Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Математическая олимпиада в Австрии
Österreichische Mathematik Olympiade, известная как ÖMO, - Австрийсткая математическая олимпиада. Она была основана после первого приглашения Австрии к участию в международной математической олимпиаде (IMO). Её основной целью является отбор и подготовка австрийских команд к участию в международных соревнованиях. Для достижения этой цели используются различные методы - это и подготовительные курсы в школах, и двухнедельные сборы кандидатов в национальные команды. Школьный и региональный уровень Одаренные школьники, желающие принять участие в ÖMO, обычно посещают подготовительные курсы в своих школах. Школьники начинают заниматься на курсах "начального уровня" в 8 или 9 классах (в 14-15 лет) и позже переходят на курсы "продвинутого уровня". В конце марта для слушателей этих курсов и в апреле для начинающих проводятся Kurswettbewerb, соревнования, определяющие, кто примет участие в региональных соревнованиях. Школьники, которые не посещали подготовительные курсы, желающие принять участие в олимпиаде, могут выступить в специальном квалификационном соревновании. Школьники 8 и 9 классов участвуют в Landeswettbewerbe, т.е. в провинциальных соревнованиях, обычно в июне. Для них не проводятся соревнования национального уровня. Школьники старших классов принимают участие в соревнованиях регионального уровня, называемых Gebietswettbewerbe (GWB). В настоящий момент провинции разбиты на три региона: Vienna, Lower Austria, Burgenland (=Восток) - Styria, Carinthia (=Юг) - Upper Austria, Salzburg, Tyrol, Vorarlberg (=Запад). Национальный уровень (The Bundeswettbewerb) Лучшие, по результатам региональных соревнований, принимают участие в недельных сборах в Raach am Hochgebirge (Lower Austria), которые проводятся во второй половине мая. По завершении сборов проводится Zwischenwettbewerb (промежуточное соревнование), известное также как Bundeswettbewerb Teil 1 (федеральное соревнование, 1-ая часть). Для лучших проводятся еще одни недельные сборы, после которых проводится финальное двухдневное соревнование, Bundeswettbewerb (федеральное соревнование, 2-ая часть). Сайт олимпиады |  |
-
-
25.04.2017 в 10:001. Неотрицательные действительные числа `x_1,` `x_2,` ..., `x_9` удовлетворяют
`x_1^2 + x_2^2 + ... + x_9^2 >= 25.`
Докажите, что сумма каких-то трёх из этих чисел не меньше 5.
%(Karl Czakler)
2. Дан вписанный в окружность четырехугольник `ABCD` с взаимно перпендикулярными диагоналями.
Прямая `g` симметрична диагонали `AC` относительно биссектрисы `/_ BAD.`
Докажите, что центр описанной окружности лежит на прямой `g.`
%(Theresia Eisenkölbl)
3. На доске написали неотрицательные целые числа 2000, 17 и `n.` Алиса и Боб играют в игру: Алиса начинает, затем они ходят по очереди. Ход состоит в замене одного из трёх чисел модулем разности двух других. Ход нельзя выполнить, если все три числа не меняются. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает.
- Докажите, что игра заканчивается для любого `n.`
- Кто выиграет при `n = 2017?`
%(Richard Henner)
4. Найдите все целые `n >= 2,` удовлетворяющие
`n = a^2 + b^2,`
где `a` - наименьший делитель `n`, отличный от 1, и `b` - произвольный делитель `n.`
%(Walther Janous)
-
-
25.04.2017 в 19:21Может быть в условии должно быть `x_1^2+...+x_9^2=25,` тогда можно что-то порешать.
-
-
25.04.2017 в 19:43-
-
25.04.2017 в 19:55-
-
30.08.2017 в 19:081. Найдите все многочлены $P(x) \in \R[x]$, удовлетворяющие двум условиям:
(a) $P(2017) = 2016$ и
(b) $(P(x) + 1)^2 = P(x^2 + 1)$ для всех действительных $x.$
обсуждение
2. Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с центром `M`. Точка `P \neq M` лежит на отрезке `MD`. Окружность, описанная около `ABP`, пересекает отрезок `AE` в точках `A` и `Q`, а так же пересекает прямую, проходящую через `P` перпендикулярно `CD`, в точках `P` и `R`. Докажите, что длины отрезков `AR` и `QR` равны.
обсуждение
3. Анна и Берта играют в игру, в которой нужно снимать камешки со стола.
Анна ходит первой. Пусть перед очередным ходом на столе лежат `n \geq 1` камешков, тогда делающий ход игрок снимает со стола `k` камешков, где `k \geq 1` либо четное и `k \leq \frac{n}{2}`, либо нечетное и `\frac{n}{2} \leq k \leq n`. Игрок выигрывает, если своим ходом она снимает со стола последний камень.
Найдите наименьшее `N \geq 100000` такое, что Берта может одержать победу, если на столе лежат ровно `N` камешков в начале игры.
обсуждение
4. Найдите все пары `(a, b)` неотрицательных целых числе таких, что `2017^a = b^6 - 32b + 1`.
обсуждение
-
-
11.04.2019 в 21:311. Дано действительное число `\alpha`. Найдите все функции `f : RR \to RR` такие, что `f(f(x + y) * f(x - y)) = x^2 + \alpha * y * f(y)` для всех `x, y \in RR`.
обсуждение
2. Ожерелье содержит 2016 жемчужин, каждая из которых окрашена в один из цветов --- чёрный, зёленый или синий.
На каждом шаге мы заменяем одновременно каждую жемчужину новой, цвет которой определяется так: если у жемчужины оригинальные соседи были одного цвета, то новая жемчужина получает их цвет, если соседи были двух разных цветов, новая жемчужина выбирается третьего цвета.
(a) Есть ли такое ожерелье, которое может быть с помощью таких шагов преобразовано в ожерелье с синими жемчужинами, если вначале одна половина жемчужин была чёрной, а вторая половина --- зелёной?
(b) Есть ли такое ожерелье, которое может быть с помощью таких шагов преобразовано в ожерелье с синими жемчужинами, если вначале 1000 жемчужин были чёрными, а остальные --- зелёными?
(c) Возможно ли преобразовать ожерелье, в котором ровно две чёрные, соседние, жемчужины, а остальные 2014 --- синие, в ожерелье, в котором одна зелёная жемчужина и 2015 синих жемчужин?
обсуждение
3. Дана последовательность $(a_n)_{n \geq 0}$ рациональных чисел такая, что $a_0 = 2016$ и $a_{n+1} = a_n + \frac{2}{a_n}$ для всех $n \geq 0.$
Покажите, что последовательность не содержит квадратов рациональных чисел.
обсуждение
4. (a) Найдите максимум $M$ выражения $x + y + z$, где $x, y$ и $z$ --- положительные действительные числа, удовлетворяющие $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2.$
(b) Докажите, что существует бесконечно много троек $(x, y, z)$ положительных рациональных чисел таких, что $16xyz = (x + y)^2(x + z)^2$ и $x + y + z = M.$
обсуждение
5. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $H$ обозначает его ортоцентр, $D, E$ и $F$ --- основания высот из вершин $A, B$ and $C,$ соответственно. Пусть прямая $DF$ пересекается с проведенной через $B$ высотой в точке $P.$ Прямая, перпендикулярная $BC$ и проходящая через $P$, пересекает $AB$ в $Q.$ Далее, $EQ$ пересекает проведенную через $A$ высоту в $N.$ Докажите, что $N$ --- середина $AH.$
обсуждение
6. Пусть $S = \{1, 2, \ldots , 2017\}.$ Найдите максимальное $n$ такое, что существуют $n$ различных подмножеств $S$ таких, что объединение любых двух из них не равно $S.$
обсуждение