Даны простое число `p > 2` и числа `x,y \in \{ 1, 2, \ldots , {p - 1}/{2} \}`. Докажите, что если число `x*( p - x)*y*( p - y)` является квадратом целого числа, то `x = y`. |  |
Гурман Жан сравнивал $n$ ресторанов, где $n$ --- положительное целое число. Каждая пара ресторанов сравнивалась по двум показателям: качеству еды и уровню обслуживания. В некоторых случаях Жан не мог определиться, какой из двух ресторанов лучше по какому-то одному показателю, но тогда он всегда выбирал лучший по другому показателю. Понятно, что если Жан узнал, что ресторан $A$ лучше ресторана $B$ по какому-то показателю, и ресторан $B$ лучше ресторана $C$ по этому же показателю, то он считает, что $A$ лучше $C$ по этому показателю. Докажите, что есть ресторан $R$ такой, что любой другой ресторан хуже чем $R$ хотя бы по одному показателю. | |
Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка $J$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами отрезков $JD$ и $JE$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. | |
Республиканская олимпиада школьников по математике Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: районный, муниципальный и республиканский. |  |
Рассмотрим два треугольника `ABC` и `PQR`, показанные на рисунке. Точка `D` в треугольнике `ABC` выбрана так, что `/_ ADB = /_ BDC = /_ CDA = 120^@`. Докажите, что `x = u + v + w`.  |  |
Папа, мама и сын проводят семейный турнир, играя в игру без ничьих, в каждой партии которой участвуют два игрока. Правила турнира: (i) Самый слабый игрок выбирает первую пару игроков. (ii) Победитель очередной партии проводит следующую партию против человека, не игравшего в предыдущей партии. (iii) Первый человек, выигравший две партии, выигрывает турнир. Папа - самый слабый игрок, сын - сильнейший. Предполагается, что вероятность любого игрока выиграть партию у другого игрока не меняется во время турнира. Докажите, что оптимальная стратегия папы для победы в турнире - сыграть первую партию с мамой. | |
Две точки на поверхности шара радиуса 1 соединены кривой, длина которой меньше 2 и все точки которой не лежат вне шара. Докажите, что кривая содержится в половине шара, ограниченной полусферой и плоскостью, проходящей через его центр. | |
1192x433(42.95 kB)" class="simg" />Докажите, что для положительных действительных чисел `a`, `b` и `c` верно неравенство `a^a*b^b*c^c >= (a*b*c)^{(a+b+c)/3}`. | |
 |
Математические олимпиады : 906 самых интересных задач и примеров с решениями / Р.И. Довбыш [и др.]. — 2-е изд. Ростов н/Д : Феникс; Донецк: ООО ПКФ «БАО», 2008. — 331 с. — (Большая перемена). Сборник предназначен для внеклассной и факультативной работы со школьниками и студентами, готовящимися посвятить себя серьёзному изучению математики. Содержит задачи, предлагаемые в течение сорока лет участникам математических олимпиад, с подробными указаниями к их решению. Скачать (djvu) libgen || twirpx |
| Всероссийская олимпиада школьников. Рязанская область Олимпиады школьников г. Рязани  Задания 2018/19 у.г. |  |
Пусть `a`, `b`, и `c` — различные целые числа, а `P` — полином с целыми коэффициентами. Покажите, что невозможно одновременное выполнение равенств `P(a)=b`, `P(b)=c` и `P(c)=a`. | |
