Польская математическая олимпиада www.om.edu.pl Математическая соревнования в Польше проводятся с 1949 года. Национальная олимпиада проводится в три раунда.  В комментариях приведены задания LXIII олимпиады. Благодарю Дилетант за помощь. |  |
среда, 13 июня 2012
Комментарии
-
-
13.06.2012 в 06:31Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
I seria (1 września 2011 r. - 3 października 2011 r.)
1. Решите в вещественных числах систему уравнений
`{((x + y)^3 = 8z),((y + z )^3 = 8x),((z + x)3 = 8y):}`
2. Найдите все пары натуральных чисел (х, у), такие, что число `2^x + 5^y`есть квадрат целого числа.
3. В остроугольном треугольнике ABC точка D является основанием высоты, проведенной из вершины С. Точки E и F лежат на сторонах AC и BC, причем AE = АD и BF = BD. Точка S симметрична точке С относительно центра окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Докажите, что SE = SF.
4. Дано целое число `n >= 1`. Для непустого подмножества `X` множества `{1,2,...,n}` пусть `a` и `b` означают наименьший и наибольший элементы `X`, и пусть `f(X) = 1/(n - (b - a))`. Найдите в зависимости от `n` сумму чисел `f(X)` для всех непустых подмножеств `X` множества `{1,2, ..., n}`.
-
-
13.06.2012 в 06:32Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
II seria (4 października 2011 r. - 3 listopada 2011 r.)
5.Найти все такие последовательности `(a_1, a_2, ... , a_63)`, состоящие из натуральных чисел, для которых
`a_i` делит `1 + a_{i+1}` (i = 1, 2, ... , 62) и `a_63` делит `1 + a_1`.
6.В выпуклом четырехугольнике ABCD /_DAB +2/_BCD = 180°. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается сторон AB и AD в точках K и L. Покажите, что окружности, описанные около треугольников AKL и BCD касаются друг друга.
7.Найдите все пары натуральных чисел (m, n) таких, что прямоугольник размером m x n может быть построен из следующих, состоящих из шести единичных квадратов, частей:
Эти части можно вращать и переворачивать на другую сторону.
8.Найдите все действительные функции f, определенные на множестве действительных чисел, такие, что для любых действительных x, y верно равенство
`f(x + f(x + y))= f(x - y) + f(x)^2`.
-
-
13.06.2012 в 06:32Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego
III seria (4 listopada 2011 r. - 5 grudnia 2011 r.)
9. Найдите все натуральные `n >= 1` такие, что `1 + 2^{n+1} + 4^{n+1}` делится на `1 + 2^n + 4^n`.
10. Найдите все натуральные `n>= 2` такие, что на плоскости существуют n точек, для каждой из которых существует круг, содержащий все остальные точки и с центром в одной из них, которому эта точка не принадлежит.
11. В пирамиде с основанием ABC и вершиной S высоты AA', BB', CC', SS' пересекаются в одной точке, которая находится внутри пирамиды. Точка O - центр сферы, описанной вокруг данной пирамиды. Доказать, что если SO _|_ A'B'C', то ABCS - правильная пирамида.
12. Для данной конечной последовательности чисел образуем новую, вставляя между каждыми двумя членами данной последовательности их сумму.
Если начать с последовательности (1,1) и выполнить указанную выше операцию, то получим последовательность (1, 2, 1), из которой, повторением операции, получим последовательность (1, 3, 2, 3, 1) и т.д.
Для каждого `n >= 1` найдите сумму кубов членов последовательности, полученной на n-ом шаге.
-
-
13.06.2012 в 06:33Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego
17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów)
1. Решить в действительных числах систему уравнений
`{(a^3 + b = c), (b^3 + c = d), (c^3 + d = a), (d^3 + a = b):}`.
2. Докажите, что в треугольной пирамиде ABCD вершина D, центр вписанной сферы, центроид пирамиды лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда площади треугольников ABD, BCD и CAD равны.
3. Пусть m, n целые положительные числа такие, что множество {1, 2, ..., n} содержит m простых чисел. Докажите, что среди любых m + 1 различных чисел из этого множества можно найти число, которое является делителем произведения других m чисел.
-
-
13.06.2012 в 06:34Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego
18 lutego 2012 r. (drugi dzień zawodów)
4. Найдите все такие пары действительных функций f, g, которые определены на множестве действительных чисел и удовлетворяют условию, что для любых действительных чисел x, y выполняется равенство
g(f (x) - y) = f (g(y)) + x.
5. Дан треугольник ABC, в котором `/_`CAB = 60° и `AB != AC`. O - центр описанной около этого треугольника окружности, I - центр вписанной в него окружности. Докажите, что срединный перпендикуляр отрезка AI, прямые OI и BC пересекаются в одной точке.
6. Пусть S(k) - сумма цифр в десятичной записи числа k. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что `S(2^n + n) < S(2^n)`.
-
-
13.06.2012 в 06:34Zadania konkursowe zawodów stopnia trzeciego
18 kwietnia 2012 r. (pierwszy dzień zawodów)
1. Определить, существует ли положительное нецелое рациональное число w такое, что `w^w` является рациональным числом.
2. Найти все пары натуральных чисел (m,n) для которых существует куб K с ребром длины n, который можно сложить из блоков размером m x 1 x 1, таких, что из некоторого их количества можно сложить куб с длиной ребра n + 2.
3. Треугольник ABC, в котором AB = AC, вписан в окружность `o`. Окружности `o_1` и `o_2` касаются внутренним образом окружности `o` в точках P и Q и сторон треугольника AB и AC и не имеют общих точек с областью, ограниченной сторонами треугольника. Общая касательная окружностей `o_1` и `o_2` такая, что точка A и точки P и Q лежат в разных полуплоскостях относительно ее, пересекает AB и AC в точках K и L. Докажите, что точка пересечения PK и QL лежит на биссектрисе угла BAC.
-
-
13.06.2012 в 06:35Zadania konkursowe zawodów stopnia trzeciego
19 kwietnia 2012 r. (drugi dzień zawodów)
4. В турнире приняли участие n игроков (`n >= 4`). Каждый игрок сыграл ровно одну игру с каждым игроком, ничьих не было. Не было четырех игроков (A,B,C,D) таких, что A выиграл у B, B выиграл у C, C выиграл у D и D выиграл у A. Определите, в зависимости от n, максимальное количество троек (A,B,C) таких, что A выиграл у B, B выиграл у C, C выиграл у A.
Примечание: Тройки (A,B,C), (B,C,A) и (C,A,B) не считаются различными.
5. В остроугольном треугольнике ABC точка O является центром описанной окружности, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Выберем точку M так, что MC _|_ BC и MA _|_ AD. BM и OA пересекаются в точке P. Покажите, что окружность с центром в точке P и проходящая через точку A касается BC.
6. Докажите, что для любых положительных действительных чисел выполняется неравенство
`((a - b)/c)^2 + ((b - c)/a)^2 + ((c - a)/b)^2 >= 2sqrt(2)((a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b)`.
-
-
13.06.2012 в 16:08-
-
13.12.2018 в 12:451. Докажите, что для всех простых чисел $p>2$ существует ровно одно положительное целое число $n$ такое, что $n^2+np$ является квадратом целого числа.
обсуждение
2. В остроугольном треугольнике $ABC$ биссектриса $\angle BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Точки $P$ и $Q$ --- ортогональные проекции точки $D$ на прямые $AB$ и $AC$. Докажите, что площадь треугольника $APQ$ равна площади треугольника $BCQP$ в том и только в том случае, когда центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на прямой $PQ$.
обсуждение
3. Даны действительные числа $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{2n-1}$, среднее арифметическое которых равно $A$. Докажите, что $2\sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-A\right)^2 \ge \sum_{i=1}^{2n-1}\left( x_{i}-x_{n}\right)^2$
обсуждение
4. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $AC$ соответственно в точках $D$ и $E$. Точка $J$ --- центр вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся стороны $BC$. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами отрезков $JD$ и $JE$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.
