписанный в него треугольник, площадь которого наибольшая.
Нужно составить задачу оптимизации и решить её.
Как мне уже посоветовали в предыдущем топике вполне логично составить задачу оптимизации:
`{(R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (2pi-alpha-beta))->max ), (0<=alpha < pi), (0<=beta < pi):}`
Дальше можно было бы просто максимизировать сумму трех синусов, взяв производную по двум аргументам, получается:
`{(cos alpha - cos (alpha+beta) = 0),(cos beta -cos (alpha+beta) = 0):}`, вычитая поулчаем `cos alpha = cos beta`. Альфа и бета - углы от нуля до `2pi`, значит `alpha=beta` (или же `beta = 2pi-alpha`) и значит `cos alpha - cos (2alpha) = 0`, отсюда `[(alpha=0), (alpha=2pi/3), (alpha=4pi/3):}`. `alpha=0` очевидно неверно. Если `alpha=2pi/3`, то все центральные углы по 120, значит треугольник равносторонний (нужный ответ). Ну и, наконец, если `alpha = 4pi/3`, то `beta = alpha = 4pi/3`, что невозможно. Если же `beta = 2pi-alpha`, то `cos alpha = 1`, значит `alpha=0` (посторонний корень) или `alpha = pi`
Итого один ответ: все углы по 60 градусов.

@темы: Планиметрия