Step by step ...
Донецк. Открытая ученическая олимпиада по математике, 2014 г.
6 класс
1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда. Через 4 часа между ними было 476 км. Найдите скорость каждого поезда, если у одного из них она на 5 км/ч больше, чем у другого.
2. Большой квадрат разрезали на одинаковые маленькие квадратики. Затем пересчитали все маленькие квадратики, примыкающие к контуру большого квадрата. Их оказалось 44. На сколько маленьких квадратиков был разрезан большой квадрат?
3. Тридцать три богатыря стали в ряд так, что каждый четный по счёту богатырь оказался на 8 см ниже предыдущего, и на 3 см ниже последующего. На сколько сантиметров первый богатырь выше последнего?
4. Девять одинаковых пирожных стоят меньше, чем 10 гривен, а десять таких же пирожных стоят больше, чем 11 гривен. Сколько стоит одно такое пирожное?
5. На математической олимпиаде участникам было предложено 10 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывали 5 баллов, а за каждую нерешенную или решенную неверно – отнимали 3 балла. Один участник получил 34 балла. Сколько задач он решил правильно?
Донецкий институт последипломного педагогического образования
Луганск. II этап ученической олимпиады 2014-2015 учебного года
8 класс
1. В простом двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Если к этому числу прибавить 9, то полученная сумма будет больше 50, но меньше 97. Найти это число.
2. Отец в 5 раз старше сына. Отец окончил институт в 22 года. С тех пор прошло время, которое равно половине того, которое нужно сыну, чтобы ему тоже стало 22 года. Сколько лет сейчас сыну и сколько - отцу?
3. Биссектриса угла треугольника пересекает противолежащую сторону под углом $73^\circ$, а биссектрису одного из двух других углов - под углом $58^\circ$. Найти углы треугольника.
4. Построить график функции: $у = \dfrac{|x-2|}{x-2} + \dfrac{|x-3|}{x-3}$.
5. Решить уравнение $(a+4)х - 2,5х = (a-2)(а+3) + 3\text{,}5х$ в зависимости от параметра $a$.
Образовательный портал Луганска
Второй (городской в г. Харькове) этап Всеукраинской олимпиады школьников по математике. 30.11.2014 г.
10 класс
1. У Ростика есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку тонны кубиков и тонны квадриков. Если он купит на 10\% кубиков больше, то ему сделают 30-процентную скидку на квадрики, и оставшихся денег ему хватит на покупку по крайней мере тонны квадриков. А если он купит на 30\% квадриков больше, то ему сделают 10-процентную скидку на кубики, и оставшихся денег ему хватит на покупку по крайней мере тонны кубиков. Что дороже и во сколько раз: тонна кубиков или тонна квадриков? Ответ обоснуйте.
2. Произведение трёх целых чисел в 6 раз больше их суммы, а одно из чисел равно сумме двух других. Найдите все такие тройки чисел.
3. Каждая клетка доски $n \times n$ ($n \ge 5$) покрашена в синий или жёлтый цвет. Никакие три подряд идущие клетки, расположенные в одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали, не покрашены в один и тот же цвет. Докажите, что в любом квадрате $3 \times 3$ среди угловых клеток ровно две синих и ровно две жёлтых.
4. Дан квадрат $ABCD$. Точки $N$ и $P$ выбраны на сторонах $AB$ и $AD$ соответственно так, что $NP = NC$. Точка $Q$ на отрезке $AN$ такова, что $\angle QPN = \angle NCB$. Докажите, что $\angle BCQ = \dfrac{1}{2}\angle AQP$.
5. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $(8n)! - 4n + 1$ является точным квадратом.
Задачи харьковской олимпиады по математике
6 класс
1. Из одного пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда. Через 4 часа между ними было 476 км. Найдите скорость каждого поезда, если у одного из них она на 5 км/ч больше, чем у другого.
2. Большой квадрат разрезали на одинаковые маленькие квадратики. Затем пересчитали все маленькие квадратики, примыкающие к контуру большого квадрата. Их оказалось 44. На сколько маленьких квадратиков был разрезан большой квадрат?
3. Тридцать три богатыря стали в ряд так, что каждый четный по счёту богатырь оказался на 8 см ниже предыдущего, и на 3 см ниже последующего. На сколько сантиметров первый богатырь выше последнего?
4. Девять одинаковых пирожных стоят меньше, чем 10 гривен, а десять таких же пирожных стоят больше, чем 11 гривен. Сколько стоит одно такое пирожное?
5. На математической олимпиаде участникам было предложено 10 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывали 5 баллов, а за каждую нерешенную или решенную неверно – отнимали 3 балла. Один участник получил 34 балла. Сколько задач он решил правильно?
Донецкий институт последипломного педагогического образования
Луганск. II этап ученической олимпиады 2014-2015 учебного года
8 класс
1. В простом двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Если к этому числу прибавить 9, то полученная сумма будет больше 50, но меньше 97. Найти это число.
2. Отец в 5 раз старше сына. Отец окончил институт в 22 года. С тех пор прошло время, которое равно половине того, которое нужно сыну, чтобы ему тоже стало 22 года. Сколько лет сейчас сыну и сколько - отцу?
3. Биссектриса угла треугольника пересекает противолежащую сторону под углом $73^\circ$, а биссектрису одного из двух других углов - под углом $58^\circ$. Найти углы треугольника.
4. Построить график функции: $у = \dfrac{|x-2|}{x-2} + \dfrac{|x-3|}{x-3}$.
5. Решить уравнение $(a+4)х - 2,5х = (a-2)(а+3) + 3\text{,}5х$ в зависимости от параметра $a$.
Образовательный портал Луганска
Второй (городской в г. Харькове) этап Всеукраинской олимпиады школьников по математике. 30.11.2014 г.
10 класс
1. У Ростика есть ровно столько денег, сколько нужно на покупку тонны кубиков и тонны квадриков. Если он купит на 10\% кубиков больше, то ему сделают 30-процентную скидку на квадрики, и оставшихся денег ему хватит на покупку по крайней мере тонны квадриков. А если он купит на 30\% квадриков больше, то ему сделают 10-процентную скидку на кубики, и оставшихся денег ему хватит на покупку по крайней мере тонны кубиков. Что дороже и во сколько раз: тонна кубиков или тонна квадриков? Ответ обоснуйте.
2. Произведение трёх целых чисел в 6 раз больше их суммы, а одно из чисел равно сумме двух других. Найдите все такие тройки чисел.
3. Каждая клетка доски $n \times n$ ($n \ge 5$) покрашена в синий или жёлтый цвет. Никакие три подряд идущие клетки, расположенные в одной горизонтали, одной вертикали или одной диагонали, не покрашены в один и тот же цвет. Докажите, что в любом квадрате $3 \times 3$ среди угловых клеток ровно две синих и ровно две жёлтых.
4. Дан квадрат $ABCD$. Точки $N$ и $P$ выбраны на сторонах $AB$ и $AD$ соответственно так, что $NP = NC$. Точка $Q$ на отрезке $AN$ такова, что $\angle QPN = \angle NCB$. Докажите, что $\angle BCQ = \dfrac{1}{2}\angle AQP$.
5. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $(8n)! - 4n + 1$ является точным квадратом.
Задачи харьковской олимпиады по математике