обсуждение
5. Гурман Жан сравнивал $n$ ресторанов, где $n$ --- положительное целое число. Каждая пара ресторанов сравнивалась по двум показателям: качеству еды и уровню обслуживания. В некоторых случаях Жан не мог определиться, какой из двух ресторанов лучше по какому-то одному показателю, но тогда он всегда выбирал лучший по другому показателю. Понятно, что если Жан узнал, что ресторан $A$ лучше ресторана $B$ по какому-то показателю, и ресторан $B$ лучше ресторана $C$ по этому же показателю, то он считает, что $A$ лучше $C$ по этому показателю. Докажите, что есть ресторан $R$ такой, что любой другой ресторан хуже чем $R$ хотя бы по одному показателю.
обсуждение
6. Даны простое число `p > 2` и числа `x,y \in \{ 1, 2, \ldots , {p - 1}/{2} \}`. Докажите, что если число `x*( p - x)*y*( p - y)` является квадратом целого числа, то `x = y`.
обсуждение
68 математическая олимпиада (2016-2017), 3 раунд
1. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, причем $BP=CQ$. Отрезки $BQ$ и $CP$ пересекаются в точке $R$. Описанные окружности треугольников $BPR$ и $CQR$ пересекаются повторно в точке $S$ отличной от $R$. Докажите, что точка $S$ лежит на биссектрисе угла $BAC$.
обсуждение
2. Последовательность `$(a_1, a_2, ldots , a_k)`, состоящая из попарно различных клеток шахматной доски `n times n`, называется циклом, если `k \geq 4` и клетки `a_i` и `a_{i+1}` имеют общую сторону для всех `i=1, 2, ldots, k`, где `a_{k+1} = a_1`. Подмножество `X`, состоящее из клеток доски, назовем вредным, если каждый цикл содержит по крайней мере одну клетку из `X`.
Найдите все действительные числа `C` такие, что для каждого целого числа `n \geq 2` на доске размером` n \times n` существует вредное подмножество, содержащее не более `C*n^2` клеток.
обсуждение
3. Целые числа `a_1, a_2, \ldots, a_n` удовлетворяют неравенству `1 < a_1 < a_2 < \ldots < a_n < 2a_1`.
Докажите, что если `m` --- количество различных простых делителей `a_1 * a_2 * \cdots * a_n`, то `(a_1 * a_2 * \cdots * a_n)^{m-1} \geq (n!)^m`
обсуждение
4. Докажите, что множество положительных целых чисел `ZZ^+ = \{1,2,3,...\}` можно представить в виде суммы пяти попарно различных подмножеств таких, что каждая пятерка чисел `(n, \ 2n, \ 3n, \ 4n, \ 5n)`, где `n \in ZZ^+`, содержит ровно по одному числу из каждого из этих пяти подмножеств.
обсуждение
5. Точка $M$ --- середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=AC$. Точка $D$ --- ортогональная проекция точки $M$ на сторону $AB$. Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ACD$ и касается отрезков $AD$ и $AC$ соответственно в точках $K$ иd $L$. Касательные к $\omega$, проходящие через точку $M$, пересекают прямую $KL$ в точках $X$ и $Y$, причем точки $X$, $K$, $L$, $Y$ лежат в указанном порядке на прямой $KL$. Докажите, что точки $M$, $D$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.
обсуждение
6. Даны три последовательности неотрицательных действительных чисел `(a_0, a_1, \ldots, a_n)`, `(b_0, b_1, \ldots, b_{n})`, `(c_0, c_1, \ldots, c_{2n})` такие, что для всех `$0 \leq i,j \leq n` выполняется неравенство `a_i*b_j \leq (c_{i+j})^2`. Докажите, что
`\sum_{i=0}^n a_i \cdot \sum_{j=0}^n b_j \leq \left( \sum_{k=0}^{2n} c_k\right)^2`
обсуждение