Даны многочлены `P(x)`, `Q(x)`, `R(x)` и `S(x)` такие, что `P(x^5) + xQ(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x +1) S(x).` Докажите, что `x-1` является делителем многочлена `P(x).` |  |
Пусть $PABC$ - треугольная пирамида, в которой $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^o$, а сумма длин шести рёбер равна $S$. Найдите максимальное значение объёма такой пирамиды. | |
Найдите все целочисленные решения уравнения `a^2+b^2+c^2=a^2b^2.` | |
Пусть $A$ и $B$ - фиксированные точки на заданной окружности, а $XY$ - переменный диаметр той же окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $AX$ и $BY$. Можно считать, что $AB$ не является диаметром.  | |
(a) Каждый квадрат шахматной доски размером `4 xx 7,` окрашен либо в черный цвет, либо в белый цвет. Докажите, что при любой такой раскраске доска должна содержать прямоугольник (образованный горизонтальными и вертикальными линиями доски, пример изображён на рисунке), чьи четыре угловых клетки имеют одинаковый цвет.  (b) Приведите пример черно-белой раскраски доски `4 xx 6,` в которой угловые клетки каждого прямоугольника (описанного выше) не имеют одинаковый цвет. | |
Пусть $S = \{1, 2, \ldots , 2017\}.$ Найдите максимальное $n$ такое, что существуют $n$ различных подмножеств $S$ таких, что объединение любых двух из них не равно $S.$ |  |
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $H$ обозначает его ортоцентр, $D, E$ и $F$ --- основания высот из вершин $A, B$ and $C,$ соответственно. Пусть прямая $DF$ пересекается с проведенной через $B$ высотой в точке $P.$ Прямая, перпендикулярная $BC$ и проходящая через $P$, пересекает $AB$ в $Q.$ Далее, $EQ$ пересекает проведенную через $A$ высоту в $N.$ Докажите, что $N$ --- середина $AH.$ | |
(a) Найдите максимум $M$ выражения $x + y + z$, где $x, y$ и $z$ --- положительные действительные числа, удовлетворяющие $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2.$ (b) Докажите, что существует бесконечно много троек $(x, y, z)$ положительных рациональных чисел таких, что $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2$ и $x + y + z = M.$ | |
Дана последовательность $(a_n)_{n \geq 0}$ рациональных чисел такая, что $a_0 = 2016$ и $a_{n+1} = a_n + \frac{2}{a_n}$ для всех $n \geq 0.$ Покажите, что последовательность не содержит квадратов рациональных чисел. | |
Ожерелье содержит 2016 жемчужин, каждая из которых окрашена в один из цветов --- чёрный, зёленый или синий. На каждом шаге мы заменяем одновременно каждую жемчужину новой, цвет которой определяется так: если у жемчужины оригинальные соседи были одного цвета, то новая жемчужина получает их цвет, если соседи были двух разных цветов, новая жемчужина выбирается третьего цвета. (a) Есть ли такое ожерелье, которое может быть с помощью таких шагов преобразовано в ожерелье с синими жемчужинами, если вначале одна половина жемчужин была чёрной, а вторая половина --- зелёной? (b) Есть ли такое ожерелье, которое может быть с помощью таких шагов преобразовано в ожерелье с синими жемчужинами, если вначале 1000 жемчужин были чёрными, а остальные --- зелёными? (c) Возможно ли преобразовать ожерелье, в котором ровно две чёрные, соседние, жемчужины, а остальные 2014 --- синие, в ожерелье, в котором одна зелёная жемчужина и 2015 синих жемчужин? | |
