Докажите, что для любого целого числа $n$ существует уникальный многочлен $Q(x)$ с коэффициентами, принадлежащими множеству $\{0,1,\ldots,9\},$ такой, что $Q(-2)=Q(-5)=n.$ |  |
Дан треугольник $ABC.$ Точки $D, E, F$ лежат соответственно на срединных перпендикулярах к $BC, CA, AB.$ Покажите, что прямые, проходящие через $A, B, C$ и перпендикулярные соответственно $EF, FD, DE,$ проходят через одну точку. | |
Простые числа $p_1,p_2,p_3,\ldots$ пронумерованы в порядке возрастания. Пусть действительное число $x_0$ принадлежит интервалу $(0, 1).$ Для положительного целого числа $k$ определим $x_{k}=0,$ если $x_{k-1}=0$ и $x_{k}= \left\{\frac{p_{k}}{x_{k-1}}\right\},$ если $x_{k-1}\ne0,$ где $\{x\}$ обозначает дробную часть $x.$ (Дробная часть числа $x$ определяется как $x-\lfloor{x}\rfloor,$ где $\lfloor{x}\rfloor$ --- наибольшее целое число меньшее или равное $x$.) Найдите все $x_0,$ удовлетворяющие неравенствам $0 < x_0 < 1,$ для которых члены последовательности $x_0, x_1, x_2, \ldots$ начиная с некоторого номера становятся равными $0.$ | |
Определите (с доказательством) существует ли подмножество $X$ множества целых чисел, имеющее следующее свойство: для любого целого числа $n$ найдется ровно одно решение уравнения $a + 2b = n$ такое, что $a,b \in X$. | |
Дан треугольник $ABC.$ Его внутренняя точка $M$ выбрана так, что $\angle MAB=10^\circ,$ $\angle MBA=20^\circ,$ $\angle MAC= 40^\circ$ и $\angle MCA=30^\circ.$ Докажите, что треугольник является равнобедренным. | |
