08:36 

Математическая олимпиада в Бразилии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Бразилии проводится в три этапа для школьников трех возрастных групп: первый уровень (школьники 6-7 классов), второй (школьники 8-9 классов) и третий (школьники 10-11 классов).
Задачи третьего уровня финалов бразильских олимпиад публикуются на artofproblemsolving, там же можно посмотреть и Месть олимпийцев - задачи, которые победители и призеры предлагают решить организаторам олимпиады во время проведения этапа отбора и подготовки национальной команды для участия в международных соревнованиях (олимпийской недели). Не справившиеся со всеми заданиями учителя, как говорят, купаются в аквариуме с симпатичными рыбками.
В комментариях приводятся условия финального этапа XXXIV олимпиады.
Бразилия, Сальвадор-де-Баия, Город Тысячи Церквей

Рио-де-Жанейро — это хрустальная мечта моего детства ... (с)

@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2013-04-17 в 08:38 

wpoms.
Step by step ...
XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

Terceira Fase - Nível 1 (6° ou 7° ano)


1. Элейн использовала каждую из цифр от 1 до 8 для записи двух четырехзначных чисел.
a) Чему равна сумма двух чисел, если их разность наибольшая из возможных?
b) Чему равна разность двух чисел, если их сумма наименьшая из возможных?

2. Анна нарисовала два разных шестиугольника, ABCDEF и PQRSTU, со всеми углами равными 120°.
a) Если AB = CD = 5, BC = 8 и EF = 3, то чему равен периметр шестиугольника ABCDEF?
b) Если PQ = 3, QR = 4, RS = 5 и TU = 1, то чему равна сумма ST + PU?

3. Кристина показала стопку карт, пронумерованных от 1 до 25, и попросила свою подругу Дороти выбрать шесть карт. Кристина записала номера и вернул карты в стопку. Потом она попросила Дороти выбрать шесть карт еще раз и снова записала выбранные числа.
а) в первый раз Дороти выбрала такие карты, что разность чисел, записанных на любых двух выбранных картах, была кратна четырем и только одно из шести чисел не было простым числом. Какие числа были выбраны в первый раз?
б) во второй раз Дороти выбрала такие шесть таких карт, что для каждой пары чисел на этих картах одно число было делителем другого, за исключением пары, в которой ни одно число не делилось на другое. Какое самое большое число среди этих шести чисел?

4. Бето распилил деревянный куб с длиной ребра равной 7 см на четыре прямоугольных части, сделав распилы параллельно сторонам куба (см. рисунок). Числа на рисунке показывают (в кв. см.) общую площадь поверхности трех частей.
a) Чему равна полная площадь поверхности исходного куба до распила?
b) Чему равна общая площадь поверхности четвертой части?


5. Когда встречаются две красные амебы, то они превращаются в одну синюю амебу, когда красная амеба встречается с синей амебой, то они превращаются в три красные амебы, когда встречаются две синие амебы, то они превращаются в четыре красные амебы.
Фернандо наблюдает за пробиркой, в которой изначально было 19 синих and 95 красных амеб.
a) Он заметил, что все амебы разделились на пары, что привело к возникновению следующего поколения амеб. Какое наибольшее количество амеб могло быть в этом новом поколении?
b) Если, при тех же начальных условиях, в одном из поколений в пробирке получилось 100 амеб, то сколько из них были синими?


2013-04-17 в 11:06 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Рио-де-Жанейро — это хрустальная мечта моего детства ... (с)
)))
wpoms., спасибо! :white:

2013-04-17 в 11:26 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Спасибо... интересно...
Месть олимпийцев - :duel: ... :)

2013-04-17 в 11:35 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
All_ex, Месть олимпийцев -
Гладиаторские бои, только хуже :weep3:
Не хотела бы я на их месте оказаться))
Не справившиеся со всеми заданиями учителя, как говорят, купаются в аквариуме с симпатичными рыбками.
С этими симпатичными рыбками даже не сразишься в честном бою...

2013-04-17 в 11:39 

С этими симпатичными рыбками даже не сразишься в честном бою...
Совершенно верно, это они

URL
2013-04-17 в 11:45 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Гость, угу... я же почти экс-ихтиолог по экс-профессии )) :fish:

2013-04-17 в 13:03 

Спасибо!) :red:

2013-04-17 в 13:16 

я же почти экс-ихтиолог по экс-профессии ))
Это не Вы экспериментировали?

URL
2013-04-17 в 14:20 

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
Не справившиеся со всеми заданиями учителя, как говорят, купаются в аквариуме с симпатичными рыбками. - :upset: ... "естественный" отбор учителей... а равноправия меж тем нет... шкодников то в аквариум не запускают...

2013-04-17 в 17:07 

"естественный" отбор учителей... а равноправия меж тем нет...
И от всякого, кому дано много, много и потребуется; и кому много вверено, с того больше взыщут

P.S. Можно еще отметить, что среди учителей много бывших олимпийцев

URL
2013-04-17 в 17:33 

wpoms.
Step by step ...
XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE - NÍVEL 2 (8°. e 9°. Anos)


PRIMEIRO DIA

1. Когда встречаются две красные амебы, они превращаются в одну синюю амебу; когда красная амеба встречается с синей, они превращаются в три красные амебы; когда встречаются две синие амебы, они превращаются в четыре красные амебы.
В пробирке изначально были 201 синяя амеба и 112 красных амеб.
a) Возможно ли, чтобы после нескольких превращений пробирка содержала 100 синих амеб и 314 красных амеб?
b) Возможно ли, чтобы после нескольких превращений пробирка содержала 99 синих амеб и 314 красных амеб?

