[wpoms.]

Объявление о проведении олимпиады «Формула Единства»/ «Третье тысячелетие» в 2013/14 учебном году

Дорогие друзья! Мы рады сообщить о начале международной математической олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие». Олимпиада проводится для учеников 5–11 классов и состоит из двух туров. Первый (заочный) тур будет проходить с 1 по 21 октября 2013 года, его задания будут опубликованы на нашем сайте (formulo.org) 1 октября. Второй (очный) тур будет одновременно проведён во многих городах России и в других странах; ориентировочное время проведения — середина или конец января 2014 года. Данная олимпиада продолжит традиции сразу двух олимпиад. Одна из них — «Формула Единства» — была впервые проведена в 2012/2013 учебном году с участием около 1000 школьников из 50 субъектов РФ и 8 зарубежных стран. Другая — олимпиада «Третье тысячелетие» (см. matholimp.narod.ru) — проводится с 2000 года, продолжая традицию Соросовских олимпиад. По данным организаторов, в ней участвуют сотни тысяч школьников из России, Белоруссии и нескольких других стран. Участие в олимпиаде бесплатное. Первый тур олимпиады открыт для всех желающих, во втором смогут участвовать победители первого. Ученики 7–10 классов, показавшие высокие результаты во втором туре, будут приглашены на дистанционный кружок при СПбГУ; обучение в кружке включает в себя онлайн-занятия и выполнение домашних заданий. Успешные участники кружка получат возможность участвовать в международном летнем математическом лагере «Формула Единства» (см. formulo.org/ru/camp-2013/). И все без исключения участники олимпиады получат возможность подумать над интересными математическими задачами. Мы надеемся, что значительную часть работы по организации и проверке первого тура возьмут на себя педагоги «на местах» — учителя, классные руководители, преподаватели кружков (см. раздел «Педагогам и организаторам»). Индивидуальным участникам Если Вы учитесь в 5–11 классе, то Вы можете участвовать в нашей олимпиаде. Заранее сообщать об участии не обязательно — достаточно до 21 октября 2013 года включительно отправить Вашу работу электронной почтой. Будут приниматься как текстовые файлы (например, в формате txt, doc или pdf), так и сканы бумажных работ. В крайнем случае, можно прислать работу в бумажном виде по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр-т, д.28, математико-механический факультет СПбГУ, «Формула Единства». Задания, e-mail для отправки решений, а также подробные инструкции по оформлению работы появятся 1 октября на сайте formulo.org. Разрешается участие за более старшие классы (в частности, ученики 1–4 классов могут участвовать за 5 класс). Если Вы узнали об олимпиаде от Вашего педагога, то, скорее всего, работу следует сдать ему (в бумажном или электронном виде). Педагогам и организаторам Вы можете провести олимпиаду для учеников своего класса, школы или города. Мы будем благодарны Вам за вклад в общее дело — распространение математических знаний. В то же время хочется, чтобы школьники участвовали в олимпиаде добровольно и самостоятельно. После окончания олимпиады Вы сможете выслать нам работы в электронном виде (это могут быть файлы, набранные самими участниками, или сканы бумажных работ). Через некоторое время Вы получите от нас результаты проверки. Однако если у Вас есть возможность, Вы можете проверить работы самостоятельно. В таком случае Вам будут высланы верные решения и критерии оценивания. Это позволит Вам не сканировать и не присылать сами работы. В дальнейшем жюри попросит Вас прислать только некоторые работы (в основном с достаточно высокими баллами). Возможен промежуточный вариант: часть работ Вы проверяете сами, а часть присылаете нам. Организаторам следует прислать работы нам в электронном виде не позднее 22 октября. Если же Вы проверяете работы сами, то к этому же сроку Вы должны прислать списки участников; саму проверку нужно будет завершить к 10 ноября. При большом количестве работ можно договориться о переносе этого срока. Предварительно оповещать нас об участии не обязательно. Однако нам будет всё же удобнее, если Вы заранее свяжетесь с нами, прислав письмо на [email protected]. В письме укажите, пожалуйста: для кого Вы собираетесь проводить олимпиаду (город, школа, классы); ориентировочное количество участников (не страшно, если реальное количество окажется иным); готовы ли Вы проверить работы своими силами. Если Вы готовы координировать проведение и проверку олимпиады на уровне города или региона — обязательно свяжитесь с нами заранее (желательно до начала олимпиады). Иностранным участникам и организаторам При выборе параллели участники не из России могут ориентироваться на возраст: 5 класс примерно соответствует 2002 году рождения, 11 класс — 1996 году. Но если программа по математике сильно отличается от российской, то возможно участие за более младшую параллель (по специальной договорённости). 1 октября на сайте formulo.org появятся условия задач на русском и английском языках. Если Вы хотите перевести условия на другой язык для проведения олимпиады в своей стране — пожалуйста, свяжитесь с нами. В этом случае Вы должны также самостоятельно организовать проверку работ на этом языке. Информация об олимпиаде 2012-2013 учебного года (задания, решения, результаты) на сайте www.euler-foundation.org Комментарий В. П. Федотова ... В связи с планами признания нашей олимпиады на государственном уровне (в разных странах; в частности, конвертации наших дипломов в баллы ЕГЭ), мы вводим понятие сертифицированного участия. Чтобы получить диплом, дающий дополнительные права, участник должен будет успешно справиться с заданием первого тура и (не менее успешно) выполнить работу второго тура в заранее объявленном ближайшими локальными кураторами времени и месте. Кроме того, только в случае сертифицированного участия в олимпиаде возможно участие в последующих этапах проекта «Формула Единства» (дистанционном кружке при СПбГУ и в международном летнем математическом лагере «Формула Единства» - см. formulo.org/ru/camp-2013/ ). ... Страничка олимпиады www.formulo.org/ru/olimpiada/ Условия 1 тура www.formulo.org/media/cms_page_media/27/1_tour_... Информация для педагогов, проводящих олимпиаду www.formulo.org/ru/informaciya-dlya-pedagogov-p...

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

---

:(

[Googlur]

День добрый, не могу додуматься до решения, ибо пионер в аналитической геометрии. Кто может, помогите с решением, желательно подробнее, чтобы понять суть. Дана вершина треугольника А(1; -2) и уравнения двух высот этого треугольника ВЕ=2х+у-15=0 и СF=2х-у-13=0. найти координаты вершин треугольника, уравнения и длины сторон, уравнения высот, медиан, бисектрис. Буду очень признателен.

@темы: Аналитическая геометрия

---

[wpoms.]

Турнир Городов — меж­ду­народ­ная олим­пи­ада по ма­тема­тике для школь­ни­ков. Задания расс­чи­таны на учащихся 8−11 классов. Осо­бен­ность Турнира городов в том, что он ори­ен­ти­ру­ет участ­ни­ков не на спор­тивный успех, а на уг­лублён­ную работу над задачей, т. е. раз­ви­ва­ет качества, не­об­хо­димые в исс­ле­дова­тель­ской работе. Турнир про­водит­ся ежегодно с 1980 года, а с 1989 года про­водят­ся 2 тура — осенний и весенний, каждый из которых состоит из двух ва­ри­ан­тов — базового и сложного. Сложный вариант олим­пи­ады со­пос­та­вим по труд­ности со Все­рос­сий­ской и Меж­ду­народ­ной ма­тема­тичес­кой олим­пи­адой, базовый — нес­коль­ко проще. Участие в каком-либо туре и варианте не зависит от участия в другом. Каждый вариант про­водит­ся отдельно для младших (8−9 классы) и для старших (10−11 классы). Любой школьник (любого класса) может участ­во­вать в Турнире для своего класса или старше. В Москве про­водит­ся только осенний тур, а к ве­сен­не­му туру при­рав­ни­ва­ет­ся Мос­ковс­кая ма­тема­тичес­кая олим­пи­ада. С ней сов­па­да­ет по времени и частично по задачам сложный вариант ве­сен­не­го тура в других городах. Турнир про­водит­ся силами местных орг­ко­мите­тов более чем в 100 городах более 25 го­сударств Европы, Азии, Южной и Северной Америки, Авс­тра­лии и Новой Зеландии. Принять участие в Турнире может любой на­селён­ный пункт. В каждом варианте каждого тура зас­чи­тыва­ют­ся три лучших ре­зуль­та­та по задачам. Участ­ни­ки, по­казав­шие в одном из ва­ри­ан­тов какого-либо тура дос­та­точ­но высокий ре­зуль­тат, получают диплом по­беди­теля Турнира городов. Местные орг­ко­мите­ты имеют право наг­раждать премиями за меньшие ре­зуль­та­ты. Фи­наль­ный устный тур про­водит­ся только для 11-класс­ни­ков из России и других стран СНГ, по­лучив­ших диплом по­беди­теля в 10 классе (осенью или весной) или на осеннем туре в 11 классе. Кроме того, на устный тур приг­ла­ша­ют­ся 11-класс­ни­ки, по­лучив­шие в 11 или 10 классе I или II премию Мос­ковс­кой ма­тема­тичес­кой олим­пи­ады. Льготы для пос­тупле­ния в про­филь­ные вузы пре­дос­тавля­ют­ся по­беди­телям и призёрам устного тура (нес­коль­ко десятков человек ежегодно). Отметим, что су­щест­ву­ют более массовые олим­пи­ады (например, Турнир Ло­моно­сова, Объ­еди­нён­ная меж­ву­зовс­кая ма­тема­тичес­кая олим­пи­ада), по­беди­тели и призёры которых получают льготы при пос­тупле­нии во многие вузы физико-ма­тема­тичес­ко­го или тех­ни­чес­ко­го профиля. Авторы лучших работ в 9−10 классах приг­ла­ша­ют­ся на Летнюю ма­тема­тичес­кую кон­фе­рен­цию Турнира городов. Неп­ре­мен­ным её участ­ни­ком является самовар, ставший по этой причине символом Меж­ду­народ­но­го ма­тема­тичес­ко­го Турнира городов. Основной движущей силой Турнира Городов является эн­ту­зи­азм ма­тема­тиков, сту­ден­тов, учителей. Всем им огромное спасибо! Участие в Турнире бе­зус­ловно бесп­лат­но для школь­ни­ков. Местные орг­ко­мите­ты по воз­можнос­ти пе­речис­ля­ют доб­ро­воль­ные взносы. По инициативе президента Турнира городов Н. Н. Константинова и при его участии с целью проведения Турнира и решения связанных с этим организационных и иных вопросов, создан Центр математических олимпиад «Турнир городов» во главе с C.И.Комаровым.

Сроки проведения Турнира Городов в 2013/2014 учебном году

осенний/базовый 13 октября 2013 г.
осенний/сложный 27 октября 2013 г.

В комментариях приведены задания турнира 2012/2013 г. Решения большинства задач опубликованы на www.problems.ru. Там же можно уточнить авторство задач весеннего тура.

@темы: Олимпиадные задачи, Новости

---

Предел

[Funduck]

Lim (1-x)/log2 x
x стремится к 1
Получается 0/0...

@темы: Пределы

---

Олимпиадные задания.

[Scoun]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как решаются второй и третий номера?
(№2) При каких значениях параметра `b` прямая `y = (b^2 + 2b - 2)*x + b` пересекает прямоугольник `{(0 <= x <= 3), (0 <= y <= 2):}` ? Найти длину отрезка прямой, лежащего внутри прямоугольника при `b = 1`.
(№3) Решить систему уравнений:
`{(x^6 + 2y^6 + 3z^6 = 1), (x^4 + 2y^4 + 3z^4 = 1):}`

Единственная мысль - перенести z в правую часть и вычесть из первого второе уравнение. Но так получилось бы, только не будь четвертой степени. Или стоит просто поочередно приравнивать члены уравнения единице?

@темы: Системы НЕлинейных уравнений, Олимпиадные задачи

---

помогите пожалуйста решить предел.

[tas-hka]

(ln(1-7x))/(sin(Pi(x+7))) при х0

@темы: Пределы

---

Задача по теории вероятностей

[natalk20]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей:
В США 52 штата, от каждого 2 сенатора. Наугад выбирают 52 человека. С какой вероятностью:
а)данный штат представлен
б) представлены все штаты

Мое решение пункта а):

P= (C_2^1∙C_102^51)/(C_104^52 )=52/103. Правильно ли это?

А вот с пунктом б) я что-то застряла.

@темы: Теория вероятностей

---

Школьники! Ау! (возвращается)

[wpoms.]

Назовём число сбалансированным, если одна из цифр является средним арифметическим других. Сколько существует сбалансированных трёхзначных чисел?

@темы: Комбинаторика

---

Помогите пожалуйста срочнО!)!)

[nebooo]

Заданы координаты вершин треугольника. Построить заданные треугольники, определить уравнение высоты АК, медианы ВС, значение угла С.

А(3:1) В(5;4) С(2:3)

@темы: Аналитическая геометрия

---

НОД, Теория чисел

[iprovokator]

Для каждого целого a вычислить НОД `(3a+5,a-2)`. Подскажите здесь пользоваться алгорифмом Евклида или какие-то другие методы?

@темы: Теория чисел

---

[can not forget]

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. AB=18, BC=15, AC=22, BD -биссектриса угла B. Найти CD.

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

---

Десятичная запись числа

[wpoms.]

Действительное число `x` (`0 < x < 1`) имеет десятичное представление `0.a_1a_2a_3a_4...` с таким свойством: количество различных блоков вида `a_ka_{k+1}a_{k+2}...a_{k+2003}` (для всех натуральных `k`) меньше или равно `2004`. Докажите, что `x` является рациональным числом.

@темы: Математический анализ, Теория чисел

---

[hanni_hilton]

Добрый вечер, может кто знает и подскажет верно ли я рассчитала объемы работ в последних заданиях.

@темы: Математическая статистика

---

[Amicus Plato]

О Мовтерпий, дражайший Мовтерпий, как мала есть наша жизнь! Цвет сей, сегодня блистающий, едва только успел расцвесть, завтра увядает. Все проходит, все проходит строгою необходимостию неизбежимыя судьбины, и все уносится. Твои добродетели, твои великие таланты не могут дня одного получить отсрочки от времени. Стихотворное послание прусского короля Фридриха II Великого — Мопертюи (написанное — как и все стихотворения Фридриха — на французском языке). С немецкого перевода их перевёл на русский язык прозой молодой Г. Р. Державин — в составе знаменитых «Од, сочинённых при горе Читалагае». Под пером Державина, не знавшего французского языка и не так разобравшего имя, Мопертюи превратился в «Мовтерпия». (с) Википедия

Сегодня исполняется 315 лет со дня рождения Пьера Луи Моро де Мопертюи.
Из университетского курса я помню, к сожалению, только название принципа наименьшего действия Мопертюи— Лагранжа. Но оказалось, это выдающаяся личность! С выдающейся биографией в придачу.

Википедия
Пьер Луи Моро де Мопертюи (фр. Pierre-Louis Moreau de Maupertuis; 17 июля 1698, Сен-Мало, Франция — 27 июля 1759, Базель, Швейцария) — французский математик, естествоиспытатель, механик, астроном, физик и геодезист, член-пенсионер Парижской академии наук (1731; адъюнкт с 1723 г.), член Французской академии (1743). Член Лондонского Королевского общества (1728), Берлинской академии наук (1742), почётный член Петербургской АН (1738).

Кстати, заметьте, как прекрасно. Не срастается что-то у Мопертюи с Россией. Державин переврал его имя, а Википедия дату рождения)) В французской версии Википедии он таки-да родился 28 сентября. Правда, в нашей Википедии всё-таки приведена сноска: «В некоторых источниках приводится другая дата рождения: 28 сентября 1698 года.» (прим. А.Р.).

Биография
Родился в местечке Сен-Жуан-де-Гере близ города Сен-Мало; получив блестящее домашнее образование, первоначально избрал себе военную карьеру. В 1718 году он был зачислен в мушкетёры и служил в кавалерии (сначала в звании лейтенанта, позже — капитана). Однако природные наклонности к точным наукам побудили его в 1722 году выйти в отставку и поселиться в Париже, наслаждаясь интеллектуальной жизнью парижских кафе и продолжая при этом усиленно заниматься математикой. Начиная с 1724 года Мопертюи публикует ряд научных работ; в первой из них — «О форме музыкальных инструментов» («Sur la forme des instruments de musique») — исследуется влияние формы инструмента на характеристики извлекаемых из него звуков, а затем молодой учёный занимается задачами на максимумы и минимумы, изучает свойства циклоиды и других плоских кривых.

Побывав в 1728 году в Англии (где он был избран членом Лондонского Королевского общества) и изучив в Базеле (1729—1730 гг.) под руководством Иоганна Бернулли труды Лейбница и Ньютона, Мопертюи вернулся во Францию приверженцем и распространителем идей Ньютона, тогда ещё мало известных в континентальной Европе. В 1731 году Мопертюи был избран членом Парижской академии наук и затем назначен главой геодезической экспедиции, посланной в Лапландию для измерения длины земного меридиана (1736—1737 гг.).

Результаты экспедиции стали убедительным опровержением гипотезы Кассини (династия французских астрономов) о вытянутости земного эллипсоида и принесли Мопертюи всеевропейскую известность. Отражена была лапландская экспедиция и в философско-фантастическом романе Вольтера «Микромегас», в котором житель Сириуса Микромегас беседует с участниками этой экспедиции. Вольтер в это время очень высоко ставил Мопертюи, прославляя его деятельность в стихах и прозе, составил надпись для его портрета и в письменных обращениях к учёному называл его «mon cher applatisseur des mondes et des Cassinis» ‘мой дорогой, приплюснувший миры и Кассини’.

По приглашению короля Фридриха II Мопертюи в 1740 году переселился в Пруссию; после начала первой Силезской войны Мопертюи, вспомнив свои кавалерийские навыки, сопровождал короля во время похода в Силезию и в битве при Мольвице (1741) попал в плен к австрийцам, но вскоре был освобождён по указанию Марии Терезии и вернулся в Берлин. После двухлетнего пребывания (1742—1744 гг.) во Франции (где 27 июня 1743 года он был избран членом Парижской академии наук) Мопертюи осенью 1744 г. возвратился в Берлин и в 1745—1753 годах был президентом Физико-математического класса Берлинской академии наук.

Однако развернувшаяся вокруг предложенного Мопертюи принципа наименьшего действия полемика (см. далее) и в особенности написанная Вольтером (выступившим на стороне Кёнига) остроумная «Диатриба доктора Акакия, папского лекаря» (Diatribe du Docteur Akakia, médecin du pape, 1752), имевшая среди просвещённой публики колоссальный успех, нанесли серьёзнейший удар по репутации учёного (против него, писал Вольтер, ополчилась вся литературная Европа — кроме Эйлера и Мериана). В результате Мопертюи пришлось в 1756 году уехать из Берлина в Париж, где он в основном и провёл свои последние годы.

Умер Мопертюи в Базеле в присутствии двух монахов-капуцинов; перед смертью он признал, что христианство «ведёт человека к величайшему благу при помощи величайших возможных средств».

Помимо уже упоминавшихся произведений Вольтера, к Мопертюи обращены два стихотворных послания прусского короля Фридриха II Великого (написанные — как и все стихотворения Фридриха — на французском языке). С немецкого перевода их перевёл на русский язык прозой молодой Г. Р. Державин — в составе знаменитых «Од, сочинённых при горе Читалагае». Под пером Державина, не знавшего французского языка и не так разобравшего имя, Мопертюи превратился в «Мовтерпия».

В честь Мопертюи названы кратер на Луне (Кратер Мопертюи) и астероид 3281 Мопертюи, открытый в 1938 г. финским астрономом И. Вяйсяля.

Портрет семейства Моро де Мопертюи. Картина Р. Турньера

Научная деятельность
Работы Мопертюи посвящены механике, математическому анализу и геометрии, а также геодезии, астрономии и биологии. Полное собрание сочинений Мопертюи было издано в Лионе в 1768 году.

Экспедиция в Лапландию
В 1730-е гг. обострился спор об истинной форме Земли. В теоретических работах Гюйгенса и Ньютона утверждалось, что она имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения. В то же время основатель династии французских астрономов Джованни Доменико Кассини держался мнения, что Земля представляет собой вытянутый эллипсоид вращения; это же мнение разделяли его сын Жак и внук Франсуа, при которых во Франции начали производить точные геодезические измерения. Чтобы решить этот спор, Французская академия наук в 1735—1736 гг. снарядила две экспедиции — одну (под руководством Мопертюи и Клеро) в Лапландию, а другую (под начальством Буге и Ла-Кондамина) — в Перу, в район Mitad del Mundo (на территории современного Эквадора). Целью обеих экспедиций было измерение — с достаточной степенью точности — длины градуса земного меридиана, что и позволило бы выяснить, какая именно гипотеза верна.

Результаты обоих градусных измерений показали, что Земля представляет сплюснутый эллипсоид вращения; таким образом, победа оказалась на стороне ньютонианцев, к которым принадлежал и Мопертюи. Мопертюи изложил научные результаты, полученные в лапландской экспедиции, в работах «О фигуре Земли» («Sur la Figure de la Terre») и «Отчёт о путешествии по приказу короля к Полярному кругу» («Relation du voyage fait par ordre du Roi au cercle polaire») (1738); кроме этого, он написал несколько учебных книг по астрономии.

Мнение Гюйгенса — Ньютона

Мнение Кассини

ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ — ЭЙЛЕРА
Мемуар 1744 года
Наиболее известным научным вкладом Мопертюи стал предложенный им принцип наименьшего действия. Впервые он был сформулирован (правда, в нечёткой форме и без доказательства) в мемуаре «Согласование различных законов природы, которые до сих пор казались несовместимыми» («Accord de différentes loix de la Nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles»), доложенном Мопертюи в Парижской академии наук в 1744 году. В данном мемуаре Мопертюи — отталкиваясь от более ранних своих исследований, касавшихся условий равновесия твёрдых тел и изложенных в статье «Закон покоя тел» («La loi du repos des corps») — вводит понятие «действия» (полагая его мерой сумму произведений масс на их скорости и на элементы пути) и формулирует свой принцип, согласно которому истинная траектория частицы отличается от любой другой тем, что действие для неё является минимальным.

Данный принцип Мопертюи применяет в своём мемуаре к явлениям распространения, отражения и преломления света. При этом он, неточно воспроизводя мысли П. Ферма о распространении света, критикует тезис о том, что свет движется так, чтобы затратить при своём прохождении наименьшее время. Мопертюи говорит: «Свет при пересечении различных сред не идёт ни более коротким путём, ни путём более короткого времени... он выбирает путь, имеющий более реальное преимущество: путь, которого он придерживается, является путём, для которого количество действия будет наименьшим». Попутно Мопертюи критикует также и «принцип наиболее лёгкого пути» Г. В. Лейбница.
Мопертюи доказывает, что если свет распространяется из точки A одной среды в точку B другой так, что на его пути действие минимально, то преломление на границе раздела двух сред происходит по закону Декарта, причём бо́льшая скорость соответствует более преломляющей среде. Он показал также, что при прямолинейном распространении и при отражении свет также подчиняется принципу наименьшего действия. Касаясь иных применений выдвинутого им принципа, Мопертюи отмечает, что «произведение протяжённости на скорость» (речь в данном месте идёт об одной частице, а потому Мопертюи массу не упоминает) не только «в движении лучей, но и во всех движениях и во всех действиях Природы на самом деле является наивозможно малым, и именно в этом состоит принцип наименьшего действия»
(Далее в Википедии есть раздел про вклад Эйлера. Но я всё-таки помню этот принцип, как принцип Мопертюи — Лагранжа )
Но это еще не всё!

Мемуар 1746 года
Мопертюи вернулся к принципу наименьшего принуждения в 1746 году в работе «Законы движения и покоя, выведенные из Метафизического принципа» («Les loix de mouvement et du repos déduites d’un Principe Métaphysique»). В ней он пришёл к выводу, что это — «универсальный принцип, на котором основываются все законы», и именно от него «зависят Движение и Покой всех телесных сущностей». Этому «общему принципу» Мопертюи даёт следующую формулировку: «Когда в природе происходит некоторое изменение, Количество Действия, необходимое для этого изменения, является наименьшим возможным». При этом он уточняет: «Количество Действия есть произведение Массы Тел на их скорость и на расстояние, которое они пробегают».

Универсальность принципа наименьшего действия Мопертюи обосновывал достаточно туманными рассуждениями метафизического характера с помощью телеологических и теологических аргументов (вызвавшими в последовавшей затем дискуссии о принципе Мопертюи резкие возражения со стороны современников). В качестве приложений своего принципа Мопертюи на этот раз представил вывод известных законов соударений тел и закона равновесия рычага. Как позднее писал Лагранж, «указанные применения носят слишком специальный характер, чтобы на них можно было построить доказательство общего принципа». К тому же, отмечает К. Ланцош, применение вариационных методов к задаче об упругих столкновениях требует (из-за имеющейся в ней определённых тонкостей) большого искусства; Мопертюи же получил правильный результат при совершенно неверном решении.

Более того, Мопертюи извлекает из принципа наименьшего действия новое доказательство существования Бога, восклицая по поводу выводимых из этого принципа «законов Движения и Покоя»: «Какое удовольствие для человеческого ума, рассматривая эти законы, являющиеся принципом Движения и Покоя всех Тел Вселенной, найти в них доказательство существования Того, кто ею управляет!». Эти законы, пишет Мопертюи, наилучшим образом доказывают «совершенство Верховного Существа: все предметы упорядочены так, что слепая и необходимая Математика выполняет то, что предписал более ясный и более свободный Разум».

Полемика вокруг принципа
Попытка Мопертюи использовать для обоснования принципа наименьшего действия телеологические и теологические аргументы, отсутствие внятного указания на условия его применимости вызвали дискуссию, в которой с критикой результатов Мопертюи выступили многие крупные европейские учёные: механики, математики, философы и публицисты. В полемике в основном на первый план выходили не столько физические, сколько метафизические вопросы (касавшиеся представления о конечных причинах и доказательства существования Бога, предложенного Мопертюи).

Начата дискуссия была П. Дарси, который в 1749 году выступил с критической статьёй «Размышления о принципе наименьшего действия г. Мопертюи». В ней Дарси показывал — на примере задачи о соударении двух упругих тел, которые после столкновения оказываются в состоянии покоя, — что принцип Мопертюи может приводить к неверным результатам. Нападая на метафизическое обоснование принципа, Дарси указывал, что вообще-то легко найти некоторую функцию скоростей и масс, предположение о минимальности которой давало бы верные законы движения тел, но заключение о существовании «Верховного Существа» из этого вовсе не следует. Постепенно к дискуссии в качестве подключились такие учёные, как Г. Куртиврон, Ж. Л. Даламбер, Х. Вольф и другие. Даламбер, в частности, писал, что опирающиеся на принцип наименьшего действия попытки обосновать науку, исходя из принципа конечных причин (т. е. из целей, которые ставит себе «творец мира»), «производят впечатление чахлого дерева».

Новый поворот дискуссии придал в 1751 г. И. С. Кёниг, который поставил под сомнение приоритет Мопертюи в формулировке принципа наименьшего действия, утверждая, что ещё Г. В. Лейбниц выдвинул те же самые идеи в частном письме, направленном в 1707 году базельскому математику Якобу Герману. Отрывок из данного письма Кёниг опубликовал в журнале «Acta Eruditorum» (само письмо при этом никогда не предъявлялось, а в опубликованном отрывке, хотя и вводится понятие «действия», чётких указаний на принцип наименьшего действия не содержится).

На защиту приоритета Мопертюи решительным образом стал Л. Эйлер; понимая, несомненно, слабость аргументации Мопертюи, он воздержался не только от какой бы то ни было критики, но даже от упоминания о своих собственных результатах в данной области, употребив весь свой авторитет на то, чтобы добиться признания Мопертюи автором принципа наименьшего действия. Тем не менее приоритет в дискуссии был явно на стороне противников Мопертюи; особенно сильный удар по авторитету учёного был нанесён в уже упоминавшейся «Диатрибе доктора Акакия» Вольтера. Вольтер, издеваясь над телеологией Мопертюи (которая, по мнению Вольтера, сводилась к банальному утверждению, что Бог существует), ехидно заметил, что целесообразность устройства мира особенно проявилась в том, что Бог послал Мопертюи Эйлера, который и дал принципу осмысленное математическое выражение (в то время как сам Мопертюи «ничего не смог понять»).

Работы по биологии
В 1745 году в Голландии Мопертюи издал книгу «Научная Венера, или Рассуждения о начале людей и животных» («Vénus physique, ou Une dissertation sur l’origine des hommes, et des animaux»). В ней он предстаёт как один из наиболее передовых мыслителей своего времени, решительно выступивший против преформизма. Описывая бесчисленные «частицы», которые плавают в женской и мужской «жидкостях», смешиваются при оплодотворении и образуют в результате эмбрион, Мопертюи показывает, что новый организм наследует признаки каждого из родителей. В качестве примера, подтверждающего данную точку зрения, Мопертюи анализирует генеалогию берлинской семьи, у многих членов которой проявлялась полидактилия.

В этой книге Мопертюи также использовал термин «доминирование», которым в генетике и поныне обозначают подавление одного наследственного признака другим; в частности, признак тёмной окраски доминирует над признаком светлой окраски (Мопертюи отмечал данный факт, рассматривая явление альбинизма у негров). Появление нового признака он рассматривал как спонтанное явление, предвосхищая понятие о «мутациях».

Обсуждая происхождение человеческих рас, Мопертюи писал (обнаруживая взгляды, созвучные позднейшему эволюционизму): «И гиганты, и карлики, и негры, будучи рождены среди других людей, должны были подвергаться невзгодам ввиду высокомерия или страха основной части рода человеческого, и эта часть вытеснила подобные изменённые расы в те места Земли, где климат менее пригоден для обитания. Карлики были оттеснены в полярные области, гиганты окажутся живущими в Магеллановых землях, негры будут народами жаркой зоны».

@темы: История математики, Люди

---

Помогите определить порядки малости функций относительно x, при х -> 0.

[Polinariaaa]

1) (x+ x^1/2)^1/2

lim {x->0} ((x+x^0.5)^0.5 )/ x^n

2) x^2/3 +x^3/2

lim {x->0} (x^2/3 +x^3/2)/ x^n

Как я понимаю, надо посчитать указанные пределы, подобрав n такое, что значение предела не ноль и не бесконечность. (Правильно же?)
Причем решить надо без правила Лопиталя. У самой ничего не получается. Пробовала делить числитель и знаменатель на наибольшую степень x.

@темы: Математический анализ

---

Вычисление мат. ожидания и дисперсии

[бабье_лето]

Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орел. Случайная величина Х -- число бросков. Построить закон распределения Х и найти матожидание и дисперсию, если это возможно.
Закон распределения у меня такой: x=1 с вероятностью 0,5, х=2 с вероятностью 0,25, х=3 с вероятностью 0,125 и т.д.
Мат. ожидание у меня -- ряд, сумму которого я не знаю, как вычислить. В ответе 2.
Почему дисперсия не существует?

@темы: Теория вероятностей, Математическая статистика

---

Неравенства

[wpoms.]

(a) Даны действительные числа `a`, `b`, `c` (`a + b + c = 0`). Докажите, что `a^3+ b^3 + c^3 > 0` тогда и только тогда, когда `a^5 + b^5 + c^5 > 0`. (b) Даны действительные числа `a`, `b`, `c`, `d` (`a + b + c + d = 0`). Докажите, что `a^3 + b^3 + c^3 + d^3 > 0` тогда и только тогда, когда `a^5 + b^5 + c^5 + d^5 > 0`.

@темы: Доказательство неравенств

---

Задачи по логике высказываний

[im-sinne]

Есть задание, доказать что (P => Q) <=> (-Q => -P), а также (-P => Q) <=> (-P and Q)

Этот раздел математики мне раньше не преподавали и понимается сейчас тяжеловато. Посмотрите плз мое решение первого утверждения и если неправильно (и катит ли вообще такое за доказательство?), то подскажите как правильно, и как правильно записывать. На лекции дали только основы без доказательств, и пошли дальше в теорию множеств. По второму - не догоняю как таблицу истинности для (-Р and Q) составить.



На картинке я пишу на немецком, W - истина, F - ложь

@темы: Математическая логика

---

Помогите провести замену в интеграле

[kota1921]

Добрый день. Я беру интеграл `int dx/(x*(x^{6}+1)^{1/6})` по теореме Чебышева,
которая говорит что можно провести замену `1+x^-6=t^6` я выражаю x и получаю
`x = 1/(t^6-1)^{1/6}` беру производную и
`dx = - t^5/(t^6-1)^{7/6}` сколько не пытался не могу провести замену, возможно я где то допустил ошибку, но не могу найти её.

@темы: Математический анализ

---

Пределы

[Funduck]

Найти пределы:
А) `lim_(x -> 0) (cos5x-cos3x)/(tgx) `
Я так понимаю, что решать нужно с помощью первого замечательного предела, но никак не получается
Б) `lim_(x -> 0) (e^(2x)+e^x)/(sin3x-sin5x)`
Тут, наверное, и первый и второй...
Надеюсь на помощь, заранее спасибо

@темы: Математический анализ, Пределы