Последовательность

[wpoms.]

О последовательности $a_n$ известно, что $a_0 = 2,$ $a_1 = 15,$ и $a_{n+2} = 15a_{n+1} + 16a_n$ для $n \geq 0.$ Докажите, что существует бесконечно много целых чисел $k$ таких, что $269\ |\ a_k.$

@темы: Теория чисел

Comments

[kostyaknop]

Последовательность состоит из чисел 16^k+(-1)^k, а 269 простое число. Согласно малой теореме Ферма 2^{268n}-1 делится на 269 при всех n. Но такие значения
встречаются в последовательности при каждом нечётном n, потому что k=67n.