[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Кировская область Олимпиады Кировской Области Задания 2013/14 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

5 класс

Задача 1. Найдите четырёхзначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой, третья — втрое меньше второй, а четвёртая — вчетверо больше третьей.

Задача 2. В 9.00 Юра вышел из дома и пошёл по прямой дороге со скоростью 6 км/ч. Через некоторое время он развернулся и с той же скоростью пошёл домой. В 12.00 Юре оставалось до дома два километра. На каком расстоянии от дома он развернулся? Объясните, как был найден ответ.

Задача 3. «Уголок», изображённый на рисунке, легко разрезать на четыре одинаковых квадрата. А как разрезать его на 6 одинаковых частей?


Задача 4. Встретились три пятиклассника — Миша, Коля и Толя. Каждый из них либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Миша сказал: «Все мы — лжецы». Коля сказал: «Среди нас ровно два лжеца». Толя промолчал. Кто из них лжец, а кто — нет? Объясните, как Вы рассуждали.

Задача 5. Можно ли выложить в ряд 30 шариков — белых, синих и красных — так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих подряд — хотя бы один синий, а среди любых пяти идущих подряд — хотя бы один красный? Ответ объясните.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

6 класс

Задача 1. Такова же, как задача 2 для 5 класса.

Задача 2. Такова же, как задача 3 для 5 класса.

Задача 3. В магазине продают металлические буквы (одинаковые буквы стоят одинаково, а разные, возможно, по-разному; цены не обязательно равны целому числу рублей). Слово ВОЛ обойдётся в 15 рублей, ОЛОВО — в 23 рубля, СТОК— в 20 рублей. Сколько стоит слово ОТКОС? Ответ объясните.

Задача 4. В Простоквашинской сельской библиотеке в 34,56 раза больше книг, чем на книжной полке у Дяди Фёдора. Докажите, что в этой библиотеке больше 800 книг.

Задача 5. Можно ли выложить в ряд 20 шариков — белых, синих и красных — так, чтобы среди любых двух идущих подряд шариков был хотя бы один белый, среди любых трёх идущих подряд — хотя бы один синий, а среди любых девяти идущих подряд — хотя бы один красный?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

Задача 1. У Федота был капитал. Когда мама дала Федоту 49 рублей, его капитал вырос в 99 раз. Сколь велик был этот капитал вначале?

Задача 2. Как провести через одну точку четыре прямые, чтобы среди углов между ними нашлись углы величиной 10°, 20°, 30°, 40° 50° и 60° ? На чертеже укажите величины углов.

Задача 3. Коля, Вася и Петя пошли за покупками. Всего у них с собой 2200 рублей, и ни у кого нет монет мельче рубля. У Коли с собой в 18 раз меньше денег, чем у Васи. Докажите, что Петя сможет купить мороженое за 15 рублей.

Задача 4. 20 человек выстроены в пять шеренг по четыре человека в каждой . Каждый из них либо рыцарь, всегда говорящий правду, либо лжец, который всегда лжёт, и всем им известно, кто из них рыцарь, а кто — лжец . Журналист спросил у каждого из них: «Верно ли, что в каждой шеренге стоит хотя бы один лжец?». Могло ли случиться, что трое ответили «нет», а остальные — «да»?

Задача 5. Миша и Маша ехали на поезде в Киров. Миша лежал на полке, а Маша смотрела в окно. «Далеко ли до Кирова?» — спросил Миша у Маши в 12.00. «73 километра», — ответила Маша. На тот же вопрос, заданный в 12.15 и 12.45, Маша ответила: «62 километра» и «37 километров». Известно, что Маша, если расстояние составляло не целое число километров, каждый раз округляла его до ближайшего целого числа (а если таких было два — то до любого из них по своему выбору). Найдите скорость поезда, если известно, что она была постоянной. Укажите все возможности и докажите, что других нет.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

Задача 1. Трёхзначное число в 56 раз больше своей последней цифры. Во сколько раз оно больше своей первой цифры?

Задача 2. В магазине продают металлические буквы (одинаковые буквы стоят одинаково, а разные, возможно, по-разному; цены не обязательно равны целому числу рублей). Слово КОТ обойдётся в 15 рублей, РОТ— в 17 рублей, АУ— в 12 рублей, РУКА — в 21 рубль. Сколько стоит слово УРА?

Задача 3. Существует ли такое пятизначное число, что среди любых трёх его идущих подряд цифр есть хотя бы две единицы, а среди любых четырёх идущих подряд — хотя бы две двойки? Если да — приведите пример. Если нет — объясните, почему.

Задача 4. На гипотенузе АС прямоугольного треугольника АВС отмечены такие точки и Е, что АD = АВ и СЕ = СВ. Из точки D опущен перпендикуляр DF на прямую ВF. Докажите, что DF = ВF.

Задача 5. Двое играют в игру. Вначале у них есть квадратный лист бумаги со стороной 4. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника впервые появляется сторона длиной не больше 1. Кто победит при правильной игре обоих игроков: тот, кто ходит первым или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

Задача 1. Найдите произведение (sin 0° - соs 0°)(sin 1° - соs 1 °)...(sin 89° - соs 89°)(sin 90° - соs 90°).

Задача 2. На координатной плоскости даны точки А(0,0), В(1,2), С(4,2). Докажите, что прямая у = х делит угол ВАС на два равных угла.

Задача 3. Даны три различных натуральных числа k, m и n. Докажите, что числа 2^k , 2^m, 2^n можно вписать вместо многоточий в равенство ...x^2+...x+... = 0 таким образом, чтобы у получившегося квадратного уравнения были два различных корня.

Задача 4. Можно ли покрасить каждую точку плоскости в красный или синий цвет таким образом, чтобы на каждой окружности радиуса 1, находящейся в этой плоскости, лежало ровно сто синих точек?

Задача 5. Двое играют в игру. Вначале у них есть квадратный лист бумаги со стороной 2013. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника впервые появляется сторона длиной не больше 1. Кто победит при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

Задача 1. Найдите произведение (tg2 1°- 3)(tg2 2°- 3)...(tg2 88°- 3)(tg2 89 °- 3).

Задача 2. Такова же, как задача 3 для 9 класса.

Задача 3. Пусть М — точка пересечения медиан треугольника АВС. Известно, что вписанные в треугольники АВМ, ВСМ и САМ окружности равны и попарно касаются друг друга. Докажите, что треугольник АВС —равносторонний.

Задача 4. На каждой грани куба поставлено натуральное число. В каждой вершине этого куба поставлено произведение чисел на примыкающих к этой вершине гранях. Сумма всех чисел в вершинах оказалась равна 2013. Чему может быть равна сумма всех чисел на гранях (укажите все возможности)?

Задача 5. Двое играют в игру. Вначале у них есть прямоугольный лист бумаги размером m х n, где m и n — натуральные числа, большие 1. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника есть сторона длины строго меньше 1 или остался квадрат 1 x1. Кто победит при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

Задача 1. Какое наибольшее количество различных не равных 0 цифр можно выписать в ряд так, чтобы из любых двух стоящих рядом цифр одна делилась на другую?

Задача 2. Найдутся ли такие три вещественных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два положительных корня, а если в другом - два отрицательных?

Задача 3. Может ли развёртка треугольной пирамиды быть пятиугольником?

Задача 4. Существует ли такой выпуклый пятиугольник, что для любой его вершины две проведённые из неё диагонали делят его на три треугольника равной площади?

Задача 5. Двое играют в игру. Вначале у них есть прямоугольный лист бумаги размером m х n, где m и n — натуральные числа, большие 1. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок разрезает имеющийся прямоугольник на два, один из которых имеет площадь 1, и выбрасывает прямоугольник единичной площади. Проигрывает тот, после хода которого у оставшегося прямоугольника есть сторона длины строго меньше 1. Если же остался квадрат 1x1, проигрывает тот, кто должен делать ход. Кто победит при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнёр, — и как ему для этого надо играть?

[Гость]

На сайте Олимпиады Кировской Области опубликовали задачи последних лет.

2017

---

[Гость]

olimp43.ru/tasks/2018_2019/municipalstage/mathe...

[Гость]

Муниципальный этап 2019/20

olimp43.ru/tasks/2019_2020/municipalstage/mathe...

[All_ex]

Гость, Муниципальный этап 2019/20
спасибо...

Что такое похвальная грамота я понимаю... а что такое диплом призёра между дипломами II и III степеней?...

[Гость]

Не нашел положение (

[Гость]

Колмогоров Н.А., Нагибин Ф.Ф., Чудиновских В.В. Сборник задач для подготовки учащихся средних школ к математическим олимпиадам - Горький: Волго-Вятское книжное издательство, 1968, 136 с.

Настоящий сборник ставит своей целью оказать помощь учителям математики в подготовке учащихся средних школ к математическим олимпиадам, которые в настоящее время становятся все более и более распространенными. Кроме того, он может быть полезным учителям математики при проведении занятий в школьных математических кружках и других внеклассных мероприятий.
В данном сборнике помещено 570 задач по арифметике, по различным разделам алгебры, геометрии, тригонометрии, в том числе задач, решаемых методом исчерпывающих проб, задач и примеров, содержащих абсолютные величины, задач на нахождение наибольших и наименьших значений, логических задач. На все задачи даны или полные решения, или указания, или ответы. Для задач на некоторые разделы даны методические указания.
При составлении сборника авторы стремились включать в него, главным образом, нестандартные задачи. С этой целью в сборнике помещены задачи, которые давались в разное время на различных математических олимпиадах, например, на московской, ленинградской, киевской, минской и других. Значительное число задач накопилось у авторов в связи с проведением математических олимпиад в городе Кирове, начиная с 1940 года, которые тоже вошли в настоящий сборник.

www.upload.ee/files/12377000/kolmogorov1968.pdf...

[All_ex]

Гость, спасибо..

[Гость]

Муниципальный этап 2020/21

5 класс

1. Если Маша купит бублик, у неё останется 50 рублей, а если она захочет купить два бублика, то ей будет не хватать 50 рублей. Сколько денег у Маши? Объясните, как вы получили ответ.

2. В ряд записаны 20 единиц. Как вставить между некоторыми из них плюсы и минусы таким образом, чтобы после выполнения действий получилось 2020?

3. Однажды в комнате собрались Петя, Вася и Толя. Каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Петя сказал: «Вася --- лжец!» Вася сказал: «Петя --- лжец!». Толя сказал: «И Петя лжец, и Вася лжец!» Сколько лжецов среди собравшихся? Ответ обоснуйте.

4. Таня и Маша ехали на велосипедах по асфальту с одной и той же постоянной скоростью, Таня --- в километре впереди Маши. Потом им встретился километровый участок грунтовой дороги, где каждая из них ехала со вдвое меньшей скоростью, а за ним --- двухсотметровый участок ремонтных работ, где каждая ехала со вчетверо меньшей скоростью, чем по асфальту. Затем до конца поездки Таня с Машей снова ехали по асфальту с той же скоростью, что и вначале. Каково было наименьшее расстояние между Таней и Машей во время этой поездки (когда обе они двигались)? Объясните ответ.

5. а) Как разрезать прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см на три части и сложить из них квадрат?
б) Как разрезать прямоугольник со сторонами 1 см и 8 см на шесть частей и сложить из них квадрат?
Покажите на рисунках, как надо резать и как складывать. Картинки рисуйте по клеточкам.

6 класс

1. Лена родилась 1 января. Её возраст в 2020 году равен сумме цифр года её рождения. Сколько лет Лене? Постарайтесь не только найти ответ, но и объяснить, почему другие варианты не подходят.

2. Если Коля купит бублик и конфету, у него останется 50 рублей, а если он захочет купить два бублика и три конфеты, то ему будет не хватать 50 рублей. Докажите, что у Коли не больше 150 рублей.

3. Однажды в комнате собрались несколько человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Один из собравшихся сказал: «Среди нас не больше двух лжецов». Второй сказал: «Среди нас не меньше двух лжецов». Третий сказал: «Среди нас ровно два лжеца». Докажите, что в комнате было не меньше четырёх человек.

4. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см закрасили фигуру, составленную из клеток. Может ли периметр закрашенной фигуры, измеренный в сантиметрах, быть в 5 раз больше её площади, измеренной в квадратных сантиметрах?

5. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 100. Начинает Петя. Проигрывает тот, после хода которого на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 40. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо играть?

7 класс

1. В ряд записаны 20 единиц. Как вставить между некоторыми из них плюсы и минусы таким образом, чтобы после выполнения действий получилось 2020?

2. Положительную дробь, меньшую 1, перевернули и снова получили дробь. Какая из двух дробей ближе к единице: исходная или перевернутая?

3. Таня и Маша ехали на велосипедах по асфальту с одной и той же постоянной скоростью, Таня --- в километре впереди Маши. Потом им встретился километровый участок грунтовой дороги, где каждая из них ехала со вдвое меньшей скоростью, а за ним --- двухсотметровый участок ремонтных работ, где каждая ехала со вчетверо меньшей скоростью, чем по асфальту. Затем до конца поездки Таня с Машей снова ехали по асфальту с той же скоростью, что и вначале. Каково было наименьшее расстояние между Таней и Машей во время этой поездки (когда обе они двигались)? Объясните ответ.

4. а) Как разрезать прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см на три части и сложить из них квадрат?
б) Как разрезать прямоугольник со сторонами 1 см и 8 см на шесть частей и сложить из них квадрат?
Покажите на рисунках, как надо резать и как складывать. Картинки рисуйте по клеточкам.

5. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 101. Начинает Петя. Проигрывает тот, после хода которого на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 40. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо играть?

8 класс

1. Петя родился 1 января. Его возраст в 2019 году был равен сумме цифр года его рождения. В каком году мог родиться Петя? Укажите все возможности.

