[wpoms]

Математика в школе, № 3^1,2

5453.
У царя Гиерона есть 11 слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 мин. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 мин. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток весит 1 мину. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
%И.И. Богданов (Москва), К.А. Кноп (С.-Петербург)

5454.
Непустое множество `A \subseteq R` назовём заполненным, если для любых `x, y \in R` (не обязательно различных и не обязательно лежащих в `A`) таких, что `(x+y) \in A`, число `xy` также лежит в `A`. Найдите все заполненные множества.
%Н.X. Агаханов (Москва)

5455.
Каким может быть число `a>0`, если для некоторой строго убывающей функции `f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)` и любого `x \in (0, +\infty)` выполняется неравенство `f(x) >= af(x + f(x))`?
%Ш.Н. Исмаилов (Ташкент, Узбекистан)

5456.
Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5457.
Докажите, что неравенство
`{n sqrt2} [n sqrt2] < 1/2`
имеет бесконечное множество натуральных решений (`{a}` и `[a]` -- дробная и целая части числа `a` соответственно).
%М. А. Муртузалиев, Ш.Г. Гамидов (Махачкала)

---------------------------------------
¹ vk.com/club1126038
² В журнале не указано, что некоторые задачи предлагались на областном этапе российской олимпиады.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[All_ex]

Спасибо... интересно...

Первую получилось за 5 ходов решить.
1. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 -> Чтобы мешок выдержал 4 слитка, там должны присутствовать слитки весом (1, 2, 3) и (4 или 5)
2. 1 + 2 + 3 + 5 = 11 -> Аналогичное рассуждение. Из шагов 1 и 2 следует, что все слитки разделены на 2 подмножества: а) слитки весом меньше 6, б) слитки весом не меньше 6. То есть, 1, 2, 3, 4, 5 и 6, 7, 8, 9, 10, 11.
3. 6 + 1 + 2 = 9 -> берём слиток весом 6 из второго подмножества и доказываем, что первый слиток весит 1 мину за 3 шага.
4. 6 + 1 + 3 = 10
5. 6 + 1 + 4 = 11 -> если бы у нас был слиток весом больше 6 или больше 1, то мешок бы порвался. Следовательно, нашли слитки с весами 1 и 6.

Может быть, и за 4 решается, но это надо на свежую голову думать.

[Trotil]

5454. Если я правильно понял условие, то решение вот:
1) Пусть в множестве А есть элемент а(по условию он есть). Выберем x=a,y=0, тогда a*0=0 принадлежит А.
2) (-1)+1=0 => -1 = (-1)*1 принадлежит А.
3) (-2)+1=-1 => -2 = (-2)*(1) принадлежит А
по аналогии все отрицательные числа принадлежат А
4) (-1)+(-1)=-2 => 1 =(-1)*(-1) принадлежит А.
5) (-2)+(-1)=-3 => 2 = (-2)*(-1) принадлежит А.
и т.д. => все положительные числа так же принадлежат А.

[All_ex]

Trotil, возможно тут какие-то нюансы, связанные с иррациональными числами...
Что-то типа такого рассуждения... Если `a` - иррационально, то `a + (-a) = 0 in A`, но число `(-a^2)` может не быть иррациональным...

[Гость]

Trotil, возможно тут какие-то нюансы, связанные с иррациональными числами...

всё что это значит - это то, что множество всех иррациональных чисел "заполненным" в смысле данного выше определения не является
например
sqrt(2)+1 и sqrt(2)-1 - их сумма есть число 2*sqrt(2) - иррациональное число, но произведение есть 1 - и иррациональным не является.

с другой стороны, как только Тротил показал что 0 входит вв множество А он показал что все вообще числа из R входят в А - А=R в принципе.

Никаких нюансов

[All_ex]

Гость, Никаких нюансов - я просто пытаюсь найти ещё варианты подмножеств, которые являются заполненными... ... привиделось, что есть ещё...

всё что это значит - это то, что множество всех иррациональных чисел "заполненным" в смысле данного выше определения не является
не совсем так... мне показалось, что множество рациональных чисел, тоже является заполненным... но ошибся...

[All_ex]

5456. Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
Пятиконечная звезда подходит (`n = 10`)...
Вчера рисовал некую кракозябру... вроде с восьмиугольник был... но как выглядит сегодня вспомнить не могу... ... "будем искать"(с) ...

[Гость]

Вчера рисовал некую кракозябру... вроде с восьмиугольник был... но как выглядит сегодня вспомнить не могу... ... "будем искать"(с) ...

куда нам деваться от пятиконечных звёзд...

[All_ex]

Гость, куда нам деваться от пятиконечных звёзд...
Это намёк на ответ?...
Вот, честно говоря, слабо себе представляю как доказывается минимальность в такой задаче...