Метод вариации произвольных постоянных

[Груша Вильямс]

Решить задачу Коши, применив метод вариации произвольных постоянных `y''+y'-2y=1/(e^x+1)`, начальные условия `y(0)=1`, `y'(0)=(1-ln2)/3`.

`{(y_1=cos(x)), (y_2=sin(x)):}` и тогда `y_0=C_1y_1+C_2y_2=C_1cos(x)+C_2sin(x)`
`{(C_1'cos(x)+C_2'sin(x)=0), (-C_1'sin(x)+C_2'cos(x)=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=-C_2'(sin(x))/(cos(x))), (C_2'((sin^2(x))/(cos(x))+cos(x))=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=(sin(x))/(e^x+1)=phi_1(x)),(C_2'=(cos(x))/(e^x+1)=phi_2(x)):}`
`{(C_1 int phi_1(x)dx=int (sin(x))/(e^x+1)dx), (C_2=int phi_2(x)dx=int (cos(x))/(e^x+1)):}`
Проблема с интегралами. Вообще вспоминается такая формула `z=|z|(cos(phi)+isin(phi))=|z|e^(iphi)`, то есть `e^(iphi)=cos(phi)+isin(phi)`, `z=x+iy` и если `x` выражать то `z` с `y` появятся

@темы: Дифференциальные уравнения

---

определитель должен равняться нулю!!!

[elvira.ellevira]

Доброй ночи! у меня такая задача:
найти все значения бета, при которых вектор b(1,бета,-3) линейно выражается через векторы a1(2,3,-4), a2(4,5,-8)...
если вектор b будет линейно выражаться через а1 и а2, то три вектора будут линейно независимы, значит, определитель из координат этих векторов должен равняться 0... НО... у меня никак не равняется нулю, лямбды сокращаются и остается целое число, не 0...

@темы: Векторная алгебра

---

Встаньте числа, встаньте в круг

[wpoms.]

Окружность разделена на `n` равных частей. В каждой из этих частей было записано одно из чисел от `1` до `n` так, что расстояния между соседними по величине числами одинаковы. Числа `11`, `4` и `17` записаны в последовательных частях окружности. На сколько частей разделена окружность?

@темы: Теория чисел

---

Набольший объём

[Груша Вильямс]

Из всех прямоугольных параллелепипедов, сумма ребер которых равна `12a`, найти параллелепипед с наибольшим объемом.

Всё вроде бы сделал как надо, но `d^2L > 0`, а это минимум...в чём ошибка?

1) функция Лагранжа: `L(x,y,z; lambda)=xyz+lambda(x+y+z-12a)`
2) необходимые условия:
`{((partial L)/(partial x)=yz+lambda=0), ((partial L)/(partial y)=xz+lambda=0), ( (partial L)/(partial z)=xy+lambda=0), (x+y+z=3a):}`,
`{(-(lambda)/(xyz)=1/x), ((-(lambda)/(xyz)=1/y), (-(lambda)/(xyz)=1/z)):}`
`{(x=y=z=a), (lambda=-a^2):}`
3) достаточные условия:
`(partial^2 L)/(partial x^2)=(partial^2 L)/(partial y^2)=(partial^2 L)/(partial z^2)=0`
`(partial^2 L)/((partial x)(partial y))=z`, `(partial^2 L)/((partial x)(partial z))=y`, `(partial^2 L)/((partial y)(partial z))=x`.
И тогда знак второго дифференциала функции Лагранжа следующий:
`d^2L=2(zdxdy+ydxdz+xdydz)=2a(dx^2+dy^2+dz^2)=6ada^2>0` - условный минимум...

@темы: Функции нескольких переменных

---

Наибольшее и наименьшее значения

[Груша Вильямс]

Найти наибольшее и наименьшее значение функции `f(x,y)=xy^2` в области `x^2+y^2<=1`.

В самом начале проблема.
`{((partial f)/(partial x)=y^2=0), ((partial f)/(partial y)=2xy=0):}`
И получается, что у нас `-1 <= x <= 1`, `y=0`, то есть стационарных точек бесконечно много и значение функции `f(x,y)` в этих точках равно нулю.
Оформлять это как, так и писать словами пояснения?

@темы: Функции нескольких переменных

---

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ, ПОЖАЛУЙСТА

[Katya001Betty]

В треугольной пирамиде с равными боковыми ребрами известны длины сторон основания 6, 8, 10 и длина высота 1. Найдите радиус описанного шара.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Стереометрия, ЕГЭ

---

Множество

[wpoms]

Множество A состоит из натуральных чисел, причем 1) 1 принадлежит A, 2) если a принадлежит A, то и 2a + 1 принадлежит A; 3) если 3a + 1 принадлежит A, то a принадлежит A. Верно ли, что множеству A принадлежит
а) число 42;
б) число 8;
в) произвольное натуральное число?
% Р.П. Ушаков

@темы: Теория чисел

---

алгебра

[...Полярная Звезда...]

такое вот задание: найдите собственное расширение поля Z(3)
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

---

Интересная статья на Медузе

[Дилетант]

Декларации депутатов и чиновников.
Шизофренические числа Математические свойства думских и правительственных зарплат



В апреле президент, министры, губернаторы и депутаты опубликовали декларации о своих доходах за 2015 год. Из них мы узнали, например, что доходы Владимира Путина за этот период выросли на миллион рублей, тогда как депутат-единорос Леонид Симановский заработал почти миллиард. Впрочем, все эти данные — довольно скучные; мы же решили взглянуть на них (только не спрашивайте, зачем) с математической точки зрения: поискали простые числа, покопались в миллионах знаков числа пи и присмотрелись к «шизофреническому числу».
Для тех, кого мало интересуют зарплаты чиновников, надеюсь найдется много интересного из "занимательной теории чисел" ))
Про шизофренические числа я не знала

@темы: Про самолеты

---

[wpoms]

Математика в школе, № 3^1,2

5453.
У царя Гиерона есть 11 слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 мин. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 мин. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток весит 1 мину. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
%И.И. Богданов (Москва), К.А. Кноп (С.-Петербург)

5454.
Непустое множество `A \subseteq R` назовём заполненным, если для любых `x, y \in R` (не обязательно различных и не обязательно лежащих в `A`) таких, что `(x+y) \in A`, число `xy` также лежит в `A`. Найдите все заполненные множества.
%Н.X. Агаханов (Москва)

5455.
Каким может быть число `a>0`, если для некоторой строго убывающей функции `f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)` и любого `x \in (0, +\infty)` выполняется неравенство `f(x) >= af(x + f(x))`?
%Ш.Н. Исмаилов (Ташкент, Узбекистан)

5456.
Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5457.
Докажите, что неравенство
`{n sqrt2} [n sqrt2] < 1/2`
имеет бесконечное множество натуральных решений (`{a}` и `[a]` -- дробная и целая части числа `a` соответственно).
%М. А. Муртузалиев, Ш.Г. Гамидов (Махачкала)

---------------------------------------
¹ vk.com/club1126038
² В журнале не указано, что некоторые задачи предлагались на областном этапе российской олимпиады.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Функции натурального аргумента

[wpoms.]

Найдите, с доказательством, все функции `f` из множества натуральных чисел в себя, которые удовлетворяют равенству `f (x + f (y)) = f (x) + y` для всех натуральных чисел `x`,`y`. Вариант 2: Обозначим `QQ` множество рациональных чисел. Найдите все функции `f : QQ -> QQ`, для которых `f (x + f (y)) = y + f (x)`, для всех `x, y in QQ`.

@темы: Функции

---

поверхностный интеграл первого рода

[...Полярная Звезда...]

двойной интеграл (x+y+s)dS, где S-поверхность x^2+y^2+z^2=a^2, z=>0
пытался перейти в сферические координаты, но ответ не сходится, расставил пределы от 0 до 2pi и от 0 до pi/2
dS=a^2sindфи

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Интегралы

---

Помогите пожалуйста с переводом формул на английский язык

[sick_alien]

здравствуйте уважаемое сообщество

учусь на втором курсе прикладной математики Каунасского Технологического Университета.

проблема такая - делаем презентацию на английском языке по предметной области математики на 6 минут со сладами.

я решил сделать по случайным числам и генератору случайных чисел отсюда

https://en.wikipedia.org/wiki/Randomness

и отсюда

https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudorandom_number_generator

Помогите пожалуйста как озвучить формулы и математические выражения на английском языке


==Mathematical definition==
Given
`mathfrak(B, C, I, H, R, Z)`
* `P` - a probability distribution on `( \mathbb(R), mathfrak(H) )` (where `mathfrak{H}` is the standard Borel field on the real line)
* `\mathfrak{C}` - a non-empty collection of Borel sets `\mathfrak{C}\subseteq\mathfrak{H}`, e.g. `\mathfrak{C}= \{ (-\infty,t\ ] : t\in\mathbb{R} }`. If `\mathfrak{C}` is not specified, it may be either `\mathfrak{H}` or `{ (-\infty,t] : t\in\mathbb{R}\}`, depending on context.
* `A\subseteq\mathbb{R}` - a non-empty set (not necessarily a Borel set). Often `A` is a set between `P` 's Support (mathematics)|support]] and its [[Interior (topology)|interior]], for instance, if `P` is the uniform distribution on the interval `(0,1]`, `A` might be `(0,1]`. If `A` is not specified, it is assumed to be some set contained in the support of `P` and containing its interior, depending on context.

