НОВАЯ СИСТЕМА ПРИЁМА В ВУЗЫ...

[All_ex]

... НА ОСНОВЕ ЗНАМЕТНИТОЙ ТЕОРЕМЫ ГЕЙЛА И ШЕПЛИ! РИСКИ И ВОЗМОЖНОСТИ!



товарищи решили внедрить алгоритмы теории игр в систему поступления в вузы... и вроде должно вступить в силу в этом году...
рассказывают интересно, но понимается далеко не сразу...

но после слов "про слухи" вспомнилась шутка от одесских квнщиков 88 года...
- говорят в вузы принимают по новому...
- говорят по новому... принимают по старому...

@темы: Образование

---

Вписанный шестиугольник

[wpoms.]

Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность, $AB=CD=EF,$ диагонали $AD,BE$ и $CF$ проходят через одну точку. Пусть $P$ --- точка пересечения $AD$ и $CE.$ Докажите, что $\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.$

@темы: Планиметрия

---

Учебники

[Холщовый мешок]

Смирнова И. М. Геометрия. 7 класс : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 8 класс : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 9 класс : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 7-9 классы : учебник для общеобразовательных организаций
Смирнова И. М. Геометрия. 10-11 классы : учебник для общеобразовательных организаций (базовый уровень)
Смирнова И. М. Геометрия. 10 класс : учебник для общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровни)
Смирнова И. М. Геометрия. 11 класс : учебник для общеобразовательных организаций (базовый и углублённый уровни)

mnemozina.ru

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Раскраска

[wpoms.]

Стороны $99$-угольника сначала покрасили так, что последовательные стороны окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, синий, желтый цвет. Выполняется последовательность изменения цвета сторон, по одной стороне за раз. Стороны окрашиваются в красный, синий или желтый цвет при условии, что никакие две смежные стороны не будут иметь одинаковый цвет. Может ли после выполнения подобных перекрашиваний получиться так, что последовательные стороны будут окрашены в красный, синий, красный, ..., красный, желтый, синий цвет?

@темы: Дискретная математика

---

Moscow

[Холщовый мешок]

Four spheres of radius 1 are mutually tangent. What is the radius of the smallest sphere
containing them?

www.ruf.rice.edu/~eulers/

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Юбилей

[Холщовый мешок]

Завершилась 20 Жаутыковская олимпиада.
izho.kz

1 In an alphabet of $n$ letters, is $syllable$ is any ordered pair of two (not necessarily distinct) letters. Some syllables are considered $indecent$. A $word$ is any sequence, finite or infinite, of letters, that does not contain indecent syllables. Find the least possible number of indecent syllables for which infinite words do not exist.

2 Circles $\Omega$ and $\Gamma$ meet at points $A$ and $B$. The line containing their centres intersects $\Omega$ and $\Gamma$ at point $P$ and $Q$, respectively, such that these points lie on same side of the line $AB$ and point $Q$ is closer to $AB$ than point $P$. The circle $\delta$ lies on the same side of the line $AB$ as $P$ and $Q$, touches the segment $AB$ at point $D$ and touches $\Gamma$ at point $T$. The line $PD$ meets $\delta$ and $\Omega$ again at points $K$ and $L$, respectively. Prove that $\angle QTK=\angle DTL$

3 Positive integer $d$ is not perfect square. For each positive integer $n$, let $s(n)$ denote the number of digits $1$ among the first $n$ digits in the binary representation of $\sqrt{d}$ (including the digits before the point). Prove that there exists an integer $A$ such that $s(n)>\sqrt{2n}-2$ for all integers $n\ge A$

4 Ten distinct positive real numbers are given and the sum of each pair is written (So 45 sums). Between these sums there are 5 equal numbers. If we calculate product of each pair, find the biggest number $k$ such that there may be $k$ equal numbers between them.

5 We are given $m\times n$ table tiled with $3\times 1$ stripes and we are given that $6 | mn$. Prove that there exists a tiling of the table with $2\times 1$ dominoes such that each of these stripes contains one whole domino.

6 Let $G$ be the centroid of triangle $ABC$. Find the biggest $\alpha$ such that there exists a triangle for which there are at least three angles among $\angle GAB, \angle GAC, \angle GBA, \angle GBC, \angle GCA, \angle GCB$ which are $\geq \alpha$.

artofproblemsolving.com/community/c3719964_2024...

Задача №1. Алфавит состоит из $n$ букв. Слогом назовём любую упорядоченную пару, состоящую из двух не обязательно различных букв. Некоторые слоги считаются неприличными. Словом является любая (конечная или бесконечная) последовательность букв, в которой нет неприличных слогов. Найдите наименьшее возможное количество неприличных слогов, при котором не существует бесконечных слов. ( М. Карпук )

Задача №2. Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )

Задача №3. Натуральное число $d$ не является точным квадратом. Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ количество единиц среди первых $n$ цифр двоичной записи числа $\sqrt d$ (цифры до запятой тоже учитываются). Докажите, что существует такое натуральное $A$, что при всех натуральных $n\geqslant A$ выполнено неравенство $s(n)>\sqrt{2n}-2$. ( Navid Safaei )

Задача №4. Учитель выдал детям 10 различных положительных чисел. Серёжа вычислил все 45 их попарных сумм; среди них нашлось пять равных чисел. Петя вычислил все 45 их попарных произведений. Какое наибольшее количество из них могли оказаться равными? ( И. Богданов )

Задача №5. Дана таблица ${m\times n}$, где $mn$ делится на $6$. В этой таблице полоской назовём любой прямоугольник ${1\times 3}$ или ${3\times 1}$, а доминошкой -- любой прямоугольник ${1\times 2}$ или ${2\times 1}$. Таблицу замостили полосками. Докажите, что поверх этого замощения таблицу можно замостить доминошками так, что в каждой полоске две клетки будут накрыты одной доминошкой и ещё одна -- другой. (При замощении прямоугольники покрывают всю таблицу и не перекрываются между собой.) ( М. Карпук )

Задача №6. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $G$. Среди шести углов $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ есть не менее трёх, каждый из которых не меньше $\alpha$. При каком наибольшем $\alpha$ это могло произойти? ( Н. Седракян, И. Богданов )

www.matol.kz/olympiads/1109

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

про интервалы

[wpoms.]

Пусть $k_1 < k_2 < k_3 < \cdots$ --- положительные целые числа, никакие два из которых не являются последовательными, и пусть $s_m = k_1 + k_2 + \cdots + k_m$ для $m = 1, 2, 3, \ldots$. Докажите, что, для всех положительных целых чисел $n,$ интервал $[s_n, s_{n+1}),$ содержит по крайней мере один квадрат целого числа.

@темы: Теория чисел

---

Пояснение

[Холщовый мешок]

На картинке фотография, сделанная Спиритом на Марсе, рядом с фотографией пустыни в Марокко.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Эпидемия продолжается

[Холщовый мешок]

В ноябре 2022 года состоялась первая эфиопская математическая олимпиада.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Холщовый мешок]

Возможность использования калькулятора исключена из правил основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике в 2024 году. Об этом сообщили журналистам в пресс-службе Рособрнадзора.
tass.ru/obschestvo/19654179

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Задачи на круговое движение

[daffodils&dandelions]

Помогите, пожалуйста, решить задачки на круговое движение:
1. Три бегуна стартую одновременно из трёх точек круговой беговой дорожки, являющихся вершинами правильного треугольника, и бегут в одном направлении. Первый бегун обгоняет второго через 4 мин после старта, а третьего – через 5 мин после старта. Известно, что третий бегун бежит быстрее второго. Через сколько минут после старта третий бегун нагонит второго?
2. Два велосипедиста стартуют одновременно из двух точек круговой велотрассы: первый из точки А, а второй из точки В – и едут в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что из их 15 встреч на трассе после старта только третья и пятнадцатая состоялись в точке В. Найти отношение скорости первого велосипедиста к скорости второго, если известно, что к моменту их пятой встречи каждый из велосипедистов проехал не меньше одного круга.
3. Два спортсмена стартуют одновременно из одной и той же точки кольцевой дорожки стадиона и движутся в противоположных направлениях с постоянными скоростями. Известно, что к моменту их шестой встречи первый спортсмен проехал расстояние на 1200 м большее, чем второй. Если бы второй спортсмен увеличил скорость своего движения в два раза, то к моменту шестой встречи первый спортсмен проехал бы расстояние на 480 м большее, чем второй. Определить длину дорожки стадиона. 
4. Два бегуна одновременно стартуют из одной точки кольцевой дорожки на дистанцию 50 кругов и бегут в одном направлении с постоянными скоростями. Через некоторое время выяснилось, что первый бегун обгоняет второго каждые 4 мин. Пробежав полные 45 кругов первый бегун упал и 1 мин 40 с оправлялся от травмы. Однако потом он всё же продолжил бег, правда со скоростью в четыре раза меньшей, чем первоначально, и закончил дистанцию одновременно со вторым бегуном. За сколько минут пробегают круг первый и второй бегуны? 
Срок:  10.01.24
Класс: 11
Совсем нет идей, как к ним подступиться, но научиться решать очень хочется...
Всем приложившим ум к задачкам заранее огромное спасибо!

@темы: Текстовые задачи

---

Неравенство

[wpoms.]

Пусть $a_0, a_1, a_2,\cdots$ --- последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию $a_{i-1}a_{i+1}\le a^2_i$ для $i = 1, 2, 3,\cdots .$ (Такая последовательность называется логарифмически вогнутой.) Покажите, что для всех $n > 1$ выполняется $\frac{a_0+\cdots+a_n}{n+1}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\ge \frac{a_0+\cdots+a_{n-1}}{n}\cdot \frac{a_1+\cdots+a_{n}}{n}.$

@темы: Доказательство неравенств, Теория чисел

---

Бесполезное

[Холщовый мешок]

Колесников Е.А. Задачи Ферми, книги Перельмана, Алкуин из Йорка и другие способы обсчитать этот мир
СПБ.: Реноме, 2023. — 264 с.: ил. — ISBN 978-5-00125-552-9.

В книге рассмотрен феномен задач Ферми – задач, где недостаточные исходные данные предполагают приблизительный ответ. Например: Сколько настройщиков пианино в Чикаго? Сколько таксистов в Бостоне? Сколько кошек в Саратове? Сколько весит этаж небоскреба? Сколько в среднем стирается резины при одном обороте колеса? Сколько пылесосов производится в год? – и другие.
В круг интересов автора входят работы Я. И. Перельмана, написавшего огромное количество книг с задачами, расчетами и головоломками, а также 53 задачи для развития молодых умов саксонского учёного, богослова и поэта Алкуина, которые на русском языке приводятся, возможно, впервые.
Издание является частью проекта Botan.us и снабжено обширной библиографией, отображающей публикации XX-XXI веков, посвященные решениям нестандартных задач и различным расчетам. Приводятся ссылки на описания интересных моментов в рассматриваемых книгах. Предпочтения отдаются в соответствии с принципом de visu, что в переводе с ученой латыни означает, что работа ведется с книгами, которые автор видел своими собственными глазами и держал в своих руках.

botan.wiki/File/Kolesnikov2023.pdf

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

1.1 Таблица

[Холщовый мешок]

В каждой клетке таблицы размером 5 × 5 написано число 1 или число 2.
Может ли быть так, что сумма чисел в каждой строке кратна 2, а сумма чисел в каждом столбце кратна 3?
Может ли быть так, что сумма чисел в каждой строке кратна 3, а сумма чисел в каждом столбце кратна 4?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Холщовый мешок]

Казимиров Н. И., Савватеев А. В. Введение в настоящую математику: пособие для учителей математики по мотивам курса «100 уроков математики» Алексея Савватеева. — М.: Русский фонд содействия образованию и науке. Университет Дмитрия Пожарского, 2022. — 406 с.

Издание представляет собой развернутый и доработанный конспект лекций видеокурса «100 уроков математики» Алексея Савватеева, который был прочитан в Филипповской школе (Москва) в 2014–2018 гг.
В книге на разном уровне строгости и сложности излагается концепция числа. Начиная с простых геометрических образов, описывающих обычные арифметические действия, и заканчивая сложными алгебраическими понятиями, авторы знакомят читателя с началами теории чисел, теории групп, линейной алгебры и комплeксного анализа.
Основное внимание в книге уделено следующим темам: движения и подобия прямой и плоскости, линейные уравнения в целых числах, арифметика остатков, кольцо многочленов, группа перестановок, комплeксные числа, модели действительных чисел, теория пределов. В книге разбирается ряд известных математических фактов: Основная теорема арифметики, теорема Шаля, теорема Ферма при n = 4, неразрешимость задачи об удвоении куба, формула Эйлера, теорема Кантора.
Особое внимание в книге уделяется теоретико-групповому подходу к описанию математических концепций, подробно разбирается структура группы перестановок и связанные с этим задачи. Кроме того, достаточно подробно изучается аксиома полноты (принцип непрерывности) действительных чисел, а также производится построение вещественной и комплeксной экспоненты.
Книга снабжена большим количеством вспомогательных чертежей и иллюстраций (более 100), а также задачами различной степени сложности для самостоятельного решения (более 800).
Содержание охватывает такие темы, как: геометрия, линейная алгебра, движения, теория групп, комплексные числа, математический анализ, многочлены, кольцо гауссовых чисел.

vk.com/teacher_s_book?w=wall-90389798_58531

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

1.2 Мосты

[Холщовый мешок]

В далекой стране есть 10 островов, соединенных мостами с односторонним движением, как показано на следующем рисунке. Губернатор хочет изменить направление движения по некоторым мостам так, чтобы по мостам можно было переходить с любого острова на любой другой остров. Определите наименьшее количество мостов, направление движения по которым нужно изменить для того, чтобы исполнилось желание губернатора.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Неравенство с логарифмами и показательными выражениями

[daffodils&dandelions]

Помогите, пожалуйста, решить неравенство:

`3^(x^2-4x-5)+log_3(x-3)/(6)<=0`

Срок: 30.12.23
11 класс

Понимаю, что в данном случае надо использовать свойства функций, а именно:
1) показательная функция на ОДЗ будет монотонно возрастать;

2) логарифм легко можно привести к основанию `(1)/(3)`, тогда логарифмическая функция на ОДЗ будет монотонно убывать;

3) поскольку показательная функция строго положительна, то для выполнения условия из неравенства необходимо, чтобы и логарифмическая функция была положительна, а значит, по свойствам логарифмических функций, х принадлежит промежутку (3, 9];

4) если функции имеют точку пересечения на этом промежутке (а они обязательно имеют), то на ОДЗ условие из нервенства будет выполняться на промежутке (3, n], где n - абсцисса точки пересечения.

Проблема возникает на моменте аналитического поиска точки пересечения функций, поскольку не совсем понятно, как решить уравнение вида `a^(x)=log_((1)/(a))(x)` (понимаю, что можно воспользоваться методами приближенных вычислений или же методом подбора, но оба находятся в no-no спискe из-за ограничения преподавателя). 

(5) Была идея использовать характерную точку для всех показательных функций (0,1) (с корректировкой на данную в неравенстве показательную функцию и ОДЗ будет точка (5, 1), в которой как раз функции и будут пересекаться, но нет понимания, как доказать без подстановки, что логарифмическая функция тоже будет проходить через точку (5, 1))

Всем приложившим ум к задачке заранее большое спасибо! (:

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства

---

Последовательность

[wpoms.]

Пусть $a$ и $b$ --- нечетные положительные целые числа. Определим последовательность $(f_n)$, полагая, что $f_1 = a$, $f_2 = b$, а $f_n$ для $n\ge3$ --- наибольший нечетный делитель $f_{n-1} + f_{n-2}$. Покажите, что значение $f_n$ равно некоторой константе при достаточно больших $n$ и найдите эту константу как функцию от $a$ и $b$.

@темы: Теория чисел

---

Окружность

[Холщовый мешок]

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Яйца

[Холщовый мешок]

Хозяйке подарили 20 яиц. Пятнадцать она использовала и одно разбилось. Сколько яиц осталось у хозяйки?

@темы: Головоломки и занимательные задачи