Олимпиада в Белоруссии

[wpoms.]

Олимпиада в Белоруссии проводится в 4 этапа - школьный, районный, областной, республиканский. Ежегодно Белорусская ассоциация "Конкурс" издает сборник с условиями и решениями задач.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

2022, 8 класс

1. На доске записано натуральное число. Пете разрешено заменять имеющееся на доске число на сумму квадратов его цифр. Число назовем интересным, если из него за конечное число таких операций Петя не сможет получить единицу.
Докажите, что существует бесконечно много интересных натуральных чисел.
обсуждение

2. Целые числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют равенству $a + b + c = 0.$
Обозначим $S = ab+bc+ca,$ $A = a^2 +a+ 1,$ $B = b^2 +b+ 1$ и $C = c^2 +c+ 1.$
Докажите, что число $(S+A)(S+B)(S+C)$ является квадратом целого числа.
обсуждение

3. Внутри квадрата $ABCD$ отметили точку $P,$ а на его сторонах $AB,$ $BC,$ $CD$ и $DA$ отметили точки $K,$ $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Прямые $KP,$ $LP,$ $MP$ и $NP$ пересекают стороны $CD,$ $DA,$ $AB$ и $BC$ в точках $K_1,$ $L_1,$ $M_1$ и $N_1$ соответственно. Оказалось, что \[ \frac {KP}{PK_1} + \frac {LP}{PL_1} + \frac {MP}{PM_1} + \frac {NP}{PN_1} = 4. \] Докажите, что $KP + LP + MP + NP = K_1P + L_1P + M_1P + N_1P.$
обсуждение

4. Дана клетчатая доска размера $3 \times 2021,$ все клетки которой покрашены в белый цвет. Два игрока по очереди перекрашивают в чёрный цвет две не обязательно соседние белые клетки, расположенные либо в одной строке, либо в одном столбце. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает.
Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш вне зависимости от игры соперника?
обсуждение

5. Внутри треугольника $ABC$ расположены три непересекающихся круга радиуса 1. (Круги могут касаться друг друга и сторон треугольника, но не могут иметь общих внутренних точек.)
Найдите наибольшее значение $r,$ при котором можно гарантированно утверждать, что внутри треугольника возможно нарисовать четвёртый круг радиуса $r,$ не пересекающийся с уже нарисованными тремя кругами.
обсуждение

6. Клетчатую доску размера $2022 \times 2022$ разрезали на фигуры двух видов: L-тетрамино и Z-тетрамино. Каждое тетрамино состоит из четырёх единичных квадратов, тетрамино можно поворачивать и переворачивать.
Определите, какое наименьшее количество Z-тетрамино могло получиться.
обсуждение

7. Многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет равенству \[p(\sqrt2 + \sqrt3) = \sqrt2 - \sqrt3.\]
а) Найдите все возможные значения $p(\sqrt2 - \sqrt3).$
б) Приведите пример хотя бы одного многочлена $p(x),$ удовлетворяющего условию.
обсуждение

8. 8. Витя и Маша играют в игру. Сначала Витя загадывает три различных целых числа. За один раз Маша может спросить одну из следующих величин: либо сумму чисел, либо сумму попарных произведений чисел, либо произведение чисел, загаданных Витей. Маша задаёт вопросы последовательно, причём Витя даёт ответ до того, как будет задан следующий вопрос.
а) Докажите, что Маша всегда может отгадать числа, загаданные Витей.
б) За какое наименьшее число вопросов Маша гарантированно сможет это сделать вне зависимости от того, какие числа загадал Витя?
обсуждение

[Гость]

Здравствуйте! Где можно найти условия задач прошлых олимпиад в формате pdf ?

[Холщовый мешок]

Добрый день.
Например, здесь - adu.by/ru/ucheniky/olimp-adu-by-olimpiady-turni... и здесь - artofproblemsolving.com/community/c255067_belar...

[wpoms.]

