Что-то симметричное

[wpoms.]

Найдите $x^2 + y^2$ и $x^4 + y^4,$ если $x^3 + y^3 = 2$ и $x + y = 1.$

@темы: Теория многочленов

---

Делим

[wpoms.]

При делении целого числа $m$ (с остатком) на целое число $n$ получили частное 22 и остаток 5. Деление продолжили для получения первой цифры после запятой числа $\dfrac{m}{n}$ и получили 4 и в остатке 2. Найдите $m$ и $n.$

@темы: Теория чисел

---

Дифференциальная геометрия. Пространственные кривые и линии

[RD_Merlo]

Здравствуйте, не понимаю, как решить следующую задачу:

Найдите такую функцию f(t), чтобы кривая x=acost, y=asint, z=f(t) была плоской.

По условии плоской кривой, следует, что кручение должно быть нулевое, отсюда следует, по формуле кручения = (r',r'',r''')/(|r' x r''|^2), что нулевым должно быть смешанное произведение (r',r'',r'''), то есть определитель должен равняться нулю.

Как я понимаю, из определителя нужно будет вынести влево/вправо z, и тогда оставшаяся часть будет его формулой?
Однако, как в этом случае нужно составить матрицу (r',r'',r''')? Если с x и y всё понятно, находим для неё первую, вторую, третью производную, то что с z?
Помогите понять, пожалуйста.

@темы: Высшая геометрия

---

Простые корни квадратного трехчлена

[Alemand]

Прошу помочь с решением следующей задачи:
Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена x^2+(3a-20)x+2b-9 и его значение при x=2 являются простыми числами, найти сумму корней квадратного трехчлена и натуральных чисел a и b.

@темы: Олимпиадные задачи, Задачи с параметром

---

система с параметром

[наталья1011]

подскажите идею с системой.... при каких значениях b система имеет хотя бы одно решение?
первое уравнение: `2x^2-2xy+10y^2=b^4-6b^3+9b^2-19+sqrt(85)`
второе уравнение `x^2+2xy-3y^2=4`

@темы: Системы НЕлинейных уравнений, Задачи с параметром

---

Голикова, она такая Голикова

[All_ex]

Голикова рассказала о будущем дистанционного обучения в школах

МОСКВА, 22 окт — РИА Новости. Дистанционное обучение в школах должно стать частью образовательного процесса и войти в обычную жизнь, а не быть мерой реагирования на определённую ситуацию, считает вице-премьер РФ Татьяна Голикова.

«Какое место дистанционное образование должно занять в школе: это должно быть постоянной частью процесса, или войти в федеральный образовательный стандарт, или это реагирование на сиюминутную ситуацию? Я являюсь сторонником первого подхода. Я считаю, что дистанционное образование должно найти место в обычной жизни», — заявила Голикова в интервью, опубликованном в исследовании «Общество и пандемия: опыт и уроки борьбы с COVID-19 в России» на сайте РАНХиГС.
Так, вице-премьер добавила, что такой подход позволит ребёнку выстроить индивидуальную траекторию обучения уже на ранних стадиях среднего образования.
При этом, по ее словам, частные организации могут сыграть позитивную роль в этом вопросе.

тыц

@темы: Образование, Новости

---

Туймаада-2020

[wpoms.]

Старшая лига, Первый день

1. Верно ли, что система уравнений \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4\\ x^2_1 + x^2_2 = y^2_1 + y^2_2 + y^2_3 + y^2_4\\ x^3_1 + x^3_2 = y^3_1 + y^3_2 + y^3_3 + y^3_4 \end{cases} \] имеет решение в целых числах, каждое из которых по модулю больше 2020?
%(A. Choudhry)

2. Даны положительные вещественные числа $a_1, ..., a_n.$ Пусть \[ m = \min \left( a_1 + \frac{1}{a_2}, a_2 + \frac{1}{a_3}, ..., a_{n-1} + \frac{1}{a_n}, a_n + \frac{1}{a_1} \right). \] Докажите неравенство \[ \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} + \frac{1}{\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}} \ge m . \]
%(И. Привалов)