2. Велосипедисты Андрей, Борис и Виктор одновременно, из одной точки и в одном направлении стартовали по кольцевой дороге. Каждый из них ехал с постоянной скоростью, причем у разных велосипедистов скорости были различными. Андрей впервые перегнал Бориса, проехав ровно четыре круга, а Виктора --- проехав ровно пять кругов. Сколько кругов проехал Виктор к моменту, когда он впервые обогнал Бориса?

3. Медиана треугольника делит одну из его высот в отношении 2:1, считая от вершины. Докажите, что этот треугольник --- равнобедренный.

4. Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Может ли отношение суммарной длины береговой линии всех островов к их суммарной площади равняться: а) 5; б) 3,99?

5. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 200. Начинает Петя. Проигрывает тот, после хода которого на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 47. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто выписывает первое число, или его соперник, и как ему для этого надо играть?

9 класс

1. Машина ехала три часа. В пути она сделала одну остановку, а остальное время двигалась с одной и той же скоростью (временем на торможение и разгон пренебрегаем). За первый час она проехала 90 км, за второй --- 60 км, за третий --- 45 км. Сколько минут длилась остановка?

2. Для каждых двух из трех данных натуральных чисел $a,$ $b$ и $c$ нашли их НОД и НОК, после чего шесть найденных чисел сложили. Подберите числа $a,$ $b$ и $c$ так, чтобы полученная сумма оказалась равной 2020.

3. Из $n$ одинаковых кубиков сложили куб. Затем этот куб разобрали и из части кубиков сложили новый куб. При этом остался 271 неиспользованный кубик. Чему могло равняться $n$ (найдите все возможности)?

4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K.$ Отрезок $AK$ пересекает медиану $BM$ в такой точке $N,$ что $AN = BC.$ Докажите, что $BK = KN.$

5. Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Оказалось, что общая площадь архипелага равна 100 кв. см, а общая длина береговой линии --- 300 см. Докажите, что в архипелаге не более 74 островов.

6. Таня и Маша по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 1000, причем число 13 выписывать нельзя. Начинает Таня. Проигрывает та девочка, после хода которой на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 17. Кто из девочек выиграет при правильной игре, и как ей для этого надо играть?

10 класс

1. Имеется положительная дробь, меньшая 1. Ее перевернули и снова получили дробь. Какая из двух дробей ближе к единице: исходная или перевернутая?

2. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ выбрали точки $D$ и $E$ соответственно. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $M.$ Оказалось, что $AM = 2ME$ и $CM = 2MD.$ Докажите, что $AE$ и $CD$ --- медианы треугольника $ABC.$

3. У школьника 10 учебных предметов. Средний балл годовых оценок составляет 4,6. Сколько у него пятерок, четверок и троек, если известно, что есть все эти оценки, а двоек нет? Укажите все возможные варианты.

4. Верно ли, что для любых двух непересекающихся кругов на плоскости найдется такая точка, лежащая вне этих кругов, что любая проходящая через неё прямая пересекает хотя бы один из кругов?

5. Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Оказалось, что общая площадь архипелага равна 100 кв. см, а общая длина береговой линии --- 300 см. Докажите, что в архипелаге не менее 50 островов.

6. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 333. Начинает Петя. Проигрывает тот, после хода которого на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 40. Кто выиграет при правильной игре и как ему для этого надо играть?

11 класс

1. Найдутся ли такие натуральные числа $a$ и $b,$ что $\text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = 2020?$

2. Пусть $f(x) = ax+b,$ где $a$ и $b$ --- целые числа. Найдите $a$ и $b,$ если $f(f(...f(x)...) = 343x+57.$ (В левой части равенства функция $f(x)$ применяется некоторое конечное число раз, большее одного).

3. Графики трёх линейных функций являются продолжениями сторон равностороннего треугольника. Докажите, что среди этих функций найдется такая, угловой коэффициент которой больше 1/2.

4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K.$ Отрезок $AK$ пересекает медиану $BM$ в такой точке $N,$ что $AN = BC.$ Докажите, что $BK = KN.$

5. Таня и Маша по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 1000, причем число 13 выписывать нельзя. Начинает Таня. Проигрывает та девочка, после хода которой на доске впервые появятся два одинаковых числа или два числа, отличающиеся на 17. Кто из девочек выиграет при правильной игре, и как ей для этого надо играть?

6. Исходно на доске написано одно нецелое положительное число. За одну операцию можно записать на доску квадрат одного из записанных на доске чисел либо неотрицательную разность двух записанных на доске чисел. При этом запрещается записывать на доску число, которое там уже есть. Докажите, что такими операциями можно получить на доске положительное число, меньшее 1.

---

[Гость]

olimp43.ru/downloads/files/Rajre21.pdf