Покроем их кругами

[wpoms.]

В квадрате, с длиной стороны равной 7, выбрана 51 точка. Докажите, что какие-то три из этих точек можно накрыть кругом радиуса 1.

@темы: Планиметрия

---

За круглым столом. Не рыцари.

[wpoms.]

За круглым столом сидят `n` человек. Количество тех, справа от которых сидит кто-то того же пола, равно количеству тех, для кого это не выполняется. Докажите, что `n` делится на 4.

@темы: Теория чисел

---

Корень из числа

[wpoms.]

Даны `n` цифр, записанные по порядку `a_1a_2...a_n` Существует ли натуральное число такое, что в десятичной записи квадратного корня из этого числа первые `n` цифр после запятой совпадают с `a_1a_2...a_n`? Обоснуйте ответ.

@темы: Теория чисел

---

Про кубик

[L.ego]

Добрый день!
ТерВер был 8 лет назад, многое забыла, но тут постаралась вспомнить ради задачки. Помогите, пожалуйста.

Условие:
Деревянный куб покрасили зеленой краской и разрезали на 27 одинаковых маленьких кубиков. Кубики перемешали и сложили из них куб такого же размера, как изначальный. С какой вероятностью куб будет полностью зеленым? Расписать ход мыслей.

Решала так:
1. Сначала посчитала сколько у скольких маленьких кубиков будет окрашено 3 грани, 2 грани, 1 грань, вообще не будет окрашена.
Получилось:
8 кубиков с 3 окрашенными гранями
12 кубиков с 2 окрашенными гранями
6 кубиков с одной окрашенной гранью
1 кубик остался не окрашенным.

2. Формула вероятности: P=m/n.
Думаю, что m=(C_{27}^{8})*(C_{27}^{12})*(C_{27}^{6})*(C_{27}^{1})

n - общее количество исходов. Мы вытаскиваем 27 кубиков из 27, тогда n=(C_{27}^{27})? (здесь, кажется, уже что-то не так)

И еще такие мысли. Своими предыдущими действиями я попыталась рассчитать вероятность, что в том месте большого куба, где должен стоять кубик с тремя окрашенными гранями попадется один из восьми таких кубиков, ну и аналогично для двух и одной грани.
Но. Ведь маленький кубик может встать цветными гранями внутрь, и тогда условие не выполнится. Вот этот момент, что маленький кубик может вертеться тоже не знаю как учесть

@темы: Теория вероятностей

---

[wpoms.]

З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 252 c. : iл. 32 с.
Книга мiстить рiзнi матерiали про творчий шлях Ясiнського В’ячеслава Андрiйовича (1957–2015) — уславленого вчителя математики, заслуженого учителя України, доцента Вiнницького державного педагогiчного унiверситету iменi Михайла Коцюбинського; спогади про нього друзiв, колег. Також у книзi зiбрано 500 задач, автором яких є В. А. Ясiнський, окремi його науково-методичнi публiкацiї.

amnm.vspu.edu.ua/olymp/book/

@темы: Литература

---

IOI-2018

[VEk]

Вот результаты Международной олимпиады по программированию 2018 в Японии (Российские участники).
Рахматуллин Р. 383 балла - золото (11 место, Татарстан, 11 класс))
Романов В. 353 балла - золото (21 - дележ места, Москва, 10 кл.)
Анопренко М. 326 баллов - серебро (34 - дележ места, СПб, 11 класс)
Лифарь Е. 294 балла - серебро (63 - дележ места, Москва, 9 класс)

Похоже задачи были очень сложные, победитель имеет 499 баллов из 600, всего 8 человек (из 335 участников) смогли набрать более 400 баллов.

Тексты задач, с переводом на языки участников. можно посмотреть здесь: ioi2018.jp/competition/tasks/

PS Лучшие на постсоветском пространстве:
Биркадзе Н. (Грузия) 463 балла (4 место)
Кернажицкий А. (Белоруссия) 430 баллов (5 место)

@темы: Новости

---

Озеро

[wpoms.]

Каждой точки плоского озера можно достичь по прямым, проходящим по озеру через точки `A` и `B`. Покажите, что каждой точки этого озера можно достичь по прямой, проходящей по озеру через произвольную точку отрезка `AB.`

@темы: Планиметрия

---

3 олимпиада мегаполисов

[wpoms.]

Результаты, задачи, решения: megapolis.educom.ru/ru

Джулиан Бивер, асфальт

@темы: Олимпиадные задачи

---

12 среднеевропейская олимпиада

[wpoms.]

В индивидуальных соревнованиях 9 участников набрали максимально возможное количество баллов, в командных соревнованиях победила сборная Украины.

Результаты, задачи, решения: www.memo2018.abel.bielsko.pl

Джулиан Бивер, асфальт

@темы: Олимпиадные задачи

---

Не квадрат

[wpoms.]

В десятичной записи 1000-значного натурального числа все цифры, кроме, может быть, одной, равны 5. Покажите, что это число не является квадратом натурального числа.

@темы: Теория чисел

---

С праздником!!!

[All_ex]

Дорогие сообщники и примкнувшие к ним!

От лица сообщества поздравляю всех с 1 сентября!!!

Всем здоровья и здоровых успехов

Ученикам тяги к знаниям, а учителям - тяги к преподаванию...

.....

и чтобы, наконец, встретились эти два одиночества...

и ещё чуть-чуть картинок...

@темы: Праздники

---

Про зарплату

[wpoms.]

В некоторой стране из депутатов парламента создаются 100 комиссий. Каждый депутат обязан работать по крайней мере в одной комиссии, но депутаты могут работать и в нескольких комиссиях. Каждый депутат за работу в комиссиях ежемесячно получает вознаграждение по такому принципу: - за работу в первой комиссии не выплачивается заработная плата; - за работу в каждой следующей комиссии платится за 10 евро больше, чем за работу в предыдущей комиссии (то есть, за работу во второй комиссии выплачивается 10 евро, за работу в третьей комиссии платят 20 евро и т. д.). Известно, что в составе любых двух различных комиссий есть ровно один общий депутат, который работает в обеих. Насколько велика общая ежемесячная заработная плата всех депутатов за работу в комиссиях?

@темы: Олимпиадные задачи

---

График функции

[Alemand]

График всякой ли нечетной функции симметричен относительно 0?

@темы: Функции

---

Два красавца

[wpoms.]

Назовем натуральное число красивым, если сумма всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) нечётна. Найдите наименьшее натуральное число $k$ такое, что среди любых $k$ красивых чисел можно выбрать два различных числа, произведение которых будет квадратом натурального числа.

@темы: Теория чисел

---

Сравнение площадей

[wpoms.]

Дан прямоугольник $ABCD.$ На прямой $BD$ выбрана точка $E$ так, что $D$ лежит между $B$ и $E.$ На прямой $EC$ выбрана точка $F$ так, что $BF$ параллельна $AC.$ Докажите, что площадь треугольника $BEF$ больше площади прямоугольника $ABCD$.

@темы: Планиметрия

---

Встаньте дети, встаньте в круг...

[All_ex]

Коллега подбросила интересную задачку...
Внутри круга `W` радиуса `R` произвольно выбран отрезок длины `R`. Этот отрезок является диаметром второго круга `w`. Найти вероятность того, что`w` полностью находится внутри `W`.

Немного поразмыслив пришёл к такому решению...

Немного поразмыслив пришёл к такому решению...

Во-первых, от радиуса ничего не зависит, поэтому будем считать `R = 2`...

Во-вторых, каждый круг `w` характеризуется центром - точка `M` ... а поскольку отрезки внутри `W` равновероятны, то вероятность появления "малого" круга, то есть круга с центром в точке `M`, пропорциональна дуге `A A'`, для которой диаметрально противоположная дуга `BB'` тоже лежит внутри `W`...

Таким образом, `M` - это двумерная случайная величина ... а вышеприведённое соображение определяет вид её плотности...

