На рисунке изображен квадрат $ABCD,$ длина стороны которого равна 1. Точки $E,$ $F,$ $G$ и $H$ выбраны так, что треугольники $AFB,$ $BGC,$ $CHD$ и $DEA$ являются прямоугольными. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники и в квадрат $EFGH,$ равны $R.$ Найдите $R.$  |  |
Артур задумал натуральное число и сообщил, что сумма его трёх меньших делителей равна 17, сумма трёх больших --- 3905. Найдите все числа, удовлетворяющие этим условиям. | |
При каких значениях k указанные прямые или плоскости пересекаются в одной точке? Найти координаты точки пересечения.
$a_1, a_2, \cdots, a_n$ --- последовательность 0 и 1. $T$ --- количество троек $(a_i, a_j, a_k),$ где $i < j < k,$ неравных (0, 1, 0) и (1, 0, 1). Пусть для $1\le i\le n$ значение $f(i)$ равно количеству чисел $j < i$ таких, что $a_j = a_i,$ сложенному с количеством чисел $j > i$ таких, что $a_j\neq a_i$. Покажите, что $T=\sum_{i=1}^n f(i) \cdot \left(\frac{f(i)-1}2\right).$ Пусть $n$ --- нечётное число. Чему равно наименьшее значение $T?$ |  |
Пусть $M$ --- середина $XY.$ Точки $P$ и $Q$ лежат на прямой, проходящей через $Y,$ с разных сторон от $Y$ так, что $|XQ| = 2|MP|$ и $\frac{|XY|}2 < |MP| < \frac{3|XY|}2$. Для какого значения $\frac{|PY|}{|QY|}$ длина $|PQ|$ будет минимальной? | |
Пусть $X$ обозначает наименьшее множество, состоящее из многочленов $p(x),$ такое, что: 1. $p(x) = x$ принадлежит $X.$ 2. Если $r(x)$ принадлежит $X$, то $x\cdot r(x)$ и $(x+(1-x) \cdot r(x))$ оба принадлежат $X$. Покажите, что если $r(x)$ и $s(x)$ --- различные элементы $X$, то $r(x) \neq s(x)$ для всех $0 < x < 1.$ | |
Основания биссектрис $\Delta ABC$ являются вершинами треугольника с прямым углом $X$, где $AX$ --- биссектриса $\angle A.$ Найдите все возможные значения величины $\angle A.$ | |
