Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
| Математическая олимпиада в Бразилии проводится в три этапа для школьников трех возрастных групп: первый уровень (школьники 6-7 классов), второй (школьники 8-9 классов) и третий (школьники 10-11 классов). Задачи третьего уровня финалов бразильских олимпиад публикуются на artofproblemsolving, там же можно посмотреть и Месть олимпийцев - задачи, которые победители и призеры предлагают решить организаторам олимпиады во время проведения этапа отбора и подготовки национальной команды для участия в международных соревнованиях (олимпийской недели). Не справившиеся со всеми заданиями учителя, как говорят, купаются в аквариуме с симпатичными рыбками. В комментариях приводятся условия финального этапа XXXIV олимпиады. Бразилия, Сальвадор-де-Баия, Город Тысячи Церквей |  Рио-де-Жанейро — это хрустальная мечта моего детства ... (с) |
-
-
17.04.2013 в 08:381. Элейн использовала каждую из цифр от 1 до 8 для записи двух четырехзначных чисел.
a) Чему равна сумма двух чисел, если их разность наибольшая из возможных?
b) Чему равна разность двух чисел, если их сумма наименьшая из возможных?
2. Анна нарисовала два разных шестиугольника, ABCDEF и PQRSTU, со всеми углами равными 120°.
a) Если AB = CD = 5, BC = 8 и EF = 3, то чему равен периметр шестиугольника ABCDEF?
b) Если PQ = 3, QR = 4, RS = 5 и TU = 1, то чему равна сумма ST + PU?
3. Кристина показала стопку карт, пронумерованных от 1 до 25, и попросила свою подругу Дороти выбрать шесть карт. Кристина записала номера и вернул карты в стопку. Потом она попросила Дороти выбрать шесть карт еще раз и снова записала выбранные числа.
а) в первый раз Дороти выбрала такие карты, что разность чисел, записанных на любых двух выбранных картах, была кратна четырем и только одно из шести чисел не было простым числом. Какие числа были выбраны в первый раз?
б) во второй раз Дороти выбрала такие шесть таких карт, что для каждой пары чисел на этих картах одно число было делителем другого, за исключением пары, в которой ни одно число не делилось на другое. Какое самое большое число среди этих шести чисел?
4. Бето распилил деревянный куб с длиной ребра равной 7 см на четыре прямоугольных части, сделав распилы параллельно сторонам куба (см. рисунок). Числа на рисунке показывают (в кв. см.) общую площадь поверхности трех частей.
a) Чему равна полная площадь поверхности исходного куба до распила?
b) Чему равна общая площадь поверхности четвертой части?
5. Когда встречаются две красные амебы, то они превращаются в одну синюю амебу, когда красная амеба встречается с синей амебой, то они превращаются в три красные амебы, когда встречаются две синие амебы, то они превращаются в четыре красные амебы.
Фернандо наблюдает за пробиркой, в которой изначально было 19 синих and 95 красных амеб.
a) Он заметил, что все амебы разделились на пары, что привело к возникновению следующего поколения амеб. Какое наибольшее количество амеб могло быть в этом новом поколении?
b) Если, при тех же начальных условиях, в одном из поколений в пробирке получилось 100 амеб, то сколько из них были синими?
-
-
17.04.2013 в 11:06)))
wpoms., спасибо!
-
-
17.04.2013 в 11:26Месть олимпийцев -
-
-
17.04.2013 в 11:35Гладиаторские бои, только хуже
Не хотела бы я на их месте оказаться))
Не справившиеся со всеми заданиями учителя, как говорят, купаются в аквариуме с симпатичными рыбками.
С этими симпатичными рыбками даже не сразишься в честном бою...
-
-
17.04.2013 в 11:39Совершенно верно, это они
-
-
17.04.2013 в 11:45-
-
17.04.2013 в 13:03-
-
17.04.2013 в 13:16Это не Вы экспериментировали?
-
-
17.04.2013 в 14:20-
-
17.04.2013 в 17:07И от всякого, кому дано много, много и потребуется; и кому много вверено, с того больше взыщут
P.S. Можно еще отметить, что среди учителей много бывших олимпийцев
-
-
17.04.2013 в 17:33PRIMEIRO DIA
1. Когда встречаются две красные амебы, они превращаются в одну синюю амебу; когда красная амеба встречается с синей, они превращаются в три красные амебы; когда встречаются две синие амебы, они превращаются в четыре красные амебы.
В пробирке изначально были 201 синяя амеба и 112 красных амеб.
a) Возможно ли, чтобы после нескольких превращений пробирка содержала 100 синих амеб и 314 красных амеб?
b) Возможно ли, чтобы после нескольких превращений пробирка содержала 99 синих амеб и 314 красных амеб?
2. Многие люди знакомы с последовательностью Фибоначчи, но многие люди не знают, что в то же время бразильский математик создал последовательность Соманаччи. Такие последовательности генерируются из трех начальных элементов, натуральных чисел меньших 2012. В отличие от последовательности Фибоначчи, каждый очередной элемент последовательности Соманаччи равен сумме всех предыдущих членов последовательности. Элементом какого количества последовательностей Соманаччи является число 2012?
3. Дан треугольник ABC, M - середина AC, N - середина AB. Прямые r и s получены как отражение прямых BM и CN относительно прямой BC, соответственно. Точки D и E получены как пересечение прямых r и s с прямой MN, соответственно. X и Y - точки пересечения окружностей, описанных около треугольников BDM и CEN, Z - точка пересечения прямых BE и CD, W - точка пересечения прямых r и s. Докажите, что прямые XY, WZ и BC пересекаются в одной точке.
SEGUNDO DIA
4. На рисунке показан правильный пятиугольник ABCDE, вписанный в равносторонний треугольник MNP. Найдите величину угла CMD.
5. Действительные числа a и b удовлетворяют условиям (a + b) (a +1) (1 + b) = 2 и a^3 + b^3 = 1. Найдите значение a + b.
6. У Марии есть шоколадная плитка размера mxn разбитая на квадраты 1x1. Она хочет промаркировать все квадраты с помощью маркера, который показан на рисунке:
Маркер может быть использован горизонтально или вертикально. Маркер помечает два квадрата, оставляя d-1 квадрат между этими двумя без изменения. Мария не хочет помечать каждый квадрат более одного раза. Для каких значений m, n и d возможно пометить все квадраты с соблюдением указанных выше условий.
На рисунке показан пример маркировки с d = 3, маркер был использован в вертикальном и горизонтальном положении по одному разу.
-
-
17.04.2013 в 18:03PRIMEIRO DIA
1. Когда встречаются две красные амебы, то они превращаются в одну синюю амебу;
когда встречаются красная и синяя амебы, то они превращаются в три красные амебы;
когда встречаются две синие амебы, то они превращаются в четыре красные амебы.
В пробирке содержится m красных и v синих амеб.
Найдите, как функцию от m и v, все возможные количества амеб в пробирке и для каждого количества амеб возможные количества красных и синих амеб.
2. Дан треугольник ABC, центр вневписанной окружности угла A совпадает с точкой пересечения биссектрис внешних углов B и С. I_A, I_B, I_C - центры внеписанных окружностей углов A, B и C треугольника ABC, соответственно, X, Y и Z - середины отрезков I_BI_C, I_CI_A, I_AI_B, соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F, соответственно. Докажите, что прямые DX, EY и FZ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой IO, где I и O - центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, соответственно.
3. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого существует натуральное число k, такое что последние 2012 цифр в десятичной записи n^k равны 1?
SEGUNDO DIA
4. Определите, существуют ли натуральные числа n, a_1, a_2, ..., a_2012, все большие или равные 2, такие что
n^2 = a_1^2 + a_2^3 + a_3^5 +...+ a_i^{p_i }+...+ a_2012^{p_2012},
где p_i - i-ое простое число (т.е. p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, ...).
5. Сколькими способами можно раскрасить клетки доски nxn клеток в четыре цвета, если клетки с общей стороной должны быть окрашены в разные цвета и клетки каждого квадрата 2 x 2, образованного четырьмя соседними клетками, должны быть окрашены в четыре разных цвета?
6. Найдите все сюръективные функции f: RR^+ -> RR^+, такие что 2x * f (f (x)) = (f (f (x)) + x) * f (x) для всех положительных действительных чисел.
Примечание: Функция f из A в B является сюръективной, если для любого y из B существует x из A, такой что f(x) = y.
-
-
17.04.2013 в 18:06Это не Вы экспериментировали?
Да, мы. Там же так и написано ))Кто ее вырастил, не знаю... Не я))
пиранью взяли на экспертизу сотрудники Азовского НИИ рыбного хозяйства.
То-то веселья было. (Но меня уже тогда там не было — агентура доносила...)
-
-
17.04.2013 в 18:08Что-то вроде этого ... стер нужное, поправлю
-
-
17.04.2013 в 19:26Интересно, если в банке 4 красные амёбы, с какой скоростью они будут превращаться в две синих и обратно?
Что-то мне кажется, там дискретного времени не хватает, чтобы эту модель целиком описать.
-
-
17.04.2013 в 19:45С естественной ... Есть некоторый набор амеб, они, разделившись на пары и изменившись, порождают след. поколение за один шаг
-
-
17.04.2013 в 20:04Непонятно...
Старые остаются, и к ним добавляются новые поколения?
Или это как игра "жизнь", когда такая штучка:
о
о
о
Превращается в такую:
о о о
и обратно...
-
-
17.04.2013 в 20:13Как старые могут остаться, если они превратились в новые?
-
-
17.04.2013 в 20:17Понятно...
Смутило слово "порождают"...
-
-
13.10.2018 в 22:391 уровень (6-7 класс)
1. Четыре команды провели турнир, в котором каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Победа приносила 3 очка, ничья --- 1 очко, за поражение очки не начислялись. В этом турнире,
a) если победитель набрал 9 очков, занявший второе место --- 6 очков и занявший третье --- 3 очка, то сколько очков набрала четвертая команда?
b) если победитель набрал 5 очков, две другие команды по 3 очка, а последняя --- два очка, то сколько игр закончилось вничью?
обсуждение
2. Janaina рисовала последовательность фигур, как показано ниже. Каждая фигура имеет на один квадрат больше, чем предыдущая, и длина стороны добавленного квадрата равна длине диагонали большего квадрата предыдущей фигуры. Все квадраты каждой фигуры имеют общую вершину. Площадь квадрата на первом рисунке равна 2 см${}^2.$
a) Чему равна площадь большего квадрата на рисунке 2?
b) Чему равна общая площадь фигуры 3?
c) Чему равна общая площадь фигуры 6?
обсуждение
3. Целые числа от 1 до 99 разделены на $n$ групп так, что:
I -- каждое число принадлежит только одной группе;
II- каждая группа содержит не менее двух чисел;
III- если два числа принадлежат одной группе, то их сумма не делится на 3.
a) Объясните, почему количество групп не может быть равно 50.
b) Чему равно наименьшее возможное количество групп?
обсуждение
4. Карл составляет список четырехзначных чисел по следующим правилам: сумма цифр числа должна быть равна 12, две цифры должны быть четными, а две другие --- нечетными. Например, число 2703 удовлетворяет эти условиям и должно быть включено в список. Помните, что число не может начинаться с ноля и что ноль чётен.
a) Какое ближайшее к 2016 число содержится в списке Карла?
b) Найдите сумму всех тех чисел в списке Карла, которые меньше 2016.
обсуждение
5. Дано целое число $N$, $N \geq 2.$
В игре OBM участвуют два игрока $A$ и $B$, игру начинает игрок $A$, получающий число $N.$ Он должен выбрать новое целое число $n,$ взаимно простое с $N$ и большее или равное $N$ и меньшее, чем $N.$ Это число передается игроку $B.$ Игрок $B$, получив число $n$ от своего оппонента, выбирает новое число $m,$ взаимно простое с $n$, большее или равное половине $n$ и меньшее $n.$ Затем он передает выбранное число $m$ игроку $A$ и процесс повторяется до тех пор, пока одному из игрок остается только выбрать число 1. Этот игрок будет победителем!
Например, для $N = 9,$ игрок $A$ может выбрать число 5 (заметьте, что он мог выбрать одно из чисел 5, 7 или 8); игрок $B$ может затем выбрать число $3;$ $A$ вынужден выбрать число 2 (это его единственная возможность), и затем $B$ выбирает 1 и выигрывает.
Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, если
a) $N = 7;$
b) $N = 2016.$
Примечание. Два числа называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя большего 1. Например, 9 и 6 не являются взаимно простыми числами, так как 3 --- их общий делитель..
обсуждение
2 уровень (8-9 класс)
1. a) Рассмотрим все числа образованные четырьмя цифрами 1, 2, 3 и 4. Образуем выражение
$$S_4 = 4321 - 4312 + 4231 - 4213 + ... + 1243 - 1234,$$
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and $-$ чередуются. Вычислите $S_4.$
b) Аналогично, рассмотрим все числа образованные девятью различными цифрами, за исключением ноля, и образуем выражение
$$S_9 = 987654321 - 987654312 + 987654231 - ... - 123456789,$$
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and $-$ чередуются. Вычислите $S_9.$
обсуждение
2. Биссектрисы углов $ABC$ и $ACB$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I.$ Прямая, параллельная $BI$ и проходящая через точку $A$, пересекает $CI$ в точке $D.$ Прямая, параллельная $CI$ и проходящая через точку $A$ пересекает прямую $BI$ в точке $E.$ Прямые $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F.$ Покажите, что точки $F, A$ и $I$ лежат на одной прямой в том и только том случае, когда $AB = AC.$
обсуждение
3. Действительные числа $a, b, r$ и $s$ такие, что корнями уравнения $x^2 - ax + b = 0$ являются $1/r$ и $1/s$, а корнями уравнения $x^2 - rx + s = 0$ являются $a$ и $b.$ Найдите $a$, если известно, что $a> 0$.
