[wpoms.]

Федеральное математическое соревнование. Самые красивые задачи (на нем. яз.) - Springer, 2016 Сборник содержит материалы одной из математических олимпиад Германии — Федерального математического соревнования — за 1970–2015 годы. Сайт олимпиады Книга

@темы: Олимпиадные задачи, Литература

Comments

[Гость]

1 федеральное соревнование Первый раунд 1. Написаны числа 1, 2, ..., 1970. За один ход можно стереть два числа и записать их разность. После повторения некоторого количества таких ходов на доске останется одно число. Докажите, что это число нечётное. 2. Есть кусок бумаги. Его можно разорвать на 8 или 12 частей. После этого любой из полученных кусков можно снова разорвать на 8 или 12 частей, или не разрывать и так далее. Можно ли с помощью таких операций получить 60 кусков? Докажите, что можно получить любое число кусков большее, чем 60. 3. Даны пять отрезков такие, что из любых трёх можно сложить треугольник. Докажите, что один из этих треугольников остроугольный. 4. Пусть `P` и `Q` --- две соседние горизонтальные клетки шахматной доски `n xx n`, `P` - левая и `Q` - правая. На левой клетке `P` лежит камень, который будет перемещаться по доске. Разрешены такие ходы: 1) переместить камень на соседнее поле вверх, 2) переместить камень на соседнее поле вправо, 3) переместить камень на одно поле вниз и затем на одно поле влево. Например, на обычной шахматной доске с поля `e5` можно попасть на поле `f5`, `e6` и `d4`. Докажите, что нет такого `n`, для которого существует маршрут движения камня по описанным правилам, который однократно проходит по всем клеткам доски и заканчивается в поле `Q`.

[Гость]

1 федеральное соревнование Второй раунд 1. Пусть `a,b,c,d` --- натуральные числа такие, что `ab=cd`. Докажите, что `a^2+b^2+c^2+d^2` не является простым числом. Сформулируйте и докажите обобщение этого утверждения. 2. В языке, на котором говорят жители планеты, используются только буквы `A` и `O`. Для исключения ошибок, по правилам языка требуется, чтобы слова одинаковой длины отличались в трёх или более позициях. Например, слова `AAOAO` и `AOAAA` отличаются во второй, третьей и пятой позиции. Докажите, в этом языке не более чем `2^n/(n+1)` слов, которые состоят из `n` букв. 3. Любые два города страны соединяет единственная дорога с односторонним движением. Докажите, что в стране есть город такой, что из него можно проехать в любой другой город напрямую или через один промежуточный город. 4. Внутри квадрата с длиной стороны 1 проведена непересекающаяся ломанная линия длиной более 1000. Докажите, что есть прямая линия, параллельная одной из сторон квадрата, которая пересекает ломанную по крайней мере в 501 точке.

[Гость]

2 федеральное соревнование Первый раунд 1. В каждой клетке шахматной доски `n xx n` записано число. Сумма всех чисел в "кресте" (объединении горизонтали и вертикали) `>= a`. Чему равна наименьшая возможная сумма всех чисел на доске? 2. На плоскости лежат `n >= 3` круглых подставок под пивные кружки `B_1, B_2, ..., B_n` одинакового размера. `B_k` касается `B_{k+1}` (`k=1,2,...,n`); и `B_{n+1}=B_1`. Подставки уложены так, что другая подставка `B` того же размера касается всех подставок в указанном порядке, если катится вдоль внешней стороны цепочки из подставок. Сколько оборотов сделает `B` ко времени возвращения в свою начальную позицию? 3. Из `n`-го множества выбраны `2^{n-1}` подмножества такие, что любые три из них имеют общий элемент. Покажите, что все эти подмножества имеют общий элемент. 4. Докажите: последовательность, заданная с помощью формулы `n`-го члена `a_n = [n+sqrt{n}+1/2],` содержит все натуральные числа за исключением квадратов натуральных чисел.

[Гость]

2 федеральное соревнование Второй раунд 1. Дана бесконечная шахматная доска и стоящий на ней конь. Скольких разных полей может достичь конь через `n` ходов? 2. Докажите: среди 79 последовательных натуральных чисел всегда есть по крайней мере одно, сумма цифр которого делится на 13. Покажите, что это неверно для 78 чисел. 3. Среднее арифметическое двух различных натуральных чисел `x,y` является двузначным числом. При перестановке его цифр получается среднее геометрическое `x,y`. a) Найдите `x,y`. b) Покажите, что задача в пункте a) имеет единственное решение в системе счисления с основанием `g=10`, с точностью до порядка указания `x,y`, но не имеет решения в системе счисления с основанием `g=12`.\\ c) Приведите ещё примеры `g` таких, что задача из пункта a) может быть решена, и примеры, для которых задача из пункта a) не имеет решения. 4. В шахматном турнире принимают участие `p>2` игроков. Каждые два игрока должны играть друг с другом только одну партию. После завершения `n` игр, когда ни одна партия не продолжалась, oказалось, что среди любых трёх игроков есть по крайней мере два игрока, которые ещё не играли друг с другом. Покажите, что `n <= p^2/4`.

[wpoms.]

3 федеральное соревнование Первый раунд 1. В десятичной записи 1000-значного натурального числа все цифры, кроме, может быть, одной, равны 5. Покажите, что это число не является квадратом натурального числа. обсуждение 2. Каждой точки плоского озера можно достичь по прямым, проходящим по озеру через точки `A` и `B`. Покажите, что каждой точки этого озера можно достичь по прямой, проходящей по озеру через произвольную точку отрезка `AB.` обсуждение 3. Даны `n` цифр, записанные по порядку `a_1a_2...a_n` Существует ли натуральное число такое, что в десятичной записи квадратного корня из этого числа первые `n` цифр после запятой совпадают с `a_1a_2...a_n`? Обоснуйте ответ. обсуждение 4. За круглым столом сидят `n` человек. Количество тех, справа от которых сидит кто-то того же пола, равно количеству тех, для кого это не выполняется. Докажите, что `n` делится на 4. обсуждение

3 федеральное соревнование Второй раунд 1. В квадрате, с длиной стороны равной 7, выбрана 51 точка. Докажите, что какие-то три из этих точек можно накрыть кругом радиуса 1. обсуждение 2. С натуральным числом, записанным в десятичной системе, можно выполнять такие операции: (1) приписать 4 в конце числа. (2) приписать 0 в конце числа. (3) разделить число на 2, если оно чётное. Докажите, что, начав с числа 4 и выполняя последовательность операций (1), (2), (3), можно получить любое натуральное число. обсуждение 3. Пол в комнате прямоугольной формы можно покрыть плитками размером `2 xx 2` и `4 xx 1`. Докажите, что нельзя покрыть пол плитками, если количество плиток одного вида будет уменьшено на 1, а количество плиток другого вида увеличено на 1. обсуждение 4. Докажите: для любого натурального числа `n` существует `n`-значное натуральное число, все цифры десятичной записи которого равны только 1 или 2 такое, что оно делится на `2^n`. Будет ли утверждение верно для систем счисления с основанием 4` или `6`? обсуждение