Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
В Австралии проводится много математических соревнований. Ниже краткое описание двух из них. Australian mathematics competition (AMC). Соревнование проводится для школьников 3-12 классов. Школьникам предлагается решить 30 задач. Соревнование проводится онлайн учителями в школах. The Australian Mathematical Olympiad (AMO). Это двухдневное соревнование, в каждый из двух дней школьникам предлагают решить 4 задачи. В соревновании принимают участие около 200 школьников из Австралии и Новой Зеландии. www.amt.edu.au |  |
-
-
29.03.2021 в 08:541. Для каких натуральных $n \ge 2$ можно записать числа 1, 2, 3, ..., $n$ в ряд в некотором порядке так, чтобы любые два последовательных числа отличались на 2 или на 3?
обсуждение
2. Даны пять различных целых чисел. Рассмотрим десять разностей, образованных парами этих чисел. (Отметим, что некоторые из этих разностей могут быть равны.) Определите наибольшее целое число, которое будет делителем произведения этих десяти разностей вне зависимости от выбора пяти исходных целых чисел.
обсуждение
3. Найдите все функции $f,$ определённые на множестве действительных чисел и принимающие действительные значения, такие, что \[f(x^2 + f(y)) = f(xy)\] для всех действительных чисел $x$ и $y.$
обсуждение
4. Пусть $S$ --- множество, состоящее из 2017 точек плоскости, не все из которых лежат на одной прямой.
Докажите, что $S$ содержит три точки, являющиеся вершинами треугольника, центр описанной окружности которого не принадлежит $S.$
обсуждение
5. Найдите количество положительных целых чисел `n` меньших 1\,000\,000, для которых сумма
`\frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{1} \rfloor + 1} + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{2} \rfloor + 1} + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{3} \rfloor + 1} + \cdots + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1}`
является целым числом.
(Отметим, что `\lfloor x \rfloor` обозначает наибольшее целое число меньшее или равное `x`.)
обсуждение
6. Окружности $K_1$ и $K_2$ пересекаются в двух различных точках $A$ и $M.$ Касательная к $K_1$ в точке $A$ пересекает повторно $K_2$ в точке $B,$ касательная к $K_2$ в точке $A$ пересекает $K_1$ повторно в точке $D.$ Пусть $C$ --- точка, такая что $M$ --- середина $AC.$ Докажите, что вершины четырехугольника $ABCD$ лежат на одной окружности.
обсуждение
7. Вдоль кругового трека длиной 1 километр на равных расстояниях стоят 1000 спортсменов.
(a) Сколькими способами можно разбить спортсменов на 500 пар так, чтобы расстояние (вдоль трека) между членами каждой пары было равно 335 метрам?
(b) Сколькими способами можно разделить спортсменов на 500 пар так, чтобы расстояние (вдоль трека) между членами каждой пары было равно 336 метрам?
обсуждение
8. Дана функция $f(x) = x^2 - 45x + 2.$ Найдите все целые числа $n \ge 2$ такие, что ровно одно из чисел \[f(1), f(2), \ldots, f(n)\] делится на $n.$
обсуждение