Клетчатую доску размера $2022 \times 2022$ разрезали на фигуры двух видов: L-тетрамино и Z-тетрамино. Каждое тетрамино состоит из четырёх единичных квадратов, тетрамино можно поворачивать и переворачивать. Определите, какое наименьшее количество Z-тетрамино могло получиться. |  |
Внутри треугольника $ABC$ расположены три непересекающихся круга радиуса 1. (Круги могут касаться друг друга и сторон треугольника, но не могут иметь общих внутренних точек.) Найдите наибольшее значение $r,$ при котором можно гарантированно утверждать, что внутри треугольника возможно нарисовать четвёртый круг радиуса $r,$ не пересекающийся с уже нарисованными тремя кругами. | |
Дана клетчатая доска размера $3 \times 2021,$ все клетки которой покрашены в белый цвет. Два игрока по очереди перекрашивают в чёрный цвет две не обязательно соседние белые клетки, расположенные либо в одной строке, либо в одном столбце. Игрок, который не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш вне зависимости от игры соперника? | |
Внутри квадрата $ABCD$ отметили точку $P,$ а на его сторонах $AB,$ $BC,$ $CD$ и $DA$ отметили точки $K,$ $L,$ $M$ и $N$ соответственно. Прямые $KP,$ $LP,$ $MP$ и $NP$ пересекают стороны $CD,$ $DA,$ $AB$ и $BC$ в точках $K_1,$ $L_1,$ $M_1$ и $N_1$ соответственно. Оказалось, что \[ \frac {KP}{PK_1} + \frac {LP}{PL_1} + \frac {MP}{PM_1} + \frac {NP}{PN_1} = 4. \] Докажите, что $KP + LP + MP + NP = K_1P + L_1P + M_1P + N_1P.$ | |
Целые числа $a,$ $b$ и $c$ удовлетворяют равенству $a + b + c = 0.$ Обозначим $S = ab+bc+ca,$ $A = a^2 +a+ 1,$ $B = b^2 +b+ 1$ и $C = c^2 +c+ 1.$ Докажите, что число $(S+A)(S+B)(S+C)$ является квадратом целого числа. | |
На доске записано натуральное число. Пете разрешено заменять имеющееся на доске число на сумму квадратов его цифр. Число назовем интересным, если из него за конечное число таких операций Петя не сможет получить единицу. Докажите, что существует бесконечно много интересных натуральных чисел. | |
Дан остроугольный треугольник $ABC.$ Окружность с диаметром $AB$ пересекает высоту $CC'$ и её продолжение в точках $M$ и $N$, окружность с диаметром $AC$ пересекает высоту $BB'$ и её продолжение в точках $P$ и $Q.$ Докажите, что точки $M, N, P, Q$ лежат на одной окружности. |  |
Найдите с обоснованием количество положительных целых чисел таких, что их представление в системе счисления с основанием $n$ состоит из различных цифр и все цифры, за исключением самой левой, отличаются на $\pm 1$ от некоторой цифры, стоящей слева от неё. (Ответ должен быть представлен в виде зависящей от $n$ функции.) | |
Пусть ожерелье $A$ состоит из 14 бусин, а ожерелье $B$ из 19. Докажите, что для любого нечетного числа $n \geq 1$ можно пронумеровать каждую из 33 бусин так, чтобы по одному разу были использованы все числа $\{ n, n+1, n+2, \ldots, n+32 \}$ и соседние бусины были пронумерованы взаимно простыми числами. (Здесь ожерелье рассматривается как окружность, на которой каждая бусина имеет двух соседей.) | |
Последовательность функций $\{f_n(x)\}$ определяется следующим образом: $f_1(x) = \sqrt {x^2 + 48},$ и $f_{n + 1}(x) = \sqrt {x^2 + 6f_n(x)}$ для $n \geq 1.$ (Отметим, что $\sqrt {{}}$ обозначает арифметический корень.) Найдите для всех положительных целых чисел $n$ все действительные решения уравнения $f_n(x) = 2x.$ | |
Олимпиада в Белоруссии проводится в 4 этапа - школьный, районный, областной, республиканский. Ежегодно Белорусская ассоциация "Конкурс" издает сборник с условиями и решениями задач. | |
В некотором государстве начали производство регистрационных знаков, состоящих из шести цифр (от 0 до 9). Государство требует, чтобы любые два знака отличались по крайней мере в двух позициях. (Так может использоваться только один из знаков ${027592}$ и ${020592}$.) Определите с обоснованием наибольшее количество регистрационных знаков, которые могут использоваться в этом государстве. | |