We call a function `f:\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{R}` (where `\mathbb{N}_1={1,2,3,\dots }` is the set of positive integers) a '''pseudo-random number generator for `P` given `\mathfrak{C}` taking values in `A` ''' iff

* `f (\mathbb{N}_1 )\subseteq A`
* `\forall E\in\mathfrak{C} \quad \forall 0<\varepsilon\in\mathbb{R} \quad \exists N\in\mathbb{N}_1 \quad \forall N\leq n\in\mathbb{N}_1, \quad |\frac{\# {i\in {1,2,\dots, n } : f(i)\in E }}{n}-P(E) |< \varepsilon`

(`#S`> denotes the number of elements in the finite set `S`.)

It can be shown that if `f` is a pseudo-random number generator for the uniform distribution on `(0,1)` and if `F` is the [[Cumulative distribution function|CDF]] of some given probability distribution `P`, then `F^*\circ f` is a pseudo-random number generator for `P`, where `F^*: (0,1)\rightarrow\mathbb{R}` is the percentile of `P`, i.e. `F^*(x):=\inf {t\in\mathbb{R} : x\leq F(t) }`. Intuitively, an arbitrary distribution can be simulated from a simulation of the standard uniform distribution.



простите пожалуйста, если не совсем по теме

thanks in advance

@темы: Образование

---

Квадратура Гаусса

[consigned]

Построить квадратуру Гаусса с двумя узлами `I(f) = int_0^pi (sin(x)*f(x))dx = c_1*f(x_1)+c_2*f(x_2)`

Получил систему:
`{(c_1+c_2=2), (c_1*x_1+c_2*x_2=pi), (c_1*x_1^2+c_2*x_2^2=pi^2-4), (c_1*x_1^3+c_2*x_2^3=pi^3-6*pi):}`

Можно ли здесь каким-либо образом сократить вычисления?
Так, например, если бы перед f(x) в интеграле стояла четная функция, то можно было бы написать `c_1 = c_2` и `x_1 = -x_2`.
Или же здесь неизбежно придется решать систему целиком?
Буду благодарен за любые подсказки.

@темы: Численные методы

---

Площадь фигуры (гипербола и прямая)

[Груша Вильямс]

Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой `x^2/a^2-y^2/b^2=1` и прямой `x=2a`.


`f(x)=bsqrt((x/a)^2-1)`
`bint_{a}^{2a} sqrt((x/a)^2-1)dx=bint_{a}^{2a} sqrt(-(1-(x/a)^2))dx=[(x/a=sint), (x=asint), (dx=acostdt)]=abint_{pi/2)^{arcsin2} sqrt(-(1-sin^2t))dt`... но тогда подкоренное выражение отрицательно на указанном интервале...как быть?

@темы: Интегралы

---

Целое число

[wpoms.]

Найдите, с доказательством, все неотрицательные действительные числа `x`, для которых `root(3){13 + sqrt(x)} + root(3){13-sqrt(x)}` является целым числом.

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа

---

Помогите найти ошибку

[I.am.Daf.Grey]

Есть задача: найти какую-нибудь дробно-линейную функцию g(z), удовлетворяющую условиям g(0)=4; g(1+i)=2i+2; g(2i)=0. И еще найти образ круга |z-i|<1 под действием функции g(z).
Я задачу решила, но мне было сказано, что есть ошибки.

@темы: ТФКП

---

помогите доказать тождество

[marina1987]

Доказать тождество: в числителе 2 sin 2L, в знаменателе 1- cosL. Эта дробь равна -2 sinL. Как я ее ни кручу , создается впечатление, что здесь где-то опечатка.
помогите. разобраться. всем большое спасибо!

@темы: Тригонометрия, Тождественные преобразования

---

ошибка в производной

[айвора]

ДД!

Помогите найти ошибку в производной, если она есть. Мое решение в приложении (знаменатель роли не играет до последнего действия, поэтому я его не пишу).

Суть проблемы в том, что онлайн-калькуляторы для производной выдают точно такой же ответ, только со знаком минуса (но без подробного решения).
Если же подставлять построчно мое решение (до 6 строки включительно) в онлайн-калькуляторы для упрощения выражений, то результат тоже с минусом. Если дальше 6 строки, то вообще другой ответ.

Я уже всю голову сломал, не могу понять как такое возможно.

Спасибо

@темы: Математический анализ

---

Решить логарифмическое уравнение

[alligator76]

`3^(log_3^2(x))+x^(log_3(x))=162`

Не могу сообразить, какую замену сделать. Пытался сделать замену `t=log_3(x)`, но не получается. Пробовал взять логарифм от обоих частей по основанию 3, тоже ни к чему не прихожу. Прошу помощи.

@темы: Логарифмические уравнения (неравенства)