06:30 

Польская математическая олимпиада

Польская математическая олимпиада
www.om.edu.pl

Математическая соревнования в Польше проводятся с 1949 года. Национальная олимпиада проводится в три раунда.



В комментариях приведены задания LXIII олимпиады.

Благодарю Дилетант за помощь.

@темы: Новости, Олимпиадные задачи

Комментарии
2012-06-13 в 06:31 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
I seria (1 września 2011 r. - 3 października 2011 r.)

1. Решите в вещественных числах систему уравнений
`{((x + y)^3 = 8z),((y + z )^3 = 8x),((z + x)3 = 8y):}`

2. Найдите все пары натуральных чисел (х, у), такие, что число `2^x + 5^y`есть квадрат целого числа.

3. В остроугольном треугольнике ABC точка D является основанием высоты, проведенной из вершины С. Точки E и F лежат на сторонах AC и BC, причем AE = АD и BF = BD. Точка S симметрична точке С относительно центра окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Докажите, что SE = SF.

4. Дано целое число `n >= 1`. Для непустого подмножества `X` множества `{1,2,...,n}` пусть `a` и `b` означают наименьший и наибольший элементы `X`, и пусть `f(X) = 1/(n - (b - a))`. Найдите в зависимости от `n` сумму чисел `f(X)` для всех непустых подмножеств `X` множества `{1,2, ..., n}`.

2012-06-13 в 06:32 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
II seria (4 października 2011 r. - 3 listopada 2011 r.)

5.Найти все такие последовательности `(a_1, a_2, ... , a_63)`, состоящие из натуральных чисел, для которых
`a_i` делит `1 + a_{i+1}` (i = 1, 2, ... , 62) и `a_63` делит `1 + a_1`.

6.В выпуклом четырехугольнике ABCD /_DAB +2/_BCD = 180°. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается сторон AB и AD в точках K и L. Покажите, что окружности, описанные около треугольников AKL и BCD касаются друг друга.

7.Найдите все пары натуральных чисел (m, n) таких, что прямоугольник размером m x n может быть построен из следующих, состоящих из шести единичных квадратов, частей:



Эти части можно вращать и переворачивать на другую сторону.

8.Найдите все действительные функции f, определенные на множестве действительных чисел, такие, что для любых действительных x, y верно равенство

`f(x + f(x + y))= f(x - y) + f(x)^2`.

2012-06-13 в 06:32 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
III seria (4 listopada 2011 r. - 5 grudnia 2011 r.)

9. Найдите все натуральные `n >= 1` такие, что `1 + 2^{n+1} + 4^{n+1}` делится на `1 + 2^n + 4^n`.

10. Найдите все натуральные `n>= 2` такие, что на плоскости существуют n точек, для каждой из которых существует круг, содержащий все остальные точки и с центром в одной из них, которому эта точка не принадлежит.

11. В пирамиде с основанием ABC и вершиной S высоты AA', BB', CC', SS' пересекаются в одной точке, которая находится внутри пирамиды. Точка O - центр сферы, описанной вокруг данной пирамиды. Доказать, что если SO _|_ A'B'C', то ABCS - правильная пирамида.

12. Для данной конечной последовательности чисел образуем новую, вставляя между каждыми двумя членами данной последовательности их сумму.
Если начать с последовательности (1,1) и выполнить указанную выше операцию, то получим последовательность (1, 2, 1), из которой, повторением операции, получим последовательность (1, 3, 2, 3, 1) и т.д.
Для каждого `n >= 1` найдите сумму кубов членов последовательности, полученной на n-ом шаге.

2012-06-13 в 06:33 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego
17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Решить в действительных числах систему уравнений
`{(a^3 + b = c), (b^3 + c = d), (c^3 + d = a), (d^3 + a = b):}`.

2. Докажите, что в треугольной пирамиде ABCD вершина D, центр вписанной сферы, центроид пирамиды лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда площади треугольников ABD, BCD и CAD равны.

3. Пусть m, n целые положительные числа такие, что множество {1, 2, ..., n} содержит m простых чисел. Докажите, что среди любых m + 1 различных чисел из этого множества можно найти число, которое является делителем произведения других m чисел.

2012-06-13 в 06:34 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego
18 lutego 2012 r. (drugi dzień zawodów)

4. Найдите все такие пары действительных функций f, g, которые определены на множестве действительных чисел и удовлетворяют условию, что для любых действительных чисел x, y выполняется равенство

g(f (x) - y) = f (g(y)) + x.

5. Дан треугольник ABC, в котором `/_`CAB = 60° и `AB != AC`. O - центр описанной около этого треугольника окружности, I - центр вписанной в него окружности. Докажите, что срединный перпендикуляр отрезка AI, прямые OI и BC пересекаются в одной точке.

6. Пусть S(k) - сумма цифр в десятичной записи числа k. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что `S(2^n + n) < S(2^n)`.

2012-06-13 в 06:34 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia trzeciego
18 kwietnia 2012 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Определить, существует ли положительное нецелое рациональное число w такое, что `w^w` является рациональным числом.

2. Найти все пары натуральных чисел (m,n) для которых существует куб K с ребром длины n, который можно сложить из блоков размером m x 1 x 1, таких, что из некоторого их количества можно сложить куб с длиной ребра n + 2.

3. Треугольник ABC, в котором AB = AC, вписан в окружность `o`. Окружности `o_1` и `o_2` касаются внутренним образом окружности `o` в точках P и Q и сторон треугольника AB и AC и не имеют общих точек с областью, ограниченной сторонами треугольника. Общая касательная окружностей `o_1` и `o_2` такая, что точка A и точки P и Q лежат в разных полуплоскостях относительно ее, пересекает AB и AC в точках K и L. Докажите, что точка пересечения PK и QL лежит на биссектрисе угла BAC.

2012-06-13 в 06:35 

LXIII Olimpiada Matematyczna
Zadania konkursowe zawodów stopnia trzeciego
19 kwietnia 2012 r. (drugi dzień zawodów)

4. В турнире приняли участие n игроков (`n >= 4`). Каждый игрок сыграл ровно одну игру с каждым игроком, ничьих не было. Не было четырех игроков (A,B,C,D) таких, что A выиграл у B, B выиграл у C, C выиграл у D и D выиграл у A. Определите, в зависимости от n, максимальное количество троек (A,B,C) таких, что A выиграл у B, B выиграл у C, C выиграл у A.
Примечание: Тройки (A,B,C), (B,C,A) и (C,A,B) не считаются различными.

5. В остроугольном треугольнике ABC точка O является центром описанной окружности, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Выберем точку M так, что MC _|_ BC и MA _|_ AD. BM и OA пересекаются в точке P. Покажите, что окружность с центром в точке P и проходящая через точку A касается BC.

6. Докажите, что для любых положительных действительных чисел выполняется неравенство

`((a - b)/c)^2 + ((b - c)/a)^2 + ((c - a)/b)^2 >= 2sqrt(2)((a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b)`.

2012-06-13 в 16:08 

Белый и пушистый (иногда)
Спасибо!

     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная