Сумма квадратов

[wpoms.]

Сумма двух квадратов последовательных натуральных чисел может быть квадратом: например, `3^2 + 4^2 = 5^2`. (a) Докажите, что сумма квадратов `m` последовательных натуральных чисел не может быть квадратом для `m = 3,4, 5, 6`. (b) Найдите пример одиннадцати последовательных натуральных чисел таких, что сумма их квадратов будет квадратом натурального числа.

@темы: Теория чисел

---

Двойной интеграл

[Arcan]

`int int x^2 dxdy` на области `x^2 +y^2 <=1`.
Надо решить через полярные координаты.
Получил оценку `0<=r<=1 `, `0<=phi<=2pi` = Новое множество
Дальше получаем интеграл `int int r^3 cos^2(phi) drdphi` = `int_0^1 dr int_0^(2pi) r^3 cos^2(phi) dphi`
Как непробывал решать его - получал `3pi`, а ответ `pi/4`

@темы: Кратные и криволинейные интегралы

---

Урезанное вычитание

[Острые ушки]

Добрый день. Возник такой вопрос: какими числами являются аргументы функции урезанного вычитания? Это только натуральные числа или отрицательные также могут быть аргументами?

@темы: Дискретная математика

---

[rerf2010rerf]

Требуется выполнить замену в дифференциальном уравнении dz/dx-dz/dy=1, приняв u = x/y, v=y+z
Не могу понять, где ошибся, разве что не правильно делаю...

@темы: Математический анализ, Дифференциальные уравнения

---

Теория чисел, док-во

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть задание:
Доказать, что если число `2^n-1` - простое, то и `n` - простое число.
Док-во(от противного)
Пусть `n`- составное, `n=ab`, `a>1, b>1`, тогда данное число `2^n-1` можно представить в виде
`2^n-1=2^(ab)-1=(2^a)^b-1 ` - число составное
Написали, что последнее утверждение следует пояснить. Но мне не понятно, как это сделать, прошу помощи.
Заранее спасибо!

@темы: Теория чисел

---

Тема: Комплексные числа

[~Morphine~]

Здравствуйте!
Не могу решить контрольную по математике по вышеуказанной теме. Уровень сложности - техникум,второй курс.
1.) `(8+2i)/(5-3i)` - задание "найти модуль и аргумент числа". Я билась, но смогла только решить обыкновенно, и ответ не сошелся.
2.) `(-1+i*sqrt{3})^9` - задание "возвести в степень по формуле Муавра". Не поняла совсем.
Буду очень благодарна, если поможете. Сдать я это должна завтра. Пожалуйста, помогите! *поблагодарить могу путем пополнения счета вашего мобильного телефона на 50 рублей*
П.С. модераторы, простите, что не по шаблону! С телефона жутко неудобно, не удаляйте, пожалуйста

@темы: Комплексные числа

---

Задачи по геометрии

[pemac]

Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К.
Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами
Издательство: М.: Астрель; АСТ
Год: 2001
Страниц: 400
Формат: Пдф
Размер: 13 Мб

Книга содержит достаточно полную подборку учебных задач по всему курсу геометрии.В сборник, кроме учебных задач, включены конкурсные и олимпиадные задачи. Конкурсные задачи полезны учащимся, которые готовятся к поступлению в вуз, а задачи олимпиадного раздела помогут подготовиться у участию в школьных, районных, городских олимпиадах.
Сборник можно использовать применительно к любому школьному учебнику.

rusfolder.com/38504752

@темы: Задачник, Литература

---

Нужна функция

[loiso_]

Добрый день!
Занимаюсь задачами оптимизации. Нужна следующая функция:
f(x) - причем такая, что: при x >0, f(x)=1, При x = 0, f(x)=0.
x всегда >=0.
Нужна именно математическая формула функции.
пробовал 0^0, x/x, но 0^0=1, а x/x = неопределено.

@темы: Функции

---

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу

[keysonya]

Не очень понимаю тему конформных отображений...
Определить во что переходит внутренность круга |z|<1 при дробно-линейном отображении, которое переводит точки z(1)=1, z(2)=i, z(3)=oo, соответственно в точки w(1)=0, w(2)=oo,w(3)=1
И вторая задача, состоит в том, что надо найти общий вид дробно-линейной функции, отображающей верхнюю полуплоскость:
а) на нижнюю полуплоскость
б) на правую полуплоскость
В первой задаче я пыталась построить по трем точкам область, учитывая правило обхода....но это совсем не сходится с ответом(u+v<0) а во втором я пыталась разобраться с (а). Там получается что ось Ox переходит в Ou тогда следует что коэффициенты будут вещественными, а потом попробовала подставит ьв общий вид функции x+i*y где y>o и потом получить выражение и найти уже мнимую часть образа то есть v, она у меня уже должна быть отрицательной. Но из всего этого я сделала вывод что a*d-b*c<0 и все.
Извините что две задачи, но я действительно не понимаю эту тему, может быть есть методички или книги, где она раскрывается? Подскажите пожалуйста
Заранее, спасибо)

@темы: ТФКП

---

Математический анализ, функции многих переменных

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть задания:
1. Найти дифференциал второго порядка функции `w`
`w=w(u,v), u=x^2-y^2, v=e^(xy)`

мое решение

Не подставлял, т.к много переписывать. Правильно ли я здесь посчитал все?

2. Найти `dz, d^2z`, если функция `z=z(x,y)` задана неявно уравнением
`x+y+z=e^z`

мое решение

3. Исследовать на экстремум функцию в `D(f)`
`z=e^(2x)(x+y+2y^2)`

мое решение

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции u(x,y) на компакте D
`u=xy(6-x-y); D:x+y<=12, x>=0, y>=0`

мое решение

5. Найти первые и вторые производные неявных функций y(x), заданных уравнением
`x^3y^2-xy^5+5x+y=0`

мое решение

Дальше подставить в `y''`

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я все сделал?
Заранее спасибо!

запись создана: 20.10.2013 в 16:52

@темы: Математический анализ, Функции нескольких переменных

---

Чувственная математика

[Груша Вильямс]

Позавчера (19 октября) в ВК добавили фильм Екатерины Ерёменко "Чувственная математика".
Ссылка vk.com/club74286?z=video-74286_166311339%2Fvide...
Наверное, многие читали уже про него и смотрели трейлер.
Вот рецензия на фильм Натальи Ким

"Варкалось. Хливкие шорьки

Пырялись по наве,

И хрюкотали зелюки,

Как мюмзики в мове

- Что ж, хватит для начала! - остановил ее Шалтай. - Здесь трудных слов достаточно!"

4 июля 1862 года доктор Доджсон, профессор математики одного из оксфордских колледжей пригласил девочек Лидделл - Лорину, Алису и Эдит, а также своего молодого коллегу, преподавателя математики Робинсона Дакворта, совершить прогулку по реке. Девочки обожали чудесные сказки доктор Доджсона, и во время поездки на лодке попросили рассказать новую историю. Доджсон поведал им о приключениях маленькой девочки, попавшей в страну чудес, и звали её точно, как среднюю из сестер - Алисой.

Вы, конечно, догадались, что Чарлз Лютвидж Доджсон - настоящее имя всемирно известного сказочника Льюиса Кэролла, а его любимица Алиса Лидделл - прототип героини сказок "Алиса в стране чудес" и "Алиса в зазеркалье". Кэролл был профессиональным математиком, и всю жизнь размышлял над различными математическими задачами, некоторые из которых изложил в художественных образах. Вот почему сказками Кэролла восхищались не только лингвисты, но и известные философы, математики, физики, логики и семиотики, среди которых Бертран Рассел, Норберт Винер, Стивен Ликок и многие другие.



Современные математики размышляют над проблемами, которые недоступны пониманию абсолютного большинства людей. Тем интереснее зайти на эту закрытую территорию. По словам Екатерины Еременко, режиссера фильма "Чувственная математика", самой сложной задачей была визуализация математики, поскольку математика - абстрактная наука, она не визуальна. А кино - визуальное искусство, основанное на образах. Екатериной был найден интересный способ построения фильма: какждый ученый рассказывал о проблеме, которой он занимается, в свете определенного чувства - слуха, зрения, вкуса, обоняния и т.д. Например, лауреат Филдсовской премии Цедрик Виллани, экспрессивный молодой француз с драгоценным пауком на лацкане, согласился принять участие в фильме, когда его пригласили возглавить студенческий конкурс кулинаров. Безусловно, здесь есть устоявшийся стереотип - француз должен знать толк в хорошей кухне, даже если он всемирно известный математик. Но этот прием помог математикам заговорить на языке, понятном зрителям. Поэтому фильм будет интересен даже тем, кто, закончив школу, навсегда вычеркнул слово "математика" из своей жизни.

Отдельного внимания заслуживает съемочная группа. Оператором фильма об абстрактной науке стал известный российский режиссер и оператор Павел Костомаров ("Как я провел этим летом", "Мать", "Я тебя не люблю", проект "Срок"). Несомненно, человеку, которому удается визуализировать неуловимые явления российской политики, можно доверить и математические абстракции. Съемки проходили во Франции, Германии, США и ряде других стран. В качестве композитора фильма дебютировал Майк Шрёдер, симпатичный музыкант из хэви-металл группы. По его мнению, музыка и математика имеют много общего. Исполнительный продюсер Юрий Чинкель - профессор Нью-Йоркского университета. Наконец, сценарист, режиссер и продюсер - Екатерина Еременко - с отличием окончила математико-механический факультет МГУ, затем закончила отделение кинорежиссуры ВГИКа и школу документального кино «Дискавери Кампус Мастерскул» в Мюнхене (Германия). Екатерина является основательницей компании «EEFilms» («Ekaterina Eremenko Films», Берлин).

В отличие от научно-популярных фильмов о математике, нам рассказывают не столько о проблемах этой науки, сколько о людях, которые посвятили свою жизнь изучению математических проблем. В этом смысле, фильм "Чувственная математика" является философской рефлексией по поводу роли науки в жизни людей, связи науки и "мирской", повседневной жизни. Один из героев фильма, математик Жан Мишель Бисмут говорит, что ушел из университета и бросил математику на три года (после событий 1968 года), но простая жизнь оказалась невероятно скучной.

"Чувственная математика" - редкий фильм, поскольку в центре внимания не звезды, которые в каждом интервью выдают набор штампов, созданный их пиар-службами, а ученые-математики, лауреаты престижных премий. Они являются обладателями незаурядного интеллекта, их мышление само по себе может быть предметом для отдельного исследования. В одном из интервью Екатерина Еременко, автор фильма, рассказывает о лекциях известного математика, послушать которого съезжались люди со всего Советского Союза. Иногда сложно было понять о чем идет речь, настолько сложными были его лекции, но у всех присутствующих было ощущение, что они стали свидетелями чего-то очень важного, что никак нельзя пропустить. Во время просмотра фильма "Чувственная математика" рождается то же чувство. Проблема заполнения пространства одинаковыми геометрическими фигурами на время становится для тебя вопросом жизни и смерти.

Взято отсюда: vyz-flahertiana.ru/item/?id=285

P.S. очень давно хотел посмотреть этот фильм, буквально 20 минут назад обнаружил

@темы: Про самолеты, Новости

---

Задачи на досках

[wpoms.]

Задачи

Problem 1.2.1 Фигура справа симметрична. Окружности `O_1(r_1)`, `O_2(r_1)`, `O_4(r_3)`, `O_5(r_3)` и `O_6(r_3)` касаются хорды `AB` окружности `O(R)`, `O_1(r_1)`, `O_2(r_1)`, `O_3(r_2)`, `O_4(r_3)` и `O_6(r_3)` касаются `O(R)` внутренним образом. `O_1(r_1)`, `O_2(r_1)`, `O_3 (r_2)`, `O_4(r_3)`, `O_5(r_3)` и `O_6(r_3)` касаются друг друга, как это показано. `O_7(r_4)`, `O_8(r_5)` и `O_9(r_5)` касаются друг друга и касаются `O_1(r_1)`, `O_2(r_1)`, `O_3(r_2)` и `O_5(r_3)` внешним образом, как показано. Выразите `R` через `r_1`.
Problem 1.2.2 Дан прямоугольник `PQRS`. Окружности `O_1(r_1)`, `O_2(r_1)`, `O_3(r_2)`, `O_4(r_2)`, `O_5(r_3)`, `O_6(r_4)` и `O_7(r_4)` касаются `RS`. Окружности `O_1(r_1)`, `O_2(r_1)`, `O_8(r_5)`, `O_9(r_6)` и `O_10(r_6)` касаются `PQ`. `O_1(r_1)` касается `PS`, `O_2(r_1)` кусается `QR`. `O_i (i =1,2,3,...,10)` касаются друг друга, как показано. Выразите `r_2` через `r_3`.
Problem 1.2.3 `BD = a` - хорда окружности `O(R)`, `ABCD` - ромб, касающийся `O` в точках `A`, `B` и `D`. `EF` - хорда окружности `O(R)`,`G` - середина меньшей дуги `EF` и `H` - середина `EF`. `O_1(r)` и `O_2(r)` касаются друг друга, касаются внутренним образом `O(R)` и касаются `BC`, `CD` и `EF`. Выразите `GH = d` через `a` и `r`.
Problem 1.2.4 Окружность `O(r)` вписана в полуокружность,`BD` и `CE` - касательные к `O(r)`. Окружность `O_1(r_1)` вписана в треугольник `BCP`, окружность `O_2(r_2)` касается `BD`, `CE` и касается внутренним образом `O(r)`. Выразите `r_1` и `r_2` через `r`.
Problem 1.2.5 Фигура справа симметрична. Окружности `O_1(r_1)`, `O_2(r_2)`, `O_4(r_4)`, `O_5(r_5)`, `O_6(r_4)` и `O_7(r_5)` образуют цепочку и касаются внутренним образом `O(R)`. `O_3(r_3)` касается внешним образом `O_1(r_1)`, `O_2(r_2)`, `O_4(r_4)`, `O_6(r_4)`, как показано на рисунке. Центры окружностей `O_1(r_1)`, `O_2 (r_2)` и `O_3(r_3)` лежат на диаметре `O(R)`. Выразите `r_1` через `R`.
Problem 1.2.6 Фигура справа симметрична. Цепочка окружностей `O_1(x)`, `O_2(x)`, `O_3(r_2)`, `O_4(r_2)`, `O_5(r_2)` и `O_6(r_2)` касается большой окружности внутренним образом. Цепочка окружностей `O_1(x)`, `O_2 (x)`, `O_8(r_3)`, `O_9(r_3)`, `O_10(r_3)`, `O_11(r_3)`, `O_12(r_4)`, `O_13(r_4)`, `O_14(r_4)` и `O_15(r_4)` касается `O_7(r_1)` внешним образом, как показано на рисунке. Выразите `x` через `r_1`.
Problem 1.2.7 Дан равнобедренный треугольник `ABC`, в него вписана окружность `O_1(r_1)`, которая касается боковых сторон треугольника в точках `D` и `E`. Окружность `O_2(r_2)` вписана в треугольник `ADE`, окружность `O_3(r_3)` касается `O_1(r_1)` внешним образом и касается `O_2(r_2)` внутренним образом. Выразите `r_2` через `r_3`.

По материалам сайта http://wasan.jp.

В качестве введения: статья А. И. Щетникова и переводы на сайте shogi.ru.

Желающих помочь с переводом некоторого количества условий задач с японского языка прошу обращаться в u-mail.

P.S. Для лучшего отображения формул рекомендуется установить пользовательский скрипт. Подробности тут.

@темы: Планиметрия

---

Двойной интеграл

[Arcan]

Вычислить двойной интеграл: `int int (x^2 +y^2) dx*dy` на множестве `x^4 +y^4 <=1`

По т. Фубини получается неберущийся интеграл, вроде. Если решать через полярные координаты, то получается ужасная система, когла ищем границы `r` и `phi`

@темы: Кратные и криволинейные интегралы

---

Число и сумма натуральных делителей натурального числа

[Robot]

Число и сумма натуральных делителей натурального числа
Основная теорема арифметики. Всякое натуральное число п > 1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка следования сомножителей, в виде произведения простых чисел (можно считать, что любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, если считать , что это произведение может содержать всего лишь один множитель).
Среди простых сомножителей, присутствующих в разложении `n = p1*p2*...*pk`, могут быть и одинаковые. Например, `24=2*2*2*3`. Их можно объединить, воспользовавшись операцией возведения в степень. Кроме того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В результате получается разложение
`n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k)`, где `alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k in NN`
(1)
Такое представление числа называется каноническим разложением его на простые сомножители. Например, каноническое представление числа 2 520 имеет вид 2 520 = 2³ • З² • 5 • 7.
Из канонического разложения числа легко можно вывести следующую лемму: Если n имеет вид (1), то , то все делители этого числа имеют вид:
`d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k)`, где `0 <= beta_m <= alpha_m` ( `m = 1,2,..., k`)
(2)
В самом деле, очевидно, что всякое d вида (2) делит а. Обратно, пусть d делит а, тогда a=cd, где с — некоторое натуральное число и, следовательно, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не превышающими соответствующих показателей числа а.
Рассмотрим две функции, заданные на множестве натуральных чисел:
а) τ(n) - число всех натуральных делителей n;
2) σ(n) сумма всех натуральных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем формулы для числа и суммы его его натуральных делителей.
Теорема 1. Число натуральных делителей числа n
`tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`
(3)
Доказательство.
По лемме любой делитель имеет вид (2). При этом показатель β₁ может принимать значения 0,1,2,...α₁, то есть всего α₁+1 значение (это соответствует делителям вида 1, р₁, р₁²,...р₁^α₁)
Аналогично, показатель β₂ может принимать значения 0,1,2,...α₂, то есть всего α₂+1 значение (это соответствует делителям вида 1, р₂, р₂²,...р₂^α₂) и т.д. Показатель β_k может принимать значения 0,1,2,...α_k, то есть всего α_k+1 значение (это соответствует делителям вида 1, р_k, р_k²,...р_k^α_k).
Так как каждое из α₁+1 значений, которые может принимать число β₁, может сочетаться с любым из α₂+1
возможных значений числа β₂ и т. д., то мы видим, что общее число натуральных делителей числа n равно `tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);`

Пример. Число 2 520 = 2³ • З² • 5 • 7. имеет (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.
Теорема 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1). Тогда сумма натуральных делителей числа n равна
`sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
(4)
Доказательство.
Рассмотрим произведение
`(1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));`
(4')
Если раскрыть скобки, то получим сумму членов вида
`p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*....*p_k^(beta_k)`, где `0 <= beta_m <= alpha_m` ( `m = 1,2,...., k`)

Но такие члены являются делителями n, причем каждый делитель входит в сумму только один раз. Поэтому произведение (4') равно сумме всех делителей n, т. е. равно σ(n) . Итак, σ(n) можно вычислить по формуле (4). С другой стороны, каждая сумма 1+р_m+ р_m²+...+ р_m^α_m является суммой геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем р_m.Поэтому иначе формулу (4) можно переписать так:
(5)
Пример. Найти сумму всех делителей числа 90.
90=2 • З² • 5. Тогда σ(90)=[(2²-1)/(2-1)]• [З³-1)/(3-1)]• [(5²-1)/(5-1)]=234
Формула (4) может помочь найти все делители числа.Так, например, чтобы найти все делители числа 90, раскроем скобки в следующем произведении (не производя операцию сложения): (1+2)(1+3+З²)(1+5)=(1+1*3+1*З²+1*2+2*3+2*З²)(1+5) = 1+3+З²+2+2*3+2*З²+ 5+3*5+З²*5+2*5+2*3*5+2*З²*5 = 1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются делители числа 90.
Решим несколько задач на тему "Число и сумма натуральных делителей натурального числа"
Задание 1. Найдите натуральное число, зная, что оно имеет только два простых делителя, что число всех делителей равно 6, а сумма всех делителей — 28.

Решение

Решение. Так как искомое число n имеет только два простых делителя, то оно представимо в виде n= р₁^α₁•р₂^α₂ (где будем считать, что р₁ < р₂).
Так как число всех делителей этого числа равно 6, то по формуле (3) (α₁+1)•(α₂+1)=6. Учитывая, что каждый из сомножителей в левой части не меньше 2 (α₁,α₂≥1), а 6 представляется в виде произведения таких сомножителей единственным образом 6=2•3 с точностью до порядка следования множителей, то имеем два случая
1)
Так как сумма всех делителей равна 28, то (1+р₁)(1+ р₂+ р₂²)=28. 28 раскладывается в произведение двух множителей следующими способами: 28=1*28=2*14=4*7 (с точностью до порядка следования множителей)
Заметим, что 1 < р₁ < р₂, поэтому р₂ > 2, а значит, 1+р₁ >2, а 1+ р₂+ р₂² >7. Отсюда ни одно из разложений разложений числа 28 в произведение двух множителей нас не устраивает
2)
В данном случае (1+ р₁+ р₁²)(1+р₂)=28, при этом 1+ р₁+ р₁² > 3, 1+р₂ >3. Откуда 1+ р₁+ р₁²=4, 1+р₂=7 (эта система в натуральных числах решений не имеет) или 1+ р₁+ р₁²=7, 1+р₂=4, откуда р₁=2, р₂=3
Отсюда n=2² •3=12
Задания из сборника TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания
Задание 2. TTZ.С6.2 Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая единицу и само число).

Решение

Решение. Так как 42=2•3•7 , а искомые числа делятся на 42, то в число их простых делителей входят числа 2, 3 и 7, а значит вид этих чисел n= 2^α₁• 3^α₂•7^α₃•Q (Q- остальная часть канонического разложения числа n). Чтобы использовать формулу числа делителей (3) число 42 надо разложить в произведение не менее 3 множителей, больших 1. Однако с точностью до порядка следования этих множителей это можно сделать единственным способом: 42=2•3•7 Это означает, что Q=1 и n= 2^α₁• 3^α₂•7^α₃, а значит, (α₁+1)•(α₂+1)(α₃+1)=2•3•7
Отсюда имеем следующие случаи:

запись можно было сделать короче, если заметить, что речь идет о перестановке в показателях трех чисел 1,2 и 6
Задание 3. TTZ.С6.9 Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей(включая единицу и само число).

Решение

Решение. Так как последняя десятичная цифра числа равна 0 (то есть число делится на 10), то оно делится на 2 и на 5, то есть в число его простых делителей входит 2 и 5. А значит, n имеет вид n = 2^α₁• 5^α₂•Q (Q- остальная часть канонического разложения числа n). Чтобы использовать формулу (3) числа делителей число 15 надо разложить в произведение не менее 2 множителей, больших 1. Однако с точностью до порядка следования этих множителей это можно сделать единственным способом: 15=3•5. Поэтому Q=1 и n= 2^α₁• 5^α₂. (α₁+1)•(α₂+1)=3•5, откуда возможны всего два случая
1) α₁+1=3, α₂+1=5, откуда α₁=2, α₂=4 и n=2²• 5⁴=2500
2)α₁+1=5, α₂+1=3, откуда α₁=4, α₂=2 и n=2⁴• 5²=400
Задание 4. SPI.С6.9. У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найти n.
Решение  VEk:

Решение

Задания для самостоятельной работы
SR1. Найти все числа, имеющие ровно 2 простых делителя, всего 8 делителей, сумма которых равна 60.
SR2. Найти натуральные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют ровно 21 натуральный делитель.
SR3. Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
SR4. Найти наименьшее число, кратное 5, имеющее 18 натуральных делителей.
SR5. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR6. Некоторое натуральное число имеет два простых делителя. Его квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа?
SR7. Найти число вида m = 2^x3^y5^z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, треть —на 35 и пятая часть — на 42 делителя меньше, чем само число.

Топик поднят, поскольку по теме топика постоянно появляются вопросы.

запись создана: 11.11.2009 в 06:50

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

---

Сравнения

[iprovokator]

Подскажите есть ли какое то свойство чтобы сразу сказать чему равно сравнение `(29^23)-=` `(mod37)` Не понимаю как тут применить теорему Эйлера.

@темы: Теория чисел

---

Векторная алгебра

[4rrog]

Здравствуйте. Стыдно даже писать, т.к. задачи очень простые, но дело в том, что я чистокровный гуманитарий, и в школе математику нам давали мало и некачественно, так что в вузе мне пока не удаётся угнаться за материалом.
Теперь, после слёзной истории, перейдём к задачам. Надеюсь получить не столько решение, сколько объяснение, что, как и почему делать. inb4: векторы буду выделять подчеркиванием)
1)Для каких чисел L векторы La+Lb+c, La+b+Lc, a+Lb+Lc компланарны, если известно, что вектора a, b, c некомпланарные?
2)Составить уравнение прямой, проходящей через вершину А треугольника ABC перпендикулярно к медиане BM, если A(-1;3), B(0;2), C(5;1)
3) Составить уравнение биссекторных плоскостей для 2x-y-2z+1=0, 3x+4y-7=0

очень надеюсь на вашу помощь и прошу прощения за мою глупость

@темы: Векторная алгебра

---

Аналитическая групиировка.

[hanni_hilton]

Необходимо построить аналитическую группировку.
Тема: анализ численности персонала на предприятии.
Может у кого-то есть идеи какой признак можно взять факториальным, какой результативным?
Предприятие нужно брать одно, какое-либо.

И еще также мне надо построить структурную группировку.
Взяла "руководство предприятия", группировка по возрасту с равными интервалами, количество групп определяла по формуле Стерджесса.
Это адекватные признаки или нет?
Нужна помощь, куда еще можно обратиться даже не знаю(

@темы: Математическая статистика

---

Сумма делителей числа

[VEk]

Пишет student123 eek.diary.ru/p85182052.htm?from=last&discuss#fo...
помогите в такой задаче : найдите натуральное число,имеющее ровно два простых делителя,если сумма всех его делителей равна 28

@темы: Теория чисел

---

теория вероятностей.

[соль_по_вкусу]

Доброго времени суток!
Ума не приложу, как решить две задачки по терверу.

1. Пять белых и десять чёрных шаров случайным образом разложены в ряд. Найти вероятность того, что никакие два белых шара не окажутся лежащими рядом. Шары одного и того же цвета считать неразличимыми.

ПЭИ=15!
|A|=?
У нас 5 белых шаров, разложим их так, чтобы между ними сразу было по одному черному.
Чёрных остается 6, а дальше у нас есть 6 мест куда эти черные мы можем поместить (между белыми и по краям).
Это задача разложения мячей по корзинам. Можно так сделать?

2. Экзаменационные билеты содержат 40 вопросов(различных). В каждом экзаменационном билете 2 вопроса. Сколько вопросов может позволить себе не знать студент, чтобы надеяться сдать экзамен с вероятностью 0,98?

С этой задачкой хуже. Кажется, что надо решать по формуле Бернулли, потому что есть вероятность успеха и неудачи, но что брать за искомую вероятность? Можно ли так делать?

@темы: Теория вероятностей

---

Solver 13. 2.1 Неопределенный интеграл

[webmath]

Помощник по неопределенным интегралам
webmath.exponenta.ru/sc/_r81.html

@темы: Интегралы