[Холщовый мешок]

Олег Александрович Иванов (1951-2019), заведующий кафедрой общей математики и информатики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор.

Замечательный математик и преподаватель, он внес неоценимый вклад в дело математического просвещения. Большую часть своей жизни он посвятил обучению математике и осмыслению того, как надо математике учить.

На данном сайте размещены материалы (статьи, книги, варианты олимпиад и экзаменов), написанные и разработанные Олегом Александровичем в разные годы его долгой научной и педагогической работы, которые, надеемся, будут полезны ученикам, учителям, исследователям и всем, кто интересуется математикой.

Материалы сайта будут дополняться.

www.oaivanov.ru

---

Докажите

[wpoms.]

Даны действительные числа $a_0,\cdots a_n,$ принадлежащие интервалу $\left(0,\frac {\pi}{2}\right).$ Пусть $\tan{\left(a_0 - \frac {\pi}{4}\right)} + \tan{\left(a_1 - \frac {\pi}{4}\right)} + \cdots + \tan{\left(a_n - \frac {\pi}{4}\right)}\ge n - 1$ Докажите, что $\tan{\left(a_0\right)}\tan{\left(a_1\right)}\cdots \tan{\left(a_n\right)}\ge n^{n + 1}.$

@темы: Доказательство неравенств

---

[Leska|Nastya]

Доброе утро!
Вопреки новому празднику, я продолжаю праздновать день математика 1 апреля)
Всех с праздником!

В прошлом году я выкладывала свой квиз-викторину и её прошло 50 человек!
Никогда я еще так не была популярна в интернете

В этом году снова предлагаю вам пройти новый квиз-викторину.

Для уточнения:
Я делаю квизы для своих учеников, чтобы они что-то узнали интересное из истории математики, которую в школе практически не преподают.
Поэтому стараюсь брать такие темы, которые будут легко понятны школьникам.
Буду рада вашим замечаниям и идеям)

@темы: Юмор, Ссылки

---

[Холщовый мешок]

Джулиан Хэйвил, Замечательные математические кривые: антология непредсказуемого, исторического, чарующего и романтического / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2025. – 244 с.: ил.

В этой книге собраны описания десяти математических кривых, тщательно отобранных за их значимость, интересность и красоту. В каждой главе читатель найдет историю и определение кривой, а также узнает о красивой и часто неожиданной математической основе, связанной с ее созданием и эволюцией.
Книга построена так, что все желающие могут превратиться в исследователей, просто вооружившись карандашом и бумагой.
Издание адресовано широкому кругу любителей математики и может быть полезно преподавателям и руководителям математических кружков.

---

Появилась в сети

[Холщовый мешок]

Наташа Рожковская. Математические семинары для младшеклассников. Беркли-2009, Новосибирск: Издательство «Тамара Рожковская», 2011. — 132 с.; ч.-б. ил. + цв. ил.+ 3 цв. вклейки.

Книга представляет 15 семинаров по математике для детей 6-10 лет, разработанных и проведенных автором в рамках школьного математического кружка в городе Беркли (штат Калифорния, США) в 2009 г. Знакомство с идеями и понятиями современных математических дисциплин — теории графов, математической логики, теории фракталов, симметрии, комбинаторики, теории узлов, теории вероятностей и др. — проходит в увлекательной форме и включает занимательные задачи, игры, поделки из бумаги. Приводятся полные тексты всех задач и заданий, предложенных детям на занятиях кружка в Беркли, а также комментарии к каждому семинару. Предисловие директора математического кружка в Беркли Звезделины Станковой.
Для родителей, преподавателей математических кружков, школьников, интересующихся
современной математикой.

---

ФИОКО

[Холщовый мешок]

Украсть свыше 100 млн рублей на контроле качества образования – это святое!
dzen.ru/a/Z9RhQmLEsHQpyYlX

P.S. Хотелось бы, конечно, подробностей - кто, когда и сколько? Какое отношение ко всему этому имеют Рособрнадзор, ФИПИ, МЦНМО, Центр педагогического мастерства и другие замечательные организации?

---

Калейдоскоп

[Холщовый мешок]

Прицкер Б. Геометрический калейдоскоп / пер. с англ. Ю. В. Ревича. – М.: ДМК Пресс, 2025. – 198 с.: ил.

Эта книга рассказывает о наиболее увлекательных аспектах геометрии и раскрывает множество интересных геометрических закономерностей. Несмотря на разнообразие представленных задач, они не выходят за рамки базовых знаний, охватывающих учебную программу по геометрии средней школы. Также представлены многочисленные задания для самостоятельной тренировки, а их решения приводятся в конце книги.
Издание адресовано широкому кругу любителей интеллектуального досуга и может быть полезно руководителям математических кружков и преподавателям математики.

vk.com/wall-220531567_2149

---

Как так-то?

[Холщовый мешок]

Боря взял несколько досок и распилил их. Каждым распилом он распилил ровно одну доску (или кусок доски). Всего Боря сделал 5 поперечных распилов. В итоге у него получилось 23 куска. Сколько досок взял Боря?

---

Отношение

[wpoms.]

Даны концентрические окружности $C_1$ и $C_2,$ причем $C_2$ расположена внутри $C_1.$ Из точки $A$ окружности $C_1$ проведена касательная $AB$ к $C_2$ ($B\in C_2$). Пусть $C$ --- вторая точка пересечения $AB$ и $C_1$ и пусть $D$ --- середина $AB$. Прямая, проходящая через $A$ пересекает $C_2$ в точках $E$ и $F$ так, что срединные перпендикуляры к $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $M,$ лежащей на $AB$. Найдите отношение $AM/MC.$

@темы: Планиметрия

---

Непересекающиеся множества

[wpoms.]

Предположим, что множество $\{1,2,\cdots, 1998\}$ может быть разбито на непересекающиеся множества $\{a_i,b_i\}$ ($1\leq i\leq 999$) так, что для всех $i$ значение выражения $|a_i-b_i|$ равно 1 или 6. Докажите, что сумма $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots +|a_{999}-b_{999}|$ оканчивается цифрой 9.

@темы: Теория чисел

---

Путин и советники на доверии

[Холщовый мешок]

www.rbc.ru/society/06/02/2025/67a4d05b9a7947402...

Президент также выступил за комплексное обновление программ по математике и естественным наукам в школах, поручив «сбалансировать объем учебного материала, сделать его доступным, понятным и, что самое главное, интересным для школьника».

Есть ли сейчас новые, достойные, интересные для школьника пособия, в которых отсутствуют рекомендации использовать при решении задач недоказанные теоремы?

Примерная цитата из пособия Волчкевича: Утверждение, обратное к доказанному свойству, тоже верно, мамой клянусь, и его называют признаком четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Дабы избежать оффтопика

30. Две медианы треугольника перпендикулярны друг другу. Докажите, что для его сторон $a,$ $b$ и $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = 5c^2.$

---

Фалин

[Холщовый мешок]

pk.math.msu.ru/sites/default/files/documents/Fo...

Фалин Г.И. Вступительное испытание по математике в МГУ: Учебное пособие. ― 2-е изд., перераб. и доп. – М.: 2024. – 301 с., ил.

Книга содержит варианты дополнительных вступительных испытаний по математике в МГУ им. М. В. Ломоносова с 2011 по 2023 гг. с подробными решениями и комментариями для одного варианта каждого года. Она может быть использована абитуриентами для повторения математики и ознакомления с форматом экзамена и типами задач.

---

Про числа

[wpoms.]

Пусть последовательность неотрицательных целых чисел $a_1,a_2,\ldots,a_{1997}$ удовлетворяет неравенствам $a_i+a_j \le a_{i+j} \le a_i+a_j+1$ для всех $i, j \ge 1,$ где $i+j \le 1997.$ Покажите, что существует действительное число $x$ такое, что $a_n=\lfloor{nx}\rfloor$ (наибольшее целое число $\le nx$) для всех $1 \le n \le 1997$.

---

[Холщовый мешок]

Рассмотрим алфавит, состоящий из $n$ разных букв. Мы хотим образовать слово, отвечающее следующим двум условиям:

a) В нем не может быть двух последовательных одинаковых букв.
b) Никакое подслово длины 4 не имеет вида $XYXY$ с $X \neq Y$ (т. е. одни и те же две буквы не могут повторяться попеременно).

Для каждого $n$ определите максимально возможную длину слова, удовлетворяющего этим условиям.

Пояснение: Подслово слова $P$ — это последовательность букв, которые встречаются в $P,$ в том же порядке, в котором они появляются в $P,$ но не обязательно последовательно. Например, $EDDC$ является подсловом $TEADDVCB.$

---

[Холщовый мешок]

Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $mcd(a, b) = 1$ и $a^2 + ab + b^2 = 7^n.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть $ABCDE$ --- правильный пятиугольник. Пусть $J$ и $K$ --- эксцентры треугольника $ACE$, противоположные вершинам $A$ и $C,$ соответственно. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P,$ отрезки $CE$ и $BD$ пересекаются в точке $Q,$ а отрезки $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $R.$

а) Докажите, что $PJ$ перпендикулярен $CE.$
б) Докажите, что прямая $KR$ проходит через центр описанной окружности $CQD.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть \[ x = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{4^4} + ... + \dfrac{1}{2024^{2024}}.\] Найдите натуральное число $n$ такое, что \[n \le 3x < n + 1.\]

---

[Холщовый мешок]

Дан треугольник $ABC$, на сторонах $AC$ и $AB$ выбраны соответственно точки $Y$ и $Z,$ такие, что $AY + AZ = BC.$ Допустим, что внутри треугольника $AZY$ есть точка $X$ такая, что $2\angle AZX = \angle ACB$ и $2\angle AYX = \angle ABC.$ Докажите, что длина $AX$ больше или равна длине радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

---

[Холщовый мешок]

Пусть $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ --- функция, заданная выражением \[f(x) = \begin{cases}3x, \text{ если }\ x < \frac13,\\ 3x-1, \text{если}\ \frac13 \le x < \frac23,\\ 3x-2, \text{если}\ \frac23 \le x.\end{cases}\]

Найдите все действительные числа $x,$ удовлетворяющие равенству $f(f(f(f(x)))) = x.$

---

[Холщовый мешок]

Есть пять различных цифр. Наименьшее пятизначное натуральное число, которое можно составить из этих цифр, не повторяя ни одной, кратно 11, а самое большое натуральное число, которое можно составить из тех же цифр, не кратно 11. Определите наибольшее возможное значение суммы этих пяти цифр.

Примечание: Имейте в виду, что натуральное число не может начинаться с цифры 0.