3. На продолжении стороны $BC$ треугольника $ABC$ за точку $B$ отмечена точка $D,$ а на продолжении $AC$ за точку $C$ - точка $E,$ причем $BC = BD$ и $\angle BAD = \angle CDE.$ Оказалось, что периметры треугольников $ABC$ и $ADE$ отличаются в два раза. Во сколько раз отличаются их площади?
%(А. Кузнецов)

4. Для каждого натурального $k$ обозначим через $g(k)$ наибольшее возможное число точек в плоскости, для которых попарные расстояния принимают всего лишь $k$ различных значений. Докажите, что существует $k,$ для которого \[ g(k) > 2k + 2020. \]
%(Фольклор)

Старшая лига, Второй день

5. На плоскости нарисованы координатные оси (без разметки, масштаб на осях одинаков) и график квадратного трехчлена $y = x^2+ax+b.$ Числа $a$ и $b$ неизвестны. Как с помощью циркуля и линейки построить отрезок единичной длины?
%(С. Берлов)

6. Дан равнобедренный треугольник $ABC,$ $AB = BC.$ Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ лежат внутри угла $ABC,$ касаются сторон $AB$ и $BC$ в точках $A$ и $C$ соответственно, а также касаются друг друга внешним образом в точке $X.$ Сторона $AC$ вторично пересекает окружности в точках $Y$ и $Z.$ $O$ - центр описанной окружности треугольника $XYZ.$ Прямые $O_2O$ и $O1O$ пересекают прямые $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно. Докажите, что точка $B$ является центром описанной окружности треугольника $A_1OC_1.$
%(Е. Лопатин)

7. Несколько полицейских ловят вора, у которого есть $2m$ сообщников. Для этого полицейские организуют слежку за сообщниками. В начале полицейские ни за кем не следят. Каждый день утром каждый полицейский добавляет в список тех, за кем он следит, одного сообщника. Каждый день вечером вор теряет доверие к одному из своих сообщников. Вор будет пойман, если вечером $m$-го дня кто-то из полицейских будет следить ровно за теми $m$ сообщниками, которым к этому времени вор все еще доверяет. Докажите, что для гарантированной поимки вора требуется не менее $2^m$ полицейских.
%(W. B. Kinnersley, D. B. West)

8. Многочлены $P$ и $Q$ степени не выше $n$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождеству \[ P(x)x^{n+1} + Q(x)(x+1)^{n+1} = 1. \] Найдите все возможные значения $Q \left( -{1}{2} \right).$
%(K. Dilcher, M. Ulas)

Младшая лига, Первый день

1. Для каждого натурального числа $m$ обозначим через $t_m$ наименьшее натуральное число, на которое $m$ не делится. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $m + t_m.$
%(А. Голованов)

2. Все ненулевые коэффициенты многочлена $f(x)$ равны 1, а сумма коэффициентов равна 20. Могут ли 13 коэффициентов многочлена $f^2(x)$ оказаться равны 9?
%(С. Иванов, К. Кохась)

3. В полном графе на 101 вершине на каждом ребре поставлено число $+1$ или $-1.$ Известно, что сумма чисел на всех ребрах по модулю меньше 150. Докажите, что в графе найдется путь с нулевой суммой чисел на ребрах, проходящий по всем вершинам ровно по одному разу.
%(Y. Caro, A. Hansberg, J. Lauri, C. Zarb)

4. См. задачу 3 старшей лиги.

Младшая лига, Второй день

5. См. задачу 5 старшей лиги.

6. $AK$ и $BL$ - высоты остроугольного треугольника $ABC.$ На отрезке $AK$ выбрана точка $P$ таким образом, что $LK = LP.$ Прямая, проходящая через $P$ параллельно $BC,$ пересекается с прямой, проходящей через B параллельно $PL,$ в точке $Q.$ Докажите, что $\angle AQB = \angle ACB.$
%(С. Берлов)

7. Сколько натуральных чисел $N$ в диапазоне $[10, 1020]$ обладают свойством: если увеличить каждую цифру числа $N$ на 1 и полученные величины перемножить, получится число $N + 1?$
%(Ф. Бахарев)

8. В горизонтальной клетчатой полоске $1\times{n}$ на сторонах отмечены вершины всех клеток. Полоску разбивают на части, соединяя отмеченные точки отрезками, не лежащими на сторонах полоски. Отрезки не должны пересекаться во внутренних точках; верхний конец каждого отрезка должен быть расположен либо строго над нижним концом, либо правее его. Докажите, что число таких разбиений делится на $2^n.$ (Разбиение, в котором не проведено ни одного отрезка, тоже учитывается.)
%(E. Robeva, M. Sun )

tuymaada.lensky-kray.ru/ru/

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Несократимые дроби

[wpoms.]

Рассмотрим на числовой прямой интервал длины $1/n,$ где $n$ --- положительное целое число. Докажите, что количество несократимых дробей $p/q$, $1\le q\le n$, принадлежащих этому интервалу, не больше $(n+1)/2$.

@темы: Теория чисел

---

Минпросвещения разработает новый порядок проведения ВОШ

[All_ex]

Так в ведомстве прокомментировали информацию о том, что Генпрокуратура взяла под контроль соблюдение прав детей при проведении олимпиады

МОСКВА, 13 октября. /ТАСС/. Министерство просвещения РФ намерено разработать новый порядок проведения Всероссийской олимпиады школьников. Об этом ТАСС заявили в пресс-службе ведомства, комментируя информацию о том, что Генеральная прокуратура взяла под контроль соблюдение прав детей при проведении олимпиады.

"Работа над новым порядком проведения Всероссийской олимпиады школьников - плановая работа, инициированная министерством еще в начале этого года и находящаяся на завершающей стадии. Эта работа ведется в самом тесном сотрудничестве со всеми заинтересованными органами и ведомствами, включая Генеральную прокуратуру", - говорится в сообщении.

В пресс-службе указали, что новый порядок призван сделать процедуру проведения олимпиады более технологичной и прозрачной, в том числе используя опыт проведения Единого государственного экзамена. Кроме того, новый порядок нормативно закрепит и повысит ответственность организаторов на каждом этапе олимпиады.

Как указано на сайте Генпрокуратуры, действующий порядок проведения Всероссийской олимпиады школьников "не отвечает современным реалиям и не в полной мере учитывает требования антикоррупционного законодательства", при этом создаются предпосылки к ущемлению гарантированного законом "Об образовании в РФ" права детей на развитие своих творческих способностей и интересов посредством участия в олимпиаде.

Кроме того, указывается, что по требованию Генпрокуратуры министерство разработает новый порядок проведения состязания, в целях активизации этой работы внесен акт прокурорского реагирования. Ситуация взята генпрокурором РФ Игорем Красновым на постоянный контроль.

ТАСС
Генпрокуратура

@темы: Новости

---

Олимпиады

[All_ex]

Приказ Министерства науки и высшего образования Российской Федерации от 27.08.2020 г. № 1125 "Об утверждении перечня олимпиад школьников и их уровней на 2020/21 учебный год"

текст приказа

а здесь список поудобнее..

@темы: Образование, Новости

---

Задача на построение

[wpoms.]

На плоскости даны отрезки $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ и $S_6.$ Их длины соответственно равны длинам рёбер $AB, AC, AD, BC, BD$ и $CD$ тетраэдра $ABCD$. Покажите, как построить с помощью циркуля и линейки отрезок, равный высоте тетраэдра, опущенной из вершины $A.$

@темы: Планиметрия, Стереометрия

---

ФИПИ проанализировал результаты ЕГЭ 2020 года и подготовил советы учителям

[All_ex]

Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) начал публикацию методических рекомендаций для учителей для ЕГЭ. Рекомендации подготовлены на основе типичных ошибок участников ЕГЭ 2020 года.

Рекомендации опубликованы на сайте ФИПИ. «Материалы подготовлены руководителями комиссий по разработке контрольных измерительных материалов ЕГЭ и содержат характеристику и анализ экзаменационных работ, результатов участников ЕГЭ этого года, выявленных затруднений и типичных ошибок», — отметили в пресс-службе Рособрнадзора. Методические рекомендации охватывают все предметы, сдаваемые в форме ЕГЭ. Публикация методических рекомендаций по всем предметам будет завершена в ближайшие дни.


Методические рекомендации по математике

@темы: Образование, ЕГЭ, Новости

---

[Дилетант]

Дорогие коллеги!

От всей души поздравляю вас с Днём Учителя!

Желаю вам, чтобы этот учебный год прошел без потрясений! Чтобы неожиданно всё стало хорошо, никто не болел и жизнь вошла в нормальную колею!
(Как мало на самом деле нужно для счастья )

Ну а в этом счастье желаю вам талантливых и любознательных учеников, минимум бумажек и огромных возможностей для творчества!



И еще сладкой жизни))

@темы: Праздники, Люди

---

Министерство просвещения России утвердило федеральный перечень учебников

[All_ex]

Министерство просвещения России утвердило федеральный перечень учебников, по которым может быть выстроена подготовка школьников. Соответствующий законодательный акт опубликован 14 сентября на официальном интернет-портале правовой информации.

Документ вступил в законную силу с 25 сентября.

«Установить, что учебники из числа учебников, входящих в федеральный перечень учебников... включаются в федеральный перечень... на пять лет со дня вступления в силу настоящего приказа», — говорится в документе.

Обновленный перечень поделен на два раздела: допущенные и рекомендованные пособия для использования в аккредитованных школах и колледжах страны. В него вошли 1555 учебников.

отсель

здесь приказ с перечнем

@темы: Образование, Новости

---

[MisteryS]

Найти многочлен степени `Q(t)=t^n+b_1t^(n-1)+...+b_n`, для которого интеграл квадрата этой функции на отрезке [a;b] достигает наименьшего значения. Подскажите, пожалуйста, каким методом можно решить эту задачу. В интернете ничего похожего не нахожу(

@темы: Линейная алгебра, Численные методы

---

Полиномы Лежандра

[MisteryS]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как выглядит формула для полиномов Лежандра в случае произвольного отрезка.
Перерыла весь интернет. Везде только для отрезка `[-1,1]`, а именно: `P_n=1/(2^n*n!)(d^n((t^2-1)^n)/dt^n)`
Правильно ли я понимаю, что при `[a;b]` изменится выражение под производной, т.е. будет `((x-a)(x-b))^n`. Будет ли перед производной какой-то коэффициент, зависящий от `a` и `b`?

@темы: Численные методы

---

Максимальный объем параллелепипеда

[MisteryS]

Когда объем параллелепипеда, при фиксированных длинах векторов, будет наибольшим?

Это один из пунктов задачи, в которой дано было три вектора, заданных координатами. В задаче требовалось найти объем параллелепипеда, постороенного на векторах. Этот объем я искала с помощью матрицы Грама. Здесь проблем не было.


А вот как ответить на вопрос про максимальный объем, не совсем понимаю....
Подскажите, пожалуйста

@темы: Линейная алгебра, Аналитическая геометрия

---

Общая точка

[wpoms.]

Каждое множество, принадлежащее конечному набору подмножеств прямой, является объединением двух замкнутых интервалов. Любые три множества этого набора имеют общую точку. Докажите, что найдется точка общая по крайней мере для половины множеств этого набора.

@темы: Множества

---

А корней-то нет

[wpoms.]

Докажите, что `x^5 + a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0` не имеет действительных корней при `2*a^2 < 5b.`

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

---

Найти расстояние

[MisteryS]

Найти расстояние вектора `f=exp(kx)` на подпространство `L_2(-pi, pi)`, порожденное `{1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x), ..., cos(nx), sin(nx)}`.

Мои рассуждения: нам дан ортогональный базис (легко проверить, используя определение скалярного произведения в L_2). Затем я этот базис делаю ортонормированным. Ну, а дальше нахожу проекцию вектора f на пространство L_2.
А вот как найти расстояние... (я так понимаю, расстояние от этого вектора до пространства L_2?)....не совсем понимаю.

Вот что такое расстояние от точки до плоскости, ясно. А расстояние от вектора до подпространства......это что? Кратчайший из перпендикуляров, опущенных из вектора на подпространство? Так что ли? И как искать этот перпендикуляр.....ох...

Видимо, из f надо вычесть найденную проекцию этого вектора на подпространство.... и на этом всё?

@темы: Линейная алгебра, Аналитическая геометрия, Векторная алгебра, Высшая алгебра, Векторный анализ, Высшая геометрия