a. Номер телефона Нильса состоит из 8 различных цифр. Он написал на 28 карточках предложения вида “Цифра $a$ стоит раньше цифры $b$ в моем телефонном номере” --- по одному для каждой пары цифр в его телефонном номере. Сколько карт может показать вам Нильс так, чтобы не раскрыть свой номер? b. На бесконечной сетке из правильных треугольников Нильс и Генрих играют в придуманную ими игру. Каждый раз, после того как Нильс выберет треугольник и нарисует $\times$ в нем, Генрих выбирает треугольник и рисует в нем $\circ.$ Если игрок получает четыре в ряд в некотором направлении, то он выигрывает игру.  Определите, может ли один из игроков обеспечить себе победу, или оба игрока могут помешать выиграть сопернику. |  |
О последовательности $a_n$ известно, что $a_0 = 2,$ $a_1 = 15,$ и $a_{n+2} = 15a_{n+1} + 16a_n$ для $n \geq 0.$ Докажите, что существует бесконечно много целых чисел $k$ таких, что $269\ |\ a_k.$ | |
a. Найдите все функции `f : RR \to RR` такие, что `f(x)*f(y) = f(x*y) + x*y` для всех `x, y \in RR`. b. Найдите все функции `f : RR \to RR` такие, что `f(x)*f(y) = f(x + y) + x*y` для всех `x, y \in RR`. | |
В шахматном турнире каждая пара игроков сыграла одну игру друг против друга. За поражение очков не давали, за выигрыш победитель получал одно очко, ничья приносила `1/2` очка. После завершения турнира оказалось, что в любой группе из трёх участников есть хотя бы один, набравший `1+1/2` очка в играх против двух других. Какое наибольшее количество игроков могло принимать участие в турнире? |  |
Небольшой (2400 страниц, 11 Мб) сборник, содержащий 3790 заданий и решений математической олимпиады ГДР, и другие интересные материалы находятся на сайте Mathematik alpha.Пусть $A, B, C$ и $D$ обозначают цифры четырёхзначного числа $n = ABCD.$ Найдите наименьшее $n$ большее 2017 такое, что существует целое число $x$ равное $\sqrt{A + \sqrt{B + \sqrt{C + \sqrt{D + x}}}}.$ | |
На рисунках показаны дуга $l$ единичной окружности и две области $A$ и $B.$ Докажите, что сумма площадей $A$ и $B$ численно равна длине $l.$  | |
У Георга есть доска, на которой написаны числа от 1 до 50. Георг может вычеркнуть число, если оно может получено из числа 2 с помощью нескольких операций, каждая из которых есть либо умножение на 10 либо вычитание 3. Какие числа может вычеркнуть Георг? Пример: Георг может вычеркнуть 26 так как оно может быть получено из 2 умножением на 10, вычитанием 3 три раза, умножением на 10 и вычитанием 3 двадцать восемь раз.  | |
\
