В Сириусе

[domzorgisto]

завершился съезд Ассоциации Ященко a.k.a Всероссийский съезд учителей математики

Странная резолюция, видео и так далее:
sochisirius.ru/obuchenie/pedagogam/smena923/445...

---

Наибольшее

[wpoms.]

Пусть `a,b,c` - ненулевые действительные числа и `a+b+c=0.` Найдите наибольшее значение выражения `(a^2b^2c^2)/((a^2+ab+b^2) (b^2+bc+c^2) (c^2+ca+a^2)).`

@темы: Задачи на экстремум

---

Что-то с памятью

[wpoms.]

В организации есть по три экземпляра накопителей объёмом 1, 2, 4, 8, 16 и 32 Гб. Их выдали шести работникам, по три накопителя разного объёма каждому. Докажите, что есть накопители двух объемов такие, что каждый работник получил не более одного из них, или любые два работника получили различные по суммарному объему накопители.

@темы: Дискретная математика

---

Функции не существует

[wpoms.]

Покажите, что не существует функции `f : RR -> RR` такой, что `f(x+f(y)) = f(x) + y^2` для всех действительных `x,y.`

@темы: Функции, ТФДП

---

[Дилетант]

Второй день пьем здоровье именинника!

Дорогой  All_ex, от всей души поздравляем Вас с днем рождения!
Ужасно прошу прощения за запоздалые поздравления, но зато они от всего сердца!
Счастья, здоровья, благополучия, успехов и свершений! Побольше всяких радостей!
Всего самого-самого хорошего!

@темы: Праздники, Люди

---

Будущее наступает?

[All_ex]

@темы: Образование, Новости

---

25 юниорская балканская олимпиада

[wpoms.]

1. Пусть $n$ $(n \geq 1)$ — целое число. Рассмотрим уравнение \[2 \cdot \left[\dfrac{1}{2 x}\right] - n + 1 = (n+1)(1-nx), \] где $x$ — неизвестная действительная переменная.
$a$) Решите уравнение при $n=8$.
$b$) Покажите, что существует целое число $n$, для которого уравнение имеет не меньше, чем 2021 решений.
(Для любого действительного числа $y$ через $[y]$ обозначается наибольшее целое число $m$ такое, что $m \leq y.$)

2. Для любого множества $A=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right\}$, состоящего из пяти различных целых положительных чисел, обозначим через $S_{A}$ сумму его элементов, а через $T_{A}$ — количество троек $(i, j, k)$ с $1 \leqslant i < j < k \leqslant 5$, для которых $x_{i}+x_{j}+x_{k}$ делит $S_{A}$. Найдите наибольшее возможное значение $T_{A} .$

3. Пусть $A B C$ — остроугольный разносторонний треугольник, а $O$ — центр описанной около него окружности. Пусть $D$ — основание высоты, проведенной из $A$ к стороне $BC.$ Прямые $BC$ и $AO$ пересекаются в $E.$ Пусть $s$ — прямая, проведенная из $E$ перпендикулярно к $A O .$ Прямая $s$ пересекает $AB$ и $AC$ в $K$ и $L$, соответственно. Обозначим через $\omega$ окружность, описанную около треугольника $A K L .$ Прямая $A D$ пересекает ещё раз $\omega$ в $X$. Покажите, что $\omega$ и окружности, описанные около треугольников $A B C$ и $D E X$, имеют общую точку.

4. Пусть $M$ — некоторое подмножество множества $\{1,2,3, \ldots, 2021\}$, состоящего из 2021 чисел, такое, что для любых трёх элементов (не обязательно различных) $a, b, c$ из $M$ имеем $|a+b-c|>10.$ Найдите наибольшее возможное количество элементов $M.$

matol.kz

@темы: Олимпиадные задачи

---

20 соревнование Шелковый путь

[wpoms.]

1. Дана последовательность $s$, состоящая из нулей и единиц. Для каждого натурального $k$ определим $v_k$ как наибольшее количество способов, которыми в какой-нибудь последовательности длины $k$ могут быть выделены несколько последовательных цифр, образующих последовательность $s$. (Например, если $s=0110$, то $v_7=v_8=2$, так как в последовательностях 0110110 и 01101100 найти подряд стоящие цифры 0110 можно в двух местах, а три пары единиц, обрамленных нулями, не могут встретиться в последовательности длины 7 или 8.) Известно, что $v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ для некоторого натурального $n$. Докажите, что в последовательности $s$ все цифры одинаковы. ( А. Голованов )

2. Для каждого натурального $m$ докажите неравенство \[ \left| \{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2} \right| > \dfrac{1}{8(\sqrt{m}+1)}. \] (Целой частью $[x]$ числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $[x] + \{x\} = x$.) ( А. Голованов )

3. В треугольнике $ABC$, точка $M$ — середина стороны $AB$. На отрезке $AC$ отмечена точка $B_1$ такая, что $CB = CB_1$. Окружности $\omega$ и $\omega_1$, описанные около треугольников $ABC$ и $BMB_1$, соответственно, пересекаются во второй раз в точке $K$. Точка $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности $\omega$. Прямые $B_1Q$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что прямая $KC$ делит отрезок $B_1E$ пополам. ( М. Кунгожин )

4. Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ удовлетворяют условиям $x^2+y^2=z^2+t^2$, $xy=2zt$. Докажите, что $xyzt=0$. ( М. Абдувалиев )

matol.kz

@темы: Олимпиадные задачи

---

На одной окружности

[wpoms.]

Окружность, вписанная в треугольник `ABC,` касается сторон `BC, CA, AB` в точках `D, E, F соответственно. Точки `P, Q` --- середины отрезков `DF, DE.` Пусть `PC` пересекает `DE` в точке `R` и `BQ` пересекает `DF` в точке `S.` (1) Докажите, что точки `B, C, P, Q` лежат на одной окружности. (2) Докажите, что точки `P, Q, R, S` лежат на одной окружности.