Геометрически нетрудно получить, что ....
1) при `OM = r < 1` круг `w` целиком лежит внутри `W`... то есть `L_{A A'} = pi`...
2) при `OM = r > sqrt{3}` у круга `w` ни один диаметр целиком на лежит внутри `W`... то есть `L_{A A'} = 0`...
3) при `OM = r in [1; sqrt{3}]` находим угол `phi` по теореме косинусов... `4 = 1 + r^2 + 2*r*cos(phi)`... откуда `L_{A A'} = 2*(pi/2 - phi) = 2*arcsin({3 - r^2}/{2*r})` ...

Следовательно, плотность имеет вид `f(M) = f(r) =C * {(1, 0 \le r < 1), (2/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}), 1 \le r \le sqrt{3}), (0, sqrt{3} < r ):}` ...

Интеграл от плотности по всей плоскости должен равняться единице...`iint_{RR^2} f(M) dxdy = 1` ...
Переходя к полярным координатам получаем

`1 = int_{0}^{2*pi} int_{0}^{sqrt{3}} r * f(r) dr dphi = C * 2*pi * ( int_{0}^{1} r dr + int_{1}^{sqrt{3}} r * 2/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}) dr ) = `

`= C * 2*pi * (1/2 + {r^2}/pi * arcsin({3 - r^2}/{2*r}) |_{1}^{sqrt{3}} - int_{1}^{sqrt{3}} {r^2}/pi * 1/{sqrt{1 - ({3 - r^2}/{2*r})^2}} * (-3/{2r^2} - 1/2) dr ) = `

`= C * int_{1}^{sqrt{3}} {2*r*(3 + r^2)}/{sqrt{4*r^2 - (3 - r^2)^2}} dr = C * I`

Сначала делаем замену `r^2 = z`... получаем ,что `I = int_{1}^{3} {3 + z}/{sqrt{4*z - (3 - z)^2}} dz` ...

Теперь выделяем под корнем полный квадрат и замена `t = 5 - z` ... тогда `I = int_{2}^{4} {8 - t}/{sqrt{16 - t^2}} dt = int_{2}^{4} {8}/{sqrt{16 - t^2}} dt - int_{2}^{4} {t}/{sqrt{16 - t^2}} dt`

Получили интеграл, который является суммой двух практически табличных интегралов ... дальнейшие подробности я тут уже не буду набирать...

Итого, `1 = C * ( {8*pi}/3 - 2*sqrt{3} )`... откуда находим `C` ...

Дальше всё прозаично... Интересует вероятность `P( r \le 1 ) = C * 2*pi * int_{0}^{1} r dr = {3*pi}/{8*pi - 6*sqrt{3}} ~~ 0.64`


Гложет червь сомнения... так что, если кто видит неточности или ошибки, то высказывайтесь, пожалуйста, по поводу этого варианта решения...

@темы: Теория вероятностей

---

Неравенство

[wpoms.]

Докажите, что $\sqrt{x^2 + y^2} + (2 - \sqrt{2})\sqrt{xy} \geq x + y,$ если $x$ и $y$ --- положительные действительные числа.

@темы: Доказательство неравенств

---

[Trotil]

Любопытная задача. Существуют ли многочлены P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), для которых выполнено тождество

А) (x–y+1)^3 P + (y–z–1)^3 Q + (z–2x+1)^3 R = 1

Б) (x–y+1)^3 P + (y–z–1)^3 Q + (z–x+1)^3 R = 1

Решение этой задачи весьма простое.

@темы: Олимпиадные задачи

---

Парабола

[wpoms.]

Даны такие числа $a$ и $b$ и $c$, что $a + c = \frac{b}{3},$ кроме того, ни одно из чисел $a$ и $b,$ $c$ не равно 0. Докажите, что график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $x$ на промежутке $[-1; 1]$.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

Поиграем

[wpoms.]

На окружности отмечены $N$ точек, которые являются вершинами правильного $N$-угольника. Игроки $A$ и $B$ играют в следующую игру: Они по очереди проводят хорды, соединяющие пару отмеченных точек, так чтобы хорды не пересекались (за исключением их концов). Выигрывает тот игрок, который первым получает треугольник. Какой игрок может выиграть, если $A$ начинает игру и a) $N = 14;$ b) $N = 15?$

@темы: Дискретная математика