Дополнение

[domzorgisto]

к сборнику Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады.— СПб.: Политехника, 1994. — 309 с: ил.

Гаращук K. Задачи Ленинградских математических олимпиад для пятиклассников: 1979-1992 - Springer, 2020. — 178 p.

This unique book presents mathematical competition problems primarily aimed at upper elementary school students, but are challenging for students at any age. These problems are drawn from the complete papers of the legendary Leningrad Mathematical Olympiads that were presented to the city’s Grade Five students. The period covered is between 1979 – the earliest year for which relevant records could be retrieved – and 1992, when the former Soviet Union was dissolved. The respective chapters reflect the famous four-step approach to problem solving developed by the great Hungarian mathematics educator Gyorgy Pólya. In Chapter One, the Grade Five Competition problems from the Leningrad Mathematical Olympiads from 1979 to 1992 are presented in chronological order. In Chapter Two, the 83 problems are loosely divided into 26 sets of three or four related problems, and an example is provided for each one. Chapter Three provides full solutions to all problems, while Chapter Four offers generalizations of the problems.
This book can be used by any mathematically advanced student at the upper elementary school level. Teachers and organizers of outreach activities such as mathematical circles will also find this book useful. But the primary value of the book lies in the problems themselves, which were crafted by experts; therefore, anyone interested in problem solving will find this book a welcome addition to their library.

libgen.st/book/index.php?md5=929CFABEC3568F2E55...

1979.1. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 13 × 7. Вырежьте из него 15 прямоугольников размерами 2 × 3.

1979.1. Pack fifteen 2 × 3 chocolate pieces into a 7 × 13 box, leaving a 1 × 1 hole.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Делимость

[wpoms.]

a) Существуют ли 14 последовательных положительных целых чисел, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 11$? b) Существует ли 21 последовательное положительное целое число, каждое из которых делится на одно или большее количество простых чисел $p$ из интервала $2\le p \le 13$?

@темы: Теория чисел

---

Приходите, дети! Мы вас будем защищать!

[wpoms.]

Дана функция $f(x) = x^2 - 45x + 2.$ Найдите все целые числа $n \ge 2$ такие, что ровно одно из чисел \[f(1), f(2), \ldots, f(n)\] делится на $n.$

@темы: Теория чисел

---

Вдоль трассы

[wpoms.]

Вдоль кругового трека длиной 1 километр на равных расстояниях стоят 1000 спортсменов. (a) Сколькими способами можно разбить спортсменов на 500 пар так, чтобы расстояние (вдоль трека) между членами каждой пары было равно 335 метрам? (b) Сколькими способами можно разделить спортсменов на 500 пар так, чтобы расстояние (вдоль трека) между членами каждой пары было равно 336 метрам?

@темы: Комбинаторика

---

Вписанная окружность и параллельные отрезки

[Alemand]

Не могу решить следующую задачу: Вписанная окружность треугольника АВС касается его сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и Т соответсвенно. Точки М и N - середины соответсвенно отрезков АР и ВР. Известно, что TM II QN,АС = 9, ВС = 7. Найти длину стороны АВ и радиус вписанной окружности треугольника АВС.

@темы: Задачи вступительных экзаменов

---

На окружности

[wpoms.]

Окружности $K_1$ и $K_2$ пересекаются в двух различных точках $A$ и $M.$ Касательная к $K_1$ в точке $A$ пересекает повторно $K_2$ в точке $B,$ касательная к $K_2$ в точке $A$ пересекает $K_1$ повторно в точке $D.$ Пусть $C$ --- точка, такая что $M$ --- середина $AC.$ Докажите, что вершины четырехугольника $ABCD$ лежат на одной окружности.

@темы: Планиметрия

---

Хорошие

[domzorgisto]

Статуя Чингисхана в Цонжин-Болдоге

Статуя Чингисхана расположена в 54 км к юго-востоку от центра Улан-Батора в местности Цонжин-Болдог, которая административно входит в состав улан-баторского городского административного района Налайх, недалеко от границы с аймаком Туве недалеко от берега реки Туул, в месте, где, согласно устному преданию, Чингис нашёл золотую плётку. Автор проекта статуи — скульптор Дулийн Эрдэнэбилэг, при участии архитектора Ж. Энхжаргала. Официальное открытие монумента состоялось 26 сентября 2008 года.

Высота статуи — 40 м без учёта десятиметрового постамента. Изваяние покрыто нержавеющей сталью весом 250 тонн и окружено 36 колоннами, символизирующими ханов Монгольской империи от Чингиса до Лигдэн-хана. В двухэтажном постаменте размещаются художественная галерея, музей эпохи хунну, бильярдная, рестораны, сувенирная лавка и конференц-зал. На голове лошади располагается смотровая площадка. В левом копыте лошади находится тематический концертный зал, особенностью которого является отсутствие сидений: места в зале занимаются верхом на лошади. В правом копыте можно взять лошадь напрокат.

Рациональное число назовем хорошим, если существуют натуральные числа $a$, $b$ такие, что рациональное число равно $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$.

(i) Покажите, что любое натуральное число $n \ge 4$ может быть представлено в виде суммы нескольких хороших чисел.
(ii) В виде суммы какого наименьшего количества хороших чисел может быть представлено число $n = 57$?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Грубые

[domzorgisto]

В Сербии состоялась 15-я Сербская математическая олимпиада. В ней приняли участие гости из Боснии и Герцеговины, Македонии, Черногории.

Выпуклый четырехугольник $ABCD$ назовем грубым, если найдется выпуклый четырехугольник $PQRS$, все точки которого лежат внутри или на сторонах четырехугольника $ABCD$, такой, что сумма длин диагоналей $PQRS$ больше суммы длин диагоналей $ABCD$.

Пусть $r>0$ --- действительное число. Пусть выпуклый четырехугольник $ABCD$ не является грубым, но каждый четырех угольник $A'BCD$ такой, что $A'\neq A$ и $A'A\leq r$, является грубым. Найдите все возможные значения большего угла $ABCD$.

artofproblemsolving.com/community/q1h2560878p21...

@темы: Планиметрия

---

Александра Элбакян про Sci-Hub

[domzorgisto]

oper.ru/news/read.php?t=1051624037
www.youtube.com/watch?v=RyTRyRwsTp4

@темы: Про самолеты

---

В Кирове

[domzorgisto]

В Кирове установили памятник Сатане.

В Кирове завершился 56 уральский турнир юных математиков.

Задачи, результаты: guas.info

Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $F$, а лучи $BA$ и $CD$ -- в точке $E$. Середины отрезков $EF$, $BF$ и $BC$ -- точки $G$, $H$ и $I$ соответственно. Докажите, что $\angle GFD=\angle GIH$.

@темы: Планиметрия

---

Сумма

[wpoms.]

Найдите количество положительных целых чисел `n` меньших 1\,000\,000, для которых сумма `\frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{1} \rfloor + 1} + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{2} \rfloor + 1} + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{3} \rfloor + 1} + \cdots + \frac{1}{2 * \lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1}` является целым числом. (Отметим, что `\lfloor x \rfloor` обозначает наибольшее целое число меньшее или равное `x`.)

@темы: Теория чисел

---

Живые и мертвые

[domzorgisto]

Не знаю как кому, но мне сайты типа problems.ru или zadachi.mccme.ru напоминают кладбища, где рядом с каждой могилой установлена табличка с информацией о семье усопшего. Гораздо симпатичнее сайты, на которых имеются не только перечни задач, но и места для их обсуждения. Большого количества отечественных примеров я не знаю, поговорим про artofproblemsolving.com. В последнее время пользователи сайта с маниакальным упорством собирают задачи разных соревнований, из России тащат все, вплоть до задач олимпиад, которые проводятся в отдельных школах.

Впрочем, есть и хорошие новости. В 2018 году отдельные арабские страны бойкотировали Катар и седьмая олимпиада стран залива не состоялась, но состоялась первая арабская олимпиада. В 2019 году прошла седьмая олимпиада стран залива, а в 2020 - вторая арабская олимпиада.

Дан непрямоугольный треугольник $ABC$, точка $H$ - основание высоты проведенной из вершины $A$. Пусть $I, J, K$ обозначают середины отрезков $AB,AC$ and $IJ$. Покажите, что если окружность $c_1$, проходящая через точку $K$ и касающаяся прямой $AB$ в точке $I$, и окружность $c_2$, проходящая через точку $K$ и касающаяся прямой $AC$ в точке $J$, пересекаются повторно в точке $K'$ , то точки $H,K$ и $K'$ лежат на одной прямой.

Остается поблагодарить собирателей с artofproblemsolving.com.

@темы: Планиметрия

---

Где-то и когда-то в сообществе

[domzorgisto]

упоминалась публикация Останин П.А., Терешин Д.А., Королев Н.Ю. Планиметрия в задачах - М., МФТИ, 2021, 400 стр.

1 Классические темы 9
1.1 Равнобедренный треугольник . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Окружности и вписанные углы . . . . . . . . . . . 14
1.3 Подобие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Параллелограмм и трапеция . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Описанный четырехугольник . . . . . . . . . . . . . 36
1.6 Вневписанная окружность . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7 Метрические соотношения в треугольнике . . . . . 45
1.8 Применение тригонометрии . . . . . . . . . . . . . 53
1.9 Площадь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.10 Метрические соотношения в четырехугольнике . . 71
1.11 Степень точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 Геометрические преобразования 82
2.1 Движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Гомотетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Векторы и координаты 96
3.1 Сложение векторов и умножение вектора на число 97
3.2 Теоремы Чевы и Менелая . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4 Метод координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5 Уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6 Уравнение окружности . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.7 Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . 133
4 Неравенства и экстремумы 142
4.1 Геометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . 143
4.2 Экстремальные задачи: классический подход . . . 146
4.3 Экстремальные задачи: аналитический подход . . 151
5 Массы и барицентры 155
5.1 Геометрия масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2 Момент инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.3 Отрицательные массы и барицентрические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6 Дополнительные разделы 176
6.1 Окружность девяти точек и прямая Эйлера . . . . 177
6.2 Ориентированные углы . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.3 Симедиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4 Изогональное сопряжение . . . . . . . . . . . . . . 194
6.5 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.6 Прямая Симсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.7 Аффинные преобразования . . . . . . . . . . . . . . 216
6.8 Инверсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.9 Проективные преобразования . . . . . . . . . . . . 232
6.10 Двойные отношения и гармонические четверки . . 241
7 Указания и подсказки 251

go2phystech.ru/planimetriya-v-zadachah/

1. Две высоты треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Указания и подсказки

1. Воспользуйтесь формулой для вычисления площади треугольника: она равна половине произведения высоты на основание.

Непонятно, зачем Г. Остер использует такой сложный пседоним.

@темы: Литература

---

Уникальный проект! Современные методики!

[domzorgisto]

МЦНМО (ПЕНПИА) решил совсем немного заработать за неделю до экзамена помочь себе школьникам.

Для помощи на завершающем этапе подготовки к ОГЭ в мае 2021 года запускается сервис МаТр – система тренингов по математике на сайте mathtraining.ru. Цель тренингов – дать возможность школьникам потренироваться в решении тщательно подобранных по темам задач. Оценить прогресс поможет круговая цветная шкала рядом с названием тренинга: чем она зеленее, тем лучше. Подробнее читайте на сайте в разделах «О нас» (mathtraining.ru/about) и «Учителю» (mathtraining.ru/teacherInfo).

P.S. Как обычно, если МЦНМО (ПЕНПИА) все еще не зарегистрирован в реестре операторов ПД (проверьте!), то указывать свои персональные данные на сайте не следует.

@темы: ГИА (9 класс)

---

Нет такого города

[domzorgisto]

Олимпиада в Еврейской автономной области.

Задания прошлого учебного года: www.biradm.ru/msu/meriya/struktura/otdel-obrazo...

P.S. Неуловимое очарование генератора кода страницы дневника вынуждает после перехода по ссылке и получения 404 ошибки менять в адресе httрs: на http:

@темы: Олимпиадные задачи

---

20.

[domzorgisto]

Замок Кабрера

Пусть $n > 2$ --- целое число. Разделим каждую сторону треугольника $ABC$ на $n$ равных частей и проведем, как показано на рисунке, прямые, содержащие стороны треугольника $XYZ.$
Выразите площадь $\triangle XYZ$ как функцию от площади $\triangle ABC.$

@темы: Планиметрия

---

17.

[domzorgisto]

Замок Бельвер

С центрами в четырех вершинах квадрата и радиусом R, равным его стороне, построены дуги четырех окружностей.
Вычислите площадь образовавшейся замкнутой окрашенной области.

@темы: Планиметрия

---

9.

[domzorgisto]

Замок Лоарре

Дан треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ.$ Пусть $P$ --- точка пересечения биссектрисы угла $BAC$ и отрезка $BC,$ а $Q$ --- точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и отрезка $AC.$ Пусть $M$ и $N$ --- точки пересечения с отрезком $AB$ прямых, перпендикулярных ему и проходящих через $P$ и $Q$, соответственно. Найдите величину угла $\angle MCN$.

@темы: Планиметрия

---

6.

[domzorgisto]

Замок Виньюэлас

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ такой, что $AB > BC,$ $CD = DA$ и $\angle ABD = \angle DBC.$ Пусть точка $E$ лежит на отрезке $AB$ и $\angle DEB = 90^\circ.$ Докажите, что $AE = \frac{AB-BC}{2}.$

@темы: Планиметрия

---

3.

[domzorgisto]

В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ самая длинная, биссектрисы пересекаются в точке $I.$ Прямые $AI,$ $BI,$ $CI$ пересекают $BC,$ $CA,$ $AB$ в точках $D,$ $E,$ $F,$ соответственно. Точки $G$ и $H$ выбраны на отрезках $BD$ и $CD,$ соответственно, так, что $\angle GID = \angle ABC$ и $\angle HID = \angle ACB.$ Докажите, что $\angle BHE = \angle CGF.$

@темы: Планиметрия