Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность, $AB=CD=EF,$ диагонали $AD,BE$ и $CF$ проходят через одну точку. Пусть $P$ --- точка пересечения $AD$ и $CE.$ Докажите, что $\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.$ |  |
Стороны $99$-угольника сначала покрасили так, что последовательные стороны окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, синий, желтый цвет. Выполняется последовательность изменения цвета сторон, по одной стороне за раз. Стороны окрашиваются в красный, синий или желтый цвет при условии, что никакие две смежные стороны не будут иметь одинаковый цвет. Может ли после выполнения подобных перекрашиваний получиться так, что последовательные стороны будут окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, желтый, синий цвет? | |
Пусть $k_1 < k_2 < k_3 < \cdots$ --- положительные целые числа, никакие два из которых не являются последовательными, и пусть $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ для $m = 1, 2, 3, \ldots$. Докажите, что, для всех положительных целых чисел $n,$ интервал $[s_n, s_{n+1}),$ содержит по крайней мере один квадрат целого числа. | |
Помогите, пожалуйста, решить задачки на круговое движение:
1. Три бегуна стартую одновременно из трёх точек круговой беговой дорожки, являющихся вершинами правильного треугольника, и бегут в одном направлении. Первый бегун обгоняет второго через 4 мин после старта, а третьего – через 5 мин после старта. Известно, что третий бегун бежит быстрее второго. Через сколько минут после старта третий бегун нагонит второго?
2. Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, а второй из точки В – и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их 15 встреч на трассе после старта только третья и пятнадцатая состоялись в точке В. Найти отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не меньше одного круга.
3. Два спортсмена стартуют одновременно из одной и той же точки кольцевой дорожки стадиона и движутся в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что к моменту их шестой встречи первый спортсмен проехал расстояние на 1200 м большее, чем второй. Если бы второй спортсмен увеличил скорость своего движения в два раза, то к моменту шестой встречи первый спортсмен проехал бы расстояние на 480 м большее, чем второй. Определить длину дорожки стадиона.
4. Два бегуна одновременно стартуют из одной точки кольцевой дорожки на дистанцию 50 кругов и бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Через некоторое время выяснилось, что первый бегун обгоняет второго каждые 4 мин. Пробежав полные 45 кругов первый бегун упал и 1 мин 40 с оправлялся от травмы. Однако потом он всё же продолжил бег, правда со скоростью в четыре раза меньшей, чем первоначально, и закончил дистанцию одновременно со вторым бегуном. За сколько минут пробегают круг первый и второй бегуны?
Срок: 10.01.24
Класс: 11
Совсем нет идей, как к ним подступиться, но научиться решать очень хочется...
Всем приложившим ум к задачкам заранее огромное спасибо!
Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется $\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$ | |
Пусть $a$ и $b$ --- нечетные положительные целые числа. Определим последовательность $(f_n)$, полагая, что $f_1 = a$, $f_2 = b$, а $f_n$ для $n\ge3$ --- наибольший нечетный делитель $f_{n-1} + f_{n-2}$. Покажите, что значение $f_n$ равно некоторой константе при достаточно больших $n$ и найдите эту константу как функцию от $a$ и $b$. | |
| 1. 360 | (0%) | ||
| 2. 450 | (0%) | ||
| 3. 480 | (0%) | ||
| 4. 500 | 2 | (100%) | |
| Всего: | 2 | ||
