Метод вариации произвольных постоянных

[Груша Вильямс]

Решить задачу Коши, применив метод вариации произвольных постоянных `y''+y'-2y=1/(e^x+1)`, начальные условия `y(0)=1`, `y'(0)=(1-ln2)/3`.

`{(y_1=cos(x)), (y_2=sin(x)):}` и тогда `y_0=C_1y_1+C_2y_2=C_1cos(x)+C_2sin(x)`
`{(C_1'cos(x)+C_2'sin(x)=0), (-C_1'sin(x)+C_2'cos(x)=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=-C_2'(sin(x))/(cos(x))), (C_2'((sin^2(x))/(cos(x))+cos(x))=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_1'=(sin(x))/(e^x+1)=phi_1(x)),(C_2'=(cos(x))/(e^x+1)=phi_2(x)):}`
`{(C_1 int phi_1(x)dx=int (sin(x))/(e^x+1)dx), (C_2=int phi_2(x)dx=int (cos(x))/(e^x+1)):}`
Проблема с интегралами. Вообще вспоминается такая формула `z=|z|(cos(phi)+isin(phi))=|z|e^(iphi)`, то есть `e^(iphi)=cos(phi)+isin(phi)`, `z=x+iy` и если `x` выражать то `z` с `y` появятся

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[All_ex]

Груша Вильямс, Начнём с того, что Вы неправильно указали частные решения однородного уравнения `y_1` и `y_2`... тут вообще тригонометрии никакой не будет...

[epimkin]

у=С(1)e^-2x+C(2)e^x

[Груша Вильямс]

All_ex, понял, дело в том, что решать пришлось раньше, т.е. до того как в лекциях давали, но ошибку понял (по шаблону посмотрел и подумал, что `sin(x)` и `cos(x)` некоторые общепринятые замены).

`y''+y'-2y=1/(e^x+1)`
`y=y_0+tilde(y)`
`y''+y'-2y=0`
`lambda^2+lambda-2=0`
`(lambda+2)(lambda-1)=0`
`y_0=c_1e^(-2x)+C_2e^x`
`{(C_1'e^(-2x)+C_2'e^x=0), (-2C_1e^(-2x)+C_2'e^x=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_2'e^x=-C_1'e^(-2x)), (-3C_1'e^(-2x)=1/(e^x+1)):}`,
`{(C_2'=1/(3e^x(e^x+1))), (C_1'=-e^(2x)/(3(e^x+1))):}`
`{(C_1=-1/3inte^(-2x)/(e^x+1)dx=-1/3int(e^xd(e^x))/(e^x+1)=-1/3e^x+1/3ln(e^x+1)+bar(C_1)), (C_2=1/3int(dx)/(e^x(e^x+1))=1/3int(dt)/(t^2(t+1))=-1/3int(dt)/t+1/3int(d(t+1))/(t+1)+1/3int(dt)/t^2=-1/3lnt+1/3ln(t+1)-1/t+bar(C_2)=-1/3x+1/3ln(e^x+1)-1/e^x+bar(C_2)):}`,
а вот дальше ступор, решение неоднородного равно решению однородного + решение частного, в алгоритме решение однородного было записано в виде `y_0=C_1y_1+C_2y_2`, а в конце алгоритма пишут `y=y_0+tilde(y)=bar(C_1)y_1+bar(C_2)y_2+tilde(y)`. И вот никак не пойму что подставлять вместо `y_0`: то ли без черты `C=Phi(x)+bar(C)`, то ли просто `bar(C)`. Решения очевидно разные в обоих случаях получатся...

epimkin, спасибо!

p.s. вывод метода, увы, ещё не прочитал, всё руки не доходят...

[All_ex]

Когда Вы нашли решение однородного уравнения, то дальше удобнее сказать "Ищем решение в виде `y = A*e^{-2*x} + B*e^x`, где `A(x), B(x)` - новые искомые функции..."
Конечно переобозначение не изменяет последующих выкладок, но у Вас не будет путаницы с обозначением констант...

После того как Вы нашли новые функции
{(A = -1/3*e^x + 1/3*ln(e^x + 1) + C_1 ), (C_2 = -1/3*x + 1/3*ln(e^x + 1) - e^{-x} + C_2):}
подставляете в отыскиваемый вид решения и получите
`y = (-1/3*e^x + 1/3*ln(e^x + 1))*e^{-2*x} + (-1/3*x + 1/3*ln(e^x + 1) - e^{-x})*e^x + C_1*e^{-2*x} +C_2*e^x`
Первые слагаемые - это частное решение (его можно упростить)... а последние - это `y_0`...

[Груша Вильямс]

All_ex, понятно, сейчас попробую.

[All_ex]

[Груша Вильямс]

All_ex, я посчитал, но так и не узнал верно решил или нет, делал как Вы говорили, но упрощение какое-то такое, условное

[epimkin]

У меня такой же ответ получился, правда решал немного по- другому

[All_ex]

Груша Вильямс, ну, я не досчитывал до конца...
По решению - при вычислении интеграла для `A` было бы попроще использовать замену `z = e^{-x}` ...
А в остальном, это пример сам по себе имеет длинное нудное решение...

[epimkin]

[epimkin]

У меня получилось так

[Груша Вильямс]

epimkin, спасибо! Я после сессии перепроверю, я сразу узрел, что общее решение у нас одинаково, так что несоответствие в любом случае где-то дальше.
Накидал тут: