(a) Докажите, что если шесть углов между парами граней данного тетраэдра равны, то тетраэдр является правильным. (b) Будет ли тетраэдр правильным, если равны пять пар таких углов? |  |
Целое число $n$ назовём хорошим, если оно может быть представлено в виде $n=a_1+a_2+\cdots+a_k$, где $a_1,a_2, \ldots, a_k$ являются положительными (не обязательно различными) целыми числами, удовлетворяющими равенству $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_k} = 1.$ Известно, что целые числа от 33 до 73 являются хорошими. Докажите, что каждое целое число $\ge 33$ хорошее. | |
$ABCD$ и $A'B'C'D'$ являются квадратными картами некоторой страны, выполненными в разных масштабах и наложенными так, как показано на рисунке. Докажите, что на меньшей карте имеется единственная точка $O$ такая, что она лежит на точке $O'$ большей карты и $O$ и $O'$ соответствуют одному и тому же месту страны. Постройте с помощью циркуля и линейки точку $O$.  | |
Пусть $a,b,c,d,e$ --- действительные числа такие, что $a+b+c+d+e=8, \quad a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16.$ Найдите максимальное значение $e$. | |
В треугольнике $ABC,$ с прямым углом $C,$ точка $F$ является общей для высоты $CD$ и биссектрисы $AE$, а точка $G$ лежит на $ED$ и $BF.$ Докажите, что площадь четырёхугольника $CEGF$ равна площади треугольника $BDG.$ |  |
Найдите все действительные решения уравнения $x + \cos x = 1.$ | |
Покажите, что уравнение $x^{19} + x^{17} = x^{16} + x^7 + a$ при всех $a \in \R$ имеет по крайней мере два мнимых корня. | |
