Доказать неравенство

[wpoms.]

Пусть `a,b,c > 0` и `abc \ge 1`. Докажите, что `(1)/(a^2+2b^2+3) + (1)/(b^2+2c^2+3) + (1)/(c^2+2a^2+3) \le 1/2.`

@темы: Доказательство неравенств

---

North Mathematics Star of Hope Invitational 2019

[wpoms.]

1. Найдите все положительные целые числа $x,y,$ удовлетворяющие равенству: $3^x+x^4=y!+2019.$

2. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A,B.$ Диаметр $AC$ окружности $O_1$ пересекает $O_2$ в точке $E,$ диаметр $AD$ окружности $O_2$ пересекает $O_1$ в точке $F.$ $CF$ пересекает $O_2$ в точке $H,$ $DE$ пересекает $O_1$ в точках $G,H,$ $GH$ пересекает $O_1$ в точке $P.$ Докажите, что $PH=PK.$

3. Даны целое число $n$ ($n\geq2$) и действительные числа $a_1,a_2,...,a_n$ такие, что для всех $i = 1, 2, ..., n$ выполняются условия \[ a_i \neq -1, a_{i+2} = \frac{a_i^2+a_i}{a_{i+1}+1}. \] Докажите, что $a_1 = a_2 = ... = a_n.$
Примечание. $a_{n+1}=a_1,$ $a_{n+2}=a_2.$

4. Менеджер руководит работой 8 сотрудников. Однажды он провел несколько встреч с сотрудниками.
(1) Каждая встреча длилась один час. Между встречами не было перерывов.
(2) На каждой встрече присутствовали трое сотрудников.
(3) Любые два сотрудника по крайней мере один раз присутствовали на одной и той же встрече.
(4) Любой сотрудник не мог уйти с работы до завершения всех встреч с его участием.
Сколько времени мог провести на работе сотрудник, которых принял участие в наибольшем количестве встреч?

5. Окружности $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A, B.$ Биссектриса внешнего угла $\angle O_1AO_2$ пересекает $O_1$ в $C,$ $O_2$ в $D.$ Точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $BCD$, $CP\cap O_1=E,$ $DP\cap O_2=F.$ Докажите, что $PE=PF.$

6. Пусть $a,b,c,x,y,z$ являются неотрицательными действительными числами и $a+b+c = x+y+z = 1.$ Найдите наибольшее возможное значение выражения $(a-x^2)(b-y^2)(c-z^2).$

7. В стране есть $n$ городов. Все расстояния между парами городов различны. Король нумерует города и устанавливает двусторонние авиалинии между городами так: сначала он соединяет линией город 1 и ближайший к нему город; затем он соединяет линией город 2 и второй по близости к нему город; ... . Наконец, на $n-1$ шаге, он соединяет линией город с номером $n-1$ и самый далекий от него город. Докажите, что король может пронумеровать города так, чтобы он мог добраться из любого города страны в любой другой город на самолете.

8. Для положительного целого числа $n$ определим $f(n)$ как наименьшее положительное число, которое не делит $n.$
Рассмотрим последовательность $(a_n)$: $a_1 = a_2 = 1,$ $a_n = a_{f(n)}+1$ ($n\geq3$). Например, $a_3 = a_2+1 = 2,$ $a_4 = a_3+1 = 3.$
(a) Докажите, существует положительное целое число $C$ такое, что для любого положительного целого числа $n$ выполняется неравенство $a_n\leq C.$
(b) Найдутся ли положительные целые числа $M$ и $T$ такие, что для любого положительного целого числа $n\geq M$ выполняется равенство $a_n = a_{n+T}.$

@темы: Олимпиадные задачи

---

Порядок действий

[rom7]

Ув, сообщество, кто скажет, как все правильно. Врод бы ответ 16 очевиден, но такие дискуссии....
24:6(8-4)

---

комбинаторика

[marina1987]

Помогите понять, в чем разница двух задач. Почему в одном случае сочетание, а в другом размещение.
Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену . Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?
Из семи различных книг выбирают четыре. Сколькими способами это можно сделать?
Спасибо большое

---

Значение выражения

[wpoms.]

Пусть числа $a,b,c$ удовлетворяю равенствам `b=(a+c)(a+1),` `a=(b+c)(c+1}),` `c=(a+b)(b+1).` Найдите все возможные значения выражения $(a+1)(b+1)(c+1).$

@темы: Олимпиадные задачи

---

Международная Жаутыковская олимпиада 2020

[wpoms.]

