Линейные пространства

[...Полярная Звезда...]

`П(ax^3+bx^2+cx+d)=a^2*x^3+b^2*x^2+c^2*x+d^2`
П-это оператор
1.Нужно проверить это оператор на линейность.
2.И найти матрицу линейного оператора, что бы ее найти нужно найти образы базисных векторов насколько я понял. Подойдет ли базис e_1=x^3, e_2=x^2, e_3=x, e_4=1 или есть более удобный
вот с оператором дифференцирование все понятно, вот этот оператор заменяющий а, в, с, d на a^2, b^2 и тд не совсем ясно
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

Comments

[Гость]

...условие K(m*a)=m*K(a) не выполняется... (m - скаляр, a - вектор)...
...про всё остальное можно забыть...
...но если интересно - да, базис e_1=x^3, e_2=x^2, e_3=x, e_4=1 подойдёт...
...удобный - понятие растяжимое - а что потом с этой матрицея делать надо-то?...

[...Полярная Звезда...]

Гость, то есть это оператор не линейный?
мне нужно найти матрицу, чтобы по ней определить ядро и образ
`П(ax^2+bx+c)=cx^2+bx+a` и `П(ax^3+bx^2+cx+d)=bcd*x^3+adc*x^2+abd*x+abc` являются ли линейными?

[Гость]

раскрываем - а на словах всё это звучит так - "однородность относительно умножения на скаляр", "однородность относительно суммы"
"однородность относительно умножения на скаляр" = условие K(m*h)=h*K(a) в применении к оператору П требует выполнения (a*h)^2*x^3+(b*h)^2*x^2+(c*h)^2*x+(d*h)^2=h*(a^2*x^3+b^2*x^2+c^2*x+d^2), что, очевидно не верно
условие = "однородность относительно суммы", которое мы стали бы проверять, если бы "однородность относительно умножения на скаляр" удовлетворялось, я надеюсь, вы сможете проверить аналогичным образом - напоминаю - K(m+n)=K(m)+K(n) - "однородность относительно суммы"...

...вместо "однородность..." говорят так же и "линейность...", но по мне что ж за масло такое масляное-то, а?

с другой стороны - если общий принцип понятен - закрепите решением указанных вами примеров 2 и 3

...ядро, образ - хорошая статья в Википедии - определения там тоже аккуратные - пробейте по ним, дорогой, не сочтите за дерзость...

[All_ex]

...Полярная Звезда..., я тут взял на себя смелость поставить обратные апострофы, чтобы формулы отображались красиво... и не совсем понял - a П(ax^2+bx+c) - тут перед оператором стоит множитель или номер пункта?...

`П(ax^3+bx^2+cx+d)=bcd*x^3+adc*x^2+abd*x+abc` являются ли линейными? - это очевидно нелинейный оператор... от каждого слагаемого по отдельности оператор даёт нуль, а сумма ненулевая... то есть `Pi(X+Y) != Pi(X) + Pi(Y)`...

[...Полярная Звезда...]

Гость, однородность относительно суммы будет выглядит : П(ax^3+bx^2+cx+d+fx^3+kx^2+wx+s)=П(ax^3+bx^2+cx+d)+П(fx^3+kx^2+wx+s)?=>
=>(a+f)^2*x^3+(b+k)^2*x^2+(c+w)^2*x+(s+d)^2=(a^2+f^2)*x^3+(b^2+k^2)*x^2..... и тд
правильно ли я делаю?
проблема только в этом, а как найти ядро и образ все понятно)))
может посоветуете что нибудь по этой теме почитать или ресурс с примерами, буду благодарен

[...Полярная Звезда...]

All_ex, это видимо случайно поставил, там без "а"

П(ax^3+bx^2+cx+d)=bcd*x^3+adc*x^2+abd*x+abc` являются ли линейными? - это очевидно нелинейный оператор... от каждого слагаемого по отдельности оператор даёт нуль, а сумма ненулевая... то есть `Pi(X+Y) != Pi(X) + Pi(Y)`...

можно об этом поподробнее, как понять по отдельности дает нуль, Х и У два разных полинома правильно?
тяжело определить линейный ли оператор, с операторами дифференцирования все получается, а вот в таких плаваю

[All_ex]

...Полярная Звезда..., этом поподробнее, как понять по отдельности дает нуль
Я имел ввиду отдельные слагаемые полинома - ведь они тоже полиномы...
`Pi(a*x^3 + 0*x^2 + 0*x + 0) = 0` ... и так далее...

это видимо случайно поставил, там без "а" - тогда это линейный оператор....

[...Полярная Звезда...]

All_ex, не могли бы вы расписать как вы определили линейность оператора, упорно не могу понять :с

[Гость]

может посоветуете что нибудь по этой теме почитать или ресурс с примерами

Википедия по теме "Линейные преобразования" располагает неплохой статьёй
Книга Данфорда и Шварца - "Линейные операторы" - замечательный учебник
Гуглите "Матричный анализ и линейная алгебра" Тартышникова - современная книга, доступное изложение
"Функциональный анализ" Треногина - один том - и всё в нём
"Элементы теории функций и функционального анализа" Колмогорова и Фомина - признанный классический учебник по теме

Удачи

[...Полярная Звезда...]

Гость, если не сложно можете расписать свойство относительно суммы, пожалуйста, завтра сдавать надо

[All_ex]

...Полярная Звезда..., не могли бы вы расписать как вы определили линейность оператора, упорно не могу понять :с
Вы выше писали проверку определения...
П(ax^3+bx^2+cx+d+fx^3+kx^2+wx+s)=П(ax^3+bx^2+cx+d)+П(fx^3+kx^2+wx+s)? => (a+f)^2*x^3+(b+k)^2*x^2+(c+w)^2*x+(s+d)^2=(a^2+f^2)*x^3+(b^2+k^2)*x^2..... и тд
Тут всё тоже самое... только многочлены можно ещё на скаляры умножить, чтобы не проверять свойства по отдельности... то есть `Pi(alpha*X + beta*Y) = alpha*Pi(X) + beta*Pi(Y)` ...

[Гость]

All_ex, не могли бы вы расписать как вы определили линейность оператора, упорно не могу понять :с

А вы представьте себе все коэффициенты этих х^3, х^2, ... и т.д. как упорядоченный набор чисел - вектор
Забудьте про многочлены
И работайте тогда вот так, примерно (вот этот слуичай - П(ax^3+bx^2+cx+d)=bcd*x^3+adc*x^2+abd*x+abc) - берём набор (a,b,c,d) и из него строим набор (bcd,adc,abd,abc) - такое у нас правило построения - а вот что будет если весь набор (a,b,c,d) умнойить на число h? - h*(a,b,c,d)=(h*a,h*b,h*c,h*d) - что будет если из него по нашему правилу построить новый набор?
А вот что будет - ((h^3)*bcd,(h^3)adc,(h^3)abd,(h^3)abc) - выведем (h^3) за скобки - (h^3)*(bcd,adc,abd,abc)
А линейность - она как же? - будет ли П(h*(a,b,c,d))=h*П(a,b,c,d) - сами видите - нет - вот и не срослась линейность

Смотрите на вещи проще - если мы знаем что множество всех многочленов степени n и меньше есть линейное пространство и рассматриваем его свойства только как линейного пространства, то про то, что они многочлены можно забыть и даже забыть с пользой для дела

Удачи

[...Полярная Звезда...]

Гость, All_ex, большое спасибо))

[All_ex]

welcome от всех ...