2022, 9 класс

1. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC.$ На сторонах $BC,$ $AC$ и $AB$ отмечены точки $X,$ $Y$ и $Z$ соответственно так, что треугольники $ABC$ и $YXZ$ подобны. Точка $W$ симметрична точке $X$ относительно середины стороны $BC.$
Докажите, что точки $X,$ $Y,$ $Z$ и $W$ лежат на одной окружности.
обсуждение

2. Докажите неравенство: `\frac1{1!} + \frac1{2!} + \frac1{3!} + ... + \frac1{2022!} > \frac{1^2}{2!} + \frac{2^2}{3!} + \frac{3^2}{4!} + ... + \frac{2022^2}{2023!}.`
обсуждение

3. Натуральные числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $a+\tau (a) = b^2+2,$ где через $\tau (n)$ обозначено количество всех натуральных делителей числа $n,$ включая 1 и само число $n.$
Докажите, то число $a + b$ чётно.
обсуждение

4. На доске записаны числа 1, 2, ..., 50. Аня проделывает следующие действия: стирает с доски любые два числа $a$ и $b,$ записывает на доску вместо них одно число --- их сумму $a + b,$ после чего выписывает себе в блокнот число $ab(a + b).$ Когда после 49 таких действий на доске осталось ровно одно число, Аня нашла сумму $S$ всех 49 чисел, выписанных в блокнот.
а) Докажите, что $S$ не зависит от порядка действий Ани.
б) Вычислите $S.$
обсуждение

5. Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-10.$ Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно максимальному чётному числу, а количество чётных --- максимальному нечётному числу.
а) Найдите наименьшее возможное значение $n.$
б) Найдите наибольшее возможное значение $n.$
обсуждение

6. Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle ACB = 60^\circ.$ На продолжении луча $AB$ за точку $B$ выбирается произвольная точка $D,$ а на продолжении луча $CB$ за точку $B$ отмечается точка $E$ такая, что $\angle BDE = 60^\circ.$ Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $F.$
Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от $A$ и не зависящую от выбора точки $D.$
обсуждение

7. Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$ такие, что при всех $k$ от 1 до $n$ числа $a + k$ и $b + k$ не являются взаимно простыми.
обсуждение

8. Существует ли многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам $p(\sqrt2) = \sqrt2$ и $p(2\sqrt2) = 2\sqrt2 + 2?$
обсуждение

[wpoms.]

2022, 10 класс

1. Докажите, что для любого натурального числа все его натуральные делители можно расположить по кругу так, чтобы среди любых двух соседних делителей один делился на другой.
обсуждение

2. Дано натуральное число $n.$ На отрезке $[0, n]$ числовой прямой отметили $m$ различных отрезков с целочисленными концами. Оказалось, что среди этих отрезков нельзя выбрать несколько отрезков суммарной длины $n,$ объединение которых совпадало бы со всем отрезком $[0, n].$ (Два отрезка считаются различными, если у них не совпадают пары концов. Смещать отрезки запрещено.)
Найдите максимально возможное значение числа $m.$
обсуждение

3. Через точку $F(0; \frac14)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие параболу $y = x^2$ в точках $A,$ $B,$ $C$ и $D$ (точки названы в порядке возрастания их абсцисс). Разность проекций отрезков $AD$ и $BC$ на ось абсцисс равна $m.$
Найдите площадь четырёхугольника $ABCD.$
обсуждение

4. На полуокружности с диаметром $AB$ и центром $O$ отмечена точка $D.$ Точки $E$ и $F$ --- середины меньших дуг $AD$ и $BD$ соответственно. Оказалось, что прямая, соединяющая точки пересечения высот треугольников $ADF$ и $BDE,$ проходит через точку $O.$
Найдите градусную меру угла $AOD.$
обсуждение

5. Даны $n \ge 2$ различных целых чисел, больших $-a,$ где $a$ --- натуральное число. Оказалось, что среди них количество нечётных чисел равно наибольшему чётному числу, а количество чётных --- наибольшему нечётному числу.
а) Найдите наименьшее возможное значение $n$ при всех $a.$
б) Для каждого $a \ge 2$ найдите наибольшее возможное значение $n.$
обсуждение

6. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $X$ и $Y.$ Через точку $Y$ проведены две прямые, одна из которых повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая --- в точках $C$ и $D$ соответственно. Прямая $AD$ повторно пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Оказалось, что $YP = YQ.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $BCY$ и $PQY$ касаются друг друга.
обсудение

7. Найдите все натуральные числа `a`, для которых найдётся многочлен `p(x)` с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам
` p(\sqrt2 + 1) = 2 - \sqrt2`, ` p(\sqrt2 + 2) = a.`
обсуждение

8. Дана последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ натуральных чисел. Для каждого $\ell$ от 1 до $n - 1$ нашли следующие наборы: $(\text{НОД}(a_1, a_{1+\ell}), \text{НОД}(a_2, a_{2+\ell}), ..., \text{НОД}(a_n, a_{n+\ell})),$ где все индексы берутся по модулю $n,$ т.е. если $s > n,$ то $a_s = a_{s-n}.$ Оказалось, что все найденные наборы состоят из одних и тех же $n$ попарно различных чисел и различаются, возможно, порядком их следования.
Выясните, может ли $n$ быть равно а) 21; б) 2021.
обсуждение

[wpoms.]