обсуждение
4. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ с $AB < AC < BC.$ Срединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$ и продолжение стороны $AC$ в точке $U.$ Срединный перпендикуляр отрезка $CA$ пересекает сторону $BC$ в точке $O$ и продолжение стороны $AB$ в точке $G$. Докажите, что четырехугольник $GOKU$ является вписанным, а именно, что все его четыре вершины лежат на одной окружности.
обсуждение
5. Перестановку $(a_1, a_2, a_3, ..., a_{n-1}, a_n)$ элементов множества $\{1, 2, 3, ..., n\}$ назовем легальной, если нет двух последовательных членов, чья сумма кратна 3, и нет членов таких, что разность двух соседних с ними членов кратна 3. Например, перестановка $(4, 6, 2, 5, 3, 1)$ является легальной перестановкой множества чисел $\{1, 2, 3, 4 , 5, 6\}.$ Но $(1, 2, 5, 3, 4, 6)$ не является легальной перестановкой того же множества, так как числа 1 и 2 являются соседними и их сумма кратна 3. Более того, разность чисел, соседних с числом 4, то есть чисел 3 и 6, кратна 3.
a) Определите количество легальных перестановок множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$
b) Определите количество легальных перестановок множества $\{1, 2, 3, ..., 2016\}.$
Примечание: Перестановкой элементов множества называется упорядоченная последовательность, которая содержит все элементы множества по одному разу.
обсуждение
6. Пусть $a_0 = a > 1$ --- целое число и, для $n \geq 0,$ определим $a_{n+1} = 2^{a_n}-1.$ Покажите, что множество простых делителей членов последовательности $a_n$ бесконечно.
обсуждение
3 уровень (старшая школа)
1. Дан треугольник $ABC$. Прямые $r$ и $s$ --- биссектрисы углов $ABC$ и $BCA$, соответственно. Точки $E$ на $r$ и $D$ на $s$ такие, что $AD \| BE$ и $AE \| CD$. Прямые $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. $I$ --- центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что если $A,F,I$ лежат на одной прямой, то $AB=AC$.
обсуждение
2. Найдите наименьшее $n$ такое, что любое множество из $n$ точек координатной плоскости с целочисленными координатами содержит две точки такие, что квадрат расстояния между ними кратен 2016.
обсуждение
3. Пусть $k$ --- фиксированное положительное целое число. Альберто и Беральдо играют в следующую игру:
дано начальное число $N_0$ и начинает Альберто, они по очереди выполняют такую операцию: заменяют число $n$ на число $m$ так, что $m < n$ и $m$ и $n$ отличаются, в их представлении по модулю 2, точно в $\ell$ последовательных цифрах для некоторого $\ell$ такого, что $1 \leq \ell \leq k$.
Тот, кто не может сделать ход, проигрывает.
Назовем неотрицательное число $t$ победителем, если игрок получивший число $t$ имеет выигрышную стратегию, он может выбрать следующее число так, чтобы обеспечить свою победу вне зависимости от действий другого игрока. Иначе назовем число неудачником.
Докажите, что для каждого положительного целого числа $N$, общее количество неотрицательных чисел-неудачников, меньших чем $2^N$, равно $2^{N-\lfloor \log_2(min\{N,k\}) \rfloor}$.
Пояснение: запись вида $\lfloor x \rfloor$ означает наибольшее целое число меньшее или равное $x.$ Например, $\lfloor 3{,}14 \rfloor = 3$, $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor -4{,}6 \rfloor = -5$.
обсуждение
4. Какое наибольшее количество положительных целых чисел меньших или равных 2016 можно выбрать так, чтобы никакие два из них не отличались на 1,2 или 6?
обсуждение
5. Рассмотрим многочлен второй степени $P(x) = 4x^2+12x-3015$.
Определим последовательность многочленов $P_1(x) = P(x)/2016$ и $P_{n+1}(x) = P(P_n(x))/2016$ для всех $n \geq 1$.
(a) Докажите, что есть действительное число $r$ такое, что $P_n(r) < 0$ для всех положительных целых чисел $n$.
(b) Определите количество целых чисел $m$ таких, что $P_n(m) < 0$ для бесконечного количества положительных целых чисел $n$.
обсуждение
6. Выпуклый четырехугольник $ABCD$ не является вписанным и у него нет параллельных сторон. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в $E$.
Пусть $M \neq E$ будет точкой пересечения описанных окружностей треугольников $ADE$ и $BCE$. Биссектрисы внутренних углов $ABCD$ определяют выпуклый, вписанный четырехугольник с центром описанной окружности $I$. Биссектрисы внешних углов $ABCD$ определяют выпуклый, вписанный четырех угольник с центром описанной окружности $J$. Докажите, что $I,J,M$ лежат на одной прямой.
обсуждение