Туймаада-2020

[wpoms.]

Старшая лига, Первый день

1. Верно ли, что система уравнений \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4\\ x^2_1 + x^2_2 = y^2_1 + y^2_2 + y^2_3 + y^2_4\\ x^3_1 + x^3_2 = y^3_1 + y^3_2 + y^3_3 + y^3_4 \end{cases} \] имеет решение в целых числах, каждое из которых по модулю больше 2020?
%(A. Choudhry)

2. Даны положительные вещественные числа $a_1, ..., a_n.$ Пусть \[ m = \min \left( a_1 + \frac{1}{a_2}, a_2 + \frac{1}{a_3}, ..., a_{n-1} + \frac{1}{a_n}, a_n + \frac{1}{a_1} \right). \] Докажите неравенство \[ \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} + \frac{1}{\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}} \ge m . \]
%(И. Привалов)

3. На продолжении стороны $BC$ треугольника $ABC$ за точку $B$ отмечена точка $D,$ а на продолжении $AC$ за точку $C$ - точка $E,$ причем $BC = BD$ и $\angle BAD = \angle CDE.$ Оказалось, что периметры треугольников $ABC$ и $ADE$ отличаются в два раза. Во сколько раз отличаются их площади?
%(А. Кузнецов)

4. Для каждого натурального $k$ обозначим через $g(k)$ наибольшее возможное число точек в плоскости, для которых попарные расстояния принимают всего лишь $k$ различных значений. Докажите, что существует $k,$ для которого \[ g(k) > 2k + 2020. \]
%(Фольклор)

Старшая лига, Второй день

5. На плоскости нарисованы координатные оси (без разметки, масштаб на осях одинаков) и график квадратного трехчлена $y = x^2+ax+b.$ Числа $a$ и $b$ неизвестны. Как с помощью циркуля и линейки построить отрезок единичной длины?
%(С. Берлов)

6. Дан равнобедренный треугольник $ABC,$ $AB = BC.$ Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ лежат внутри угла $ABC,$ касаются сторон $AB$ и $BC$ в точках $A$ и $C$ соответственно, а также касаются друг друга внешним образом в точке $X.$ Сторона $AC$ вторично пересекает окружности в точках $Y$ и $Z.$ $O$ - центр описанной окружности треугольника $XYZ.$ Прямые $O_2O$ и $O1O$ пересекают прямые $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно. Докажите, что точка $B$ является центром описанной окружности треугольника $A_1OC_1.$
%(Е. Лопатин)

7. Несколько полицейских ловят вора, у которого есть $2m$ сообщников. Для этого полицейские организуют слежку за сообщниками. В начале полицейские ни за кем не следят. Каждый день утром каждый полицейский добавляет в список тех, за кем он следит, одного сообщника. Каждый день вечером вор теряет доверие к одному из своих сообщников. Вор будет пойман, если вечером $m$-го дня кто-то из полицейских будет следить ровно за теми $m$ сообщниками, которым к этому времени вор все еще доверяет. Докажите, что для гарантированной поимки вора требуется не менее $2^m$ полицейских.
%(W. B. Kinnersley, D. B. West)

8. Многочлены $P$ и $Q$ степени не выше $n$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождеству \[ P(x)x^{n+1} + Q(x)(x+1)^{n+1} = 1. \] Найдите все возможные значения $Q \left( -{1}{2} \right).$
%(K. Dilcher, M. Ulas)

Младшая лига, Первый день

1. Для каждого натурального числа $m$ обозначим через $t_m$ наименьшее натуральное число, на которое $m$ не делится. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде $m + t_m.$
%(А. Голованов)

2. Все ненулевые коэффициенты многочлена $f(x)$ равны 1, а сумма коэффициентов равна 20. Могут ли 13 коэффициентов многочлена $f^2(x)$ оказаться равны 9?
%(С. Иванов, К. Кохась)

3. В полном графе на 101 вершине на каждом ребре поставлено число $+1$ или $-1.$ Известно, что сумма чисел на всех ребрах по модулю меньше 150. Докажите, что в графе найдется путь с нулевой суммой чисел на ребрах, проходящий по всем вершинам ровно по одному разу.
%(Y. Caro, A. Hansberg, J. Lauri, C. Zarb)

4. См. задачу 3 старшей лиги.

Младшая лига, Второй день

5. См. задачу 5 старшей лиги.

6. $AK$ и $BL$ - высоты остроугольного треугольника $ABC.$ На отрезке $AK$ выбрана точка $P$ таким образом, что $LK = LP.$ Прямая, проходящая через $P$ параллельно $BC,$ пересекается с прямой, проходящей через B параллельно $PL,$ в точке $Q.$ Докажите, что $\angle AQB = \angle ACB.$
%(С. Берлов)

7. Сколько натуральных чисел $N$ в диапазоне $[10, 1020]$ обладают свойством: если увеличить каждую цифру числа $N$ на 1 и полученные величины перемножить, получится число $N + 1?$
%(Ф. Бахарев)

8. В горизонтальной клетчатой полоске $1\times{n}$ на сторонах отмечены вершины всех клеток. Полоску разбивают на части, соединяя отмеченные точки отрезками, не лежащими на сторонах полоски. Отрезки не должны пересекаться во внутренних точках; верхний конец каждого отрезка должен быть расположен либо строго над нижним концом, либо правее его. Докажите, что число таких разбиений делится на $2^n.$ (Разбиение, в котором не проведено ни одного отрезка, тоже учитывается.)
%(E. Robeva, M. Sun )

tuymaada.lensky-kray.ru/ru/

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Comments

[CD_Eater]

4) надо взять точки на треугольной решётке, попадающие внутрь большооого правильного шестиугольнка
там кол-во различных попарных расстояний асимптотически стремится к 1/3 от кол-ва точек