2022, 11 класс

1. Дана последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, ...,$ члены которой при каждом натуральном $i \ge 3$ удовлетворяют равенству \[ a_{i+1} = a_i + \text{НОД}(a_{i-1}, a_{i-2}). \] Докажите, что существуют такие натуральные числа $N$ и $M,$ для которых при всех $n \ge N$ верно равенство $a_{n+1} - a_n = M.$
обсуждение

2. Через точку $F(1; 1)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Одна из прямых пересекает правую ветвь гиперболы $y = \frac{1}{2x}$ в точках $A$ и $C$ (у $C$ абсцисса больше, чем у $A$). А другая прямая пересекает левую ветвь этой гиперболы в точке $B,$ а правую --- в точке $D.$ Произведение проекций отрезков $AC$ и $BD$ на ось абсцисс равна $m.$ Найдите площадь невыпуклого четырёхугольника $ABCD.$
обсуждение

3. На окружности отметили 2021 точку и провели 2021 отрезок с концами в отмеченных точках. После этого вычислили количество различных точек, в которых пересекаются проведённые отрезки (концы отрезков не считаются точками пересечения). Найдите наибольшее количество точек пересечения, которое могло получиться.
обсуждение

4. На плоскости даны три окружности $\omega_1,$ $\omega_2,$ и $\omega_3$ с центрами $O_1,$ $O_2,$ и $O_3$ соответственно, причём $\omega_1$ касается внешним образом $\omega_2$ и $\omega_3$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. На окружности $\omega_1$ выбирается произвольная точка $C.$ Прямая $CP$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $B,$ а прямая $CQ$ повторно пересекает $\omega_3$ в точке $A.$ Точка $O$ --- центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Докажите, что, если точка $C$ пробегает окружность $\omega_1,$ то геометрическое место точек $O$ --- окружность, центр которой лежит на описанной окружности треугольника $O_1O_2O_3.$
обсуждение

5. В клетки таблицы размера $2022 \times 2022$ записаны натуральные числа от 1 до $2022^2,$ в каждой клетке --- ровно одно число, все числа использованы по разу. Для каждой строки Влад выписал себе по одному числу, являющемуся вторым по убыванию в этой строке. А Дима проделал то же для каждого столбца. Оказалось, что мальчики выписали 4044 попарно различных числа и найдутся $k$ чисел, выписанных Владом, каждое из которых меньше любого числа, выписанного Димой. Найдите наибольшее возможное значение числа $k.$
обсуждение

6. Вписанная окружность прямоугольного треугольника $ABC$ касается гипотенузы $AB$ в точке $P,$ а катетов $AC$ и $BC$ --- в точках $Q$ и $R$ соответственно. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $PQ$ и $PR.$ Найдите градусную меру угла $C_1IC_2,$ где $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC.$
обсуждение

7. Числа $-1011,$ $-1010,$ ..., $-1,$ $1,$ $2,$ ..., $1010,$ $1011$ образуют в некотором прядке последовательность $a_1,$ $a_2,$ ..., $a_{2022}.$ Найдите наибольшее возможное значение суммы
$|a_1| + |a_1 + a_2| + |a_1 + a_2 + a_3| + ... + |a_1 + a_2 + ... + a_{2022}|.$
обсуждение

8. Многочлен $P(x, y)$ двух переменных с целыми коэффициентами удовлетворяет следующим двум условиям:
1) для каждого целого числа $a$ существует, причём ровно одно, целое значение $y$ такое, что $P(a, y) = 0;$
и
2) для каждого целого числа $b$ существует, причём ровно одно, целое значение $x$ такое, что $P(x, b) = 0.$

а) Докажите, что, если степень $P(x, y)$ равна двум, то он делится на многочлен $x - y + C$ либо на многочлен $x + y + C,$ где $C$ --- целое число.
б) Существует ли такой многочлен $P(x, y),$ не кратный ни одному многочлену вида $x - y + C$ и $x + y + C,$ где $C$ --- целое число?
обсуждение