@темы: Планиметрия

---

Разбиение числа

[wpoms.]

Под разбиением $\pi$ целого числа $n\ge 1$ понимается представление $n$ в виде суммы одного или более положительных целых чисел, при условии, что слагаемые идут в неубывающем порядке. (То есть, если $n=4$, то разбиениями $\pi$ являются $1+1+1+1$, $1+1+2$, $1+3, 2+2$ и $4$). Для произвольного разбиения $\pi$ определим $A(\pi)$ как количество единичных слагаемых в $\pi$, и определим $B(\pi)$ как количество различных слагаемых в $\pi$. (То есть, если $n=13$ и $\pi$ это разбиение $1+1+2+2+2+5$, то $A(\pi)=2$ и $B(\pi) = 3$). Докажите, что, для любого конкретного $n$ сумма $A(\pi)$ по всем разбиениям $\pi$ числа $n$ равна сумме $B(\pi)$ по всем разбиениям $\pi$ числа $n$.

@темы: Теория чисел

---

Задача по геометрии.

[Salam0@0@0@]

Основанием пирамиды PEFM служит равнобедренный треугольник, EF = ЕМ, MF = 20√6. Боковое ребро РЕ равно 10 и перпендикулярно плоскости основания. Угол между РЕ и плоскостью MPF равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.


Мне нужно всего лишь  понять, где находится угол 60° и почему.

@темы: Сообщество, Ссылки

---

Построение

[wpoms.]

На плоскости изображены две разные окружности $K_1$ и $K_2.$ Они пересекаются в точках $A$ и $B$, где $AB$ диаметр $K_1$. Точка $P$ принадлежит $K_2$ и находится внутри $K_1.$ Для построения разрешается использовать только ``T-квадрат'' (то есть инструмент для построения прямой линии через две точки и перпендикуляра к прямой, проходящего через точку, лежащую как на прямой, так и вне её). Постройте точки $C$ и $D$ на окружности $K_1$ такие, что $CD$ перпендикулярна $AB$ и $\angle CPD$ является прямым.

@темы: Планиметрия

---

Среднее квадратичное

[wpoms.]

Для какого наименьшего целого числа $n > 1$ среднее квадратичное первых $n$ положительных целых чисел является целым числом? Примечание. Среднее квадратичное $n$ чисел $a_1, a_2, \cdots, a_n$ это число $\left[\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}n\right]^{1/2}$

@темы: Теория чисел

---

1.59

[domzorgisto]

Пользуясь приведенным рисунком, докажите формулу для углов треугольника: $\tg \alpha + \tg \beta + \tg \gamma = \tg\alpha \cdot \tg\beta \cdot \tg\gamma.$

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Для девятиклассников

[domzorgisto]

Настоящее пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется школьникам при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень и первая часть профильного уровня), учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

vk.com/club90389798?w=wall-90389798_49456

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Что за ножка у индюшки, так румяна и вкусна

[wpoms.]

Как это часто бывает, слушая доклад о вкусной и здоровой пище, каждый из пяти математиков засыпал дважды и каждая пара математиков в какой-то момент спала одновременно. Докажите, что в какой-то момент времени одновременно спали трое.

@темы: Дискретная математика

---

Про рыб

[domzorgisto]

Американский рак-агрессор (с)

libgen.st/book/index.php?md5=6FAE22E24056F85D4B...

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Замечательная точка

[domzorgisto]

Кушнир И.А. Замечательная точка W - Днепр: Середняк Т. К, 2017, - 260 с.

Книга известного автора посвящена замечательной точке Wi и отрезку АWi 0=1,2,3). Новые задачи вызовут интерес у широкого круга читателей, увлеченных геометрией, созданной автором.

libgen.st/book/index.php?md5=E0EA8FCBA604AA974E...

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Дополнение

[domzorgisto]

к сборнику Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады.— СПб.: Политехника, 1994. — 309 с: ил.

Гаращук K. Задачи Ленинградских математических олимпиад для пятиклассников: 1979-1992 - Springer, 2020. — 178 p.

This unique book presents mathematical competition problems primarily aimed at upper elementary school students, but are challenging for students at any age. These problems are drawn from the complete papers of the legendary Leningrad Mathematical Olympiads that were presented to the city’s Grade Five students. The period covered is between 1979 – the earliest year for which relevant records could be retrieved – and 1992, when the former Soviet Union was dissolved. The respective chapters reflect the famous four-step approach to problem solving developed by the great Hungarian mathematics educator Gyorgy Pólya. In Chapter One, the Grade Five Competition problems from the Leningrad Mathematical Olympiads from 1979 to 1992 are presented in chronological order. In Chapter Two, the 83 problems are loosely divided into 26 sets of three or four related problems, and an example is provided for each one. Chapter Three provides full solutions to all problems, while Chapter Four offers generalizations of the problems.
This book can be used by any mathematically advanced student at the upper elementary school level. Teachers and organizers of outreach activities such as mathematical circles will also find this book useful. But the primary value of the book lies in the problems themselves, which were crafted by experts; therefore, anyone interested in problem solving will find this book a welcome addition to their library.

libgen.st/book/index.php?md5=929CFABEC3568F2E55...

1979.1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 13 × 7. Вырежьте из него 15 прямоугольников размерами 2 × 3.

1979.1. Pack fifteen 2 × 3 chocolate pieces into a 7 × 13 box, leaving a 1 × 1 hole.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Делимость

[wpoms.]

a) Существуют ли 14 последовательных положительных целых чисел, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 11$? b) Существует ли 21 последовательное положительное целое число, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 13$?

@темы: Теория чисел