, Ω_φ (t,&tau∈L_(p^' ) (0,T),t,T>0,τ∈(0,T],T∈R_+` и `Ω_φ (t,&tau≈φ(&tau, 0<τ≤t`, `Ω_φ (t,&tau≈(t)^(k/n) φ(&tau τ^(-k/n), τ>t`` - положительная функция.
=(φ(&tau)/(1+(τ/t)^(k/n) ), t,τ>0`≈φ(&tau, 0<τ≤t`, `Ω_φ (t,&tau≈(t)^(k/n) φ(&tau τ^(-k/n), τ>t` - положительная функция.
Для каких натуральных $n \ge 2$ можно записать числа 1, 2, 3, ..., $n$ в ряд в некотором порядке так, чтобы любые два последовательных числа отличались на 2 или на 3? |  |
В Австралии проводится много математических соревнований. Ниже краткое описание двух из них. Australian mathematics competition (AMC). Соревнование проводится для школьников 3-12 классов. Школьникам предлагается решить 30 задач. Соревнование проводится онлайн учителями в школах. The Australian Mathematical Olympiad (AMO). Это двухдневное соревнование, в каждый из двух дней школьникам предлагают решить 4 задачи. В соревновании принимают участие около 200 школьников из Австралии и Новой Зеландии. www.amt.edu.au | |
Пусть $a_1,a_2,a_3,\cdots$ --- неубывающая последовательность положительных целых чисел. Для каждого $m \ge 1$ определим $b_m=\min\{n: a_n \ge m\}$, то есть $b_m$ равно минимальному значению $n$ такому, что $a_n\ge m$. Известно, что $a_{19}=85.$ Найдите наибольшее значение суммы $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+b_1+b_2+\cdots+b_{85}.$ |  |
В вечеринке приняли участие $n$ человек. Докажите, что среди них можно выбрать двоих так, чтобы среди остальных $n-2$ участников нашлись по крайней мере $\lfloor n/2\rfloor -1$ таких, что они либо знают обоих выбранных, либо не знают ни одного из них. Предполагается, отношение знаю является симметричным; $\lfloor x\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$. | |
Точки $A,B,C,D$ выбираются в пространстве так, что длина не более чем одного из отрезков $AB,AC,AD,BC,BD,CD$ превышает 1. Найдите наибольшее возможное значение суммы длин этих отрезков. | |
Найдите все действительные решения уравнения $x^4 - (2\cdot10^{10}+1)x^2 - x + 10^{20} + 10^{10} - 1=0$ с точностью до четвертого знака после запятой. | |
Определите, имеет ли целые положительные решения система уравнений `x_1^2+x_2^2+...+x_{1985}^2=y^3`, `x_1^3+x_2^3+...+x_{1985}^3=z^2`, при условии, что $x_1,x_2,\cdots,x_{1985}$ --- различные числа. | |
В квадрате $ABCD$ точка $E$ --- середина стороны $CD$ и $M$ --- внутренняя точка квадрата такая, что $\angle MAB = \angle MBC = \angle BME.$ Найдите величину угла $MAB.$ |  |
Найдите наименьшее натуральное число, которое может быть выражено как в виде суммы 9 последовательных натуральных чисел, так и в виде суммы 10 последовательных натуральных чисел? Примечание: ``натуральное'' следует понимать как ``положительное целое''. | |
$ABCD$ --- трапеция с основаниями $AB$ и $CD.$ $M$ --- середина стороны $AD.$ Угол $MCB$ прямой, $MC = 7$ см и $BC = 5$ см. Найдите площадь трапеции. | |