Натуральное число $n$ таково, что ни при каких натуральных $a$ и $b$ число $2^a3^b+1$ не делится на $n$. Докажите, что $2^c+3^d$ также не делится на $n$ ни при каких натуральных $c$ и $d$. %( А. Голованов )

В множестве из 20 элементов выбраны $2k+1$ различных семиэлементных подмножеств, каждое из которых пересекается ровно с $k$ другими выбранными подмножествами. При каком наибольшем $k$ это возможно? %( А. Голованов )

Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство $AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA.$ %( Н. Седракян )

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, а $CN$ — биссектриса. Прямая $CN$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $M$. Прямая $\ell$ параллельна прямой $AB$ и касается вписанной окружности треугольника $ABC$. Точка $R$ на прямой $\ell$ такова, что $CI \perp IR$. Описанная окружность треугольника $MNR$ вторично пересекает прямую $IR$ в точке $S$. Докажите, что $AS=BS$. %( М. Кунгожин )

Пусть $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел. Найдите все функции $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, удовлетворяющие условию $f(4x+3y)=f(3x+y)+f(x+2y)$ при всех целых $x$ и $y$. %( И. Воронович )

На доске $n\times n$ ($n>2$) некоторые клетки чёрные, а остальные белые. В каждой белой клетке записано количество чёрных клеток, имеющих с ней хотя бы одну общую вершину. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех записанных чисел. %( Н. Седракян )

Результаты в личном зачете
Результаты в командном зачете
Задачи и решения

@темы: Новости

---

Taumatawhakatangihangakoauauotamateaturipukakapikimaungahoronukupokaiwhenuakitanatahu

[wpoms.]

Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке X. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, прямые PX и AD пересекаются в точке Q, углы ABX и XCD прямые. Докажите, что QP является биссектрисой угла BQC.

@темы: Планиметрия

---

Комплекты заданий,

[wpoms.]

предлагавшихся семиклассникам на муниципальном этапе в этом учебном году

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Интересные пары

[wpoms.]

На координатной плоскости даны точки $A_1, A_2 , \ldots, A_n$ с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Пару $(A_i, A_j)$ назовем интересной, если обе координаты середины отрезка $A_iA_j$ являются целыми числами. Найдите наименьшее возможное количество интересных пар.

@темы: Комбинаторика

---

Найти угол

[wpoms.]

Вписанная окружность треугольника $ABC$ с центром $I$ касается соответственно сторон $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Прямая $CI$ пересекает повторно описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $P$, прямая $EF$ пересекает $CP$ в точке $T$ такой, что $PT= TI$. Найдите `/_ ABC`.

@темы: Планиметрия

---

Задача о разборчивой невесте

[asde21as1]

Как найти и посчитать количество случаев, когда невеста никого не выбирает, выбирает первого по качеству и т.д., при условии, что невеста выбирает из 5-ти претендентов и согласна на первого и второго по качеству?
Всего 120 вариантов. Но как посчитать, не перебирая все?

@темы: Линейное программирование

---

Система дифференциальных уравнений

[alligator76]

Требуется решить систему дифференциальных уравнений:

`{(dx/dt=t/y),(dy/dt=-t/x):}`

Мои действия:
Из первого уравнения получим:

`y*dx/dt=t`

Продифференцируем обе части по `t`:

`dy/dt*dx/dt+y*(d^2x)/(dt^2)=1`

Подставим данные из первого и второго уравнений:


`-t/x*dx/dt+t/(dx/dt)*(d^2x)/(dt^2)=1`


`-t*(dx/dt)^2+x*t*(d^2x)/(dt^2)=x*dx/dt`

При вводе этих данных в Wolframalpha он выдает решение: `x=c_2*exp(c_1*t^2)`, который удовлетворяет исходной системе. Но при попытке просмотреть полное решение выдает какую-то абракадабру.

Прошу помощи в том, как решать это уравнение. Каким методом? Какую подстановку сделать?

---

Корни уравнения

[wpoms.]

(11 класс) Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = x^2 + x - a^2$ ($a$ -действительное число). Докажите, что уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет по крайней мере два действительных корня. (12 класс) Рассмотрим функцию $f(x) = x^{2018} + x - a^2$ ($a$ - действительное число). Докажите, что уравнение $f(f(x)) = 0$ имеет по крайней мере один действительный корень.

@темы: Функции, Рациональные уравнения (неравