Финское национальное математическое соревнование для старшеклассников

[wpoms.]

Финское национальное математическое соревнование для старшеклассников Финское национальное математическое соревнование для старшеклассников (Lukion matematiikka­kilpailu) проводится MAOL, финской ассоциацией учителей математики, физики, химии и информатики. С 1997 года соревнование проводится в два раунда: В первом раунде, который проводится для трёх возрастных групп, определяются школьники, которые примут участие в финале. Квота для самых старших - 15, для следующей по возрасту категории - 4 и для самой юной - 1. В финале всем предлагаются одинаковые задания, но итоги подводятся отдельно для каждой возрастной группы. Задачи олимпиады

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Final round, 2016/17

1. При делении целого числа $m$ (с остатком) на целое число $n$ получили частное 22 и остаток 5. Деление продолжили для получения первой цифры после запятой числа $\dfrac{m}{n}$ и получили 4 и в остатке 2. Найдите $m$ и $n.$
обсуждение

2. Найдите $x^2 + y^2$ и $x^4 + y^4,$ если $x^3 + y^3 = 2$ и $x + y = 1.$
обсуждение

3. Рассмотрим положительные целые числа `m` и `n` такие, что `m > n` и число `22\,220\,038^m - 22\,220\,038^n` оканчивается на 8 нулей. Докажите, что `n > 7`.
обсуждение

4. Пусть $m > 1$ будет положительным целым числом. Игра HAUKKU($m$) между Акселем и Элиной проходит так: Аксель начинает и игроки ходят поочерёдно. В начале игры на доске выписаны все делители числа $m.$ Ход заключается в выборе одного из оставшихся на доске чисел, после чего выбранное число и все его кратные стираются с доски. Игрок, которому приходится выбрать число 1, проигрывает. Докажите, что начинающий игру Аксель имеет выигрышную стратегию в игре HAUKKU($m$) для всех $m > 1,\ m \in \Z.$}
обсуждение

5. На окружности выбраны точки $A$ и $B$ так, что $AB$ не является диаметром. Проведены касательные к окружности в точках $A$ и $B,$ пересекающиеся в точке $T.$ Далее, выбрали диаметр $XY$ так, что отрезки $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Q.$ Покажите, что точки $A, B$ и $Q$ лежат на окружности с центром $T.$
обсуждение