2. Многие люди знакомы с последовательностью Фибоначчи, но многие люди не знают, что в то же время бразильский математик создал последовательность Соманаччи. Такие последовательности генерируются из трех начальных элементов, натуральных чисел меньших 2012. В отличие от последовательности Фибоначчи, каждый очередной элемент последовательности Соманаччи равен сумме всех предыдущих членов последовательности. Элементом какого количества последовательностей Соманаччи является число 2012?

3. Дан треугольник ABC, M - середина AC, N - середина AB. Прямые r и s получены как отражение прямых BM и CN относительно прямой BC, соответственно. Точки D и E получены как пересечение прямых r и s с прямой MN, соответственно. X и Y - точки пересечения окружностей, описанных около треугольников BDM и CEN, Z - точка пересечения прямых BE и CD, W - точка пересечения прямых r и s. Докажите, что прямые XY, WZ и BC пересекаются в одной точке.

SEGUNDO DIA

4. На рисунке показан правильный пятиугольник ABCDE, вписанный в равносторонний треугольник MNP. Найдите величину угла CMD.


5. Действительные числа a и b удовлетворяют условиям (a + b) (a +1) (1 + b) = 2 и a^3 + b^3 = 1. Найдите значение a + b.

6. У Марии есть шоколадная плитка размера mxn разбитая на квадраты 1x1. Она хочет промаркировать все квадраты с помощью маркера, который показан на рисунке:

Маркер может быть использован горизонтально или вертикально. Маркер помечает два квадрата, оставляя d-1 квадрат между этими двумя без изменения. Мария не хочет помечать каждый квадрат более одного раза. Для каких значений m, n и d возможно пометить все квадраты с соблюдением указанных выше условий.
На рисунке показан пример маркировки с d = 3, маркер был использован в вертикальном и горизонтальном положении по одному разу.

2013-04-17 в 18:03 

wpoms.
Step by step ...
XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE - NÍVEL 3 (Ensino Médio)


PRIMEIRO DIA

1. Когда встречаются две красные амебы, то они превращаются в одну синюю амебу;
когда встречаются красная и синяя амебы, то они превращаются в три красные амебы;
когда встречаются две синие амебы, то они превращаются в четыре красные амебы.
В пробирке содержится m красных и v синих амеб.
Найдите, как функцию от m и v, все возможные количества амеб в пробирке и для каждого количества амеб возможные количества красных и синих амеб.

2. Дан треугольник ABC, центр вневписанной окружности угла A совпадает с точкой пересечения биссектрис внешних углов B и С. I_A, I_B, I_C - центры внеписанных окружностей углов A, B и C треугольника ABC, соответственно, X, Y и Z - середины отрезков I_BI_C, I_CI_A, I_AI_B, соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках D, E и F, соответственно. Докажите, что прямые DX, EY и FZ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой IO, где I и O - центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, соответственно.

3. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого существует натуральное число k, такое что последние 2012 цифр в десятичной записи n^k равны 1?

SEGUNDO DIA

4. Определите, существуют ли натуральные числа n, a_1, a_2, ..., a_2012, все большие или равные 2, такие что
n^2 = a_1^2 + a_2^3 + a_3^5 +...+ a_i^{p_i }+...+ a_2012^{p_2012},
где p_i - i-ое простое число (т.е. p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, ...).

5. Сколькими способами можно раскрасить клетки доски nxn клеток в четыре цвета, если клетки с общей стороной должны быть окрашены в разные цвета и клетки каждого квадрата 2 x 2, образованного четырьмя соседними клетками, должны быть окрашены в четыре разных цвета?

6. Найдите все сюръективные функции f: RR^+ -> RR^+, такие что 2x * f (f (x)) = (f (f (x)) + x) * f (x) для всех положительных действительных чисел.
Примечание: Функция f из A в B является сюръективной, если для любого y из B существует x из A, такой что f(x) = y.

2013-04-17 в 18:06 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
В первом номере задание: "перевести и решить"?

Это не Вы экспериментировали?
Да, мы. Там же так и написано ))
Кто ее вырастил, не знаю... Не я))
пиранью взяли на экспертизу сотрудники Азовского НИИ рыбного хозяйства.
То-то веселья было. (Но меня уже тогда там не было — агентура доносила...)

2013-04-17 в 18:08 

wpoms.
Step by step ...
В первом номере задание: "перевести и решить"?
Что-то вроде этого ... стер нужное, поправлю


2013-04-17 в 19:26 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
когда встречаются две синие амебы, то они превращаются в четыре красные амебы.
Интересно, если в банке 4 красные амёбы, с какой скоростью они будут превращаться в две синих и обратно?
Что-то мне кажется, там дискретного времени не хватает, чтобы эту модель целиком описать.

2013-04-17 в 19:45 

с какой скоростью они будут превращаться
С естественной ... Есть некоторый набор амеб, они, разделившись на пары и изменившись, порождают след. поколение за один шаг

URL
2013-04-17 в 20:04 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Есть некоторый набор амеб, они, разделившись на пары и изменившись, порождают след. поколение за один шаг
Непонятно...
Старые остаются, и к ним добавляются новые поколения?
Или это как игра "жизнь", когда такая штучка:
о
о
о
Превращается в такую:

о о о

и обратно...

2013-04-17 в 20:13 

Старые остаются, и к ним добавляются новые поколения?
Как старые могут остаться, если они превратились в новые? :hmm:

URL
2013-04-17 в 20:17 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Как старые могут остаться, если они превратились в новые?
Понятно...
Смутило слово "порождают"... :upset:

2014-03-23 в 16:24 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
2014-03-23 в 16:25 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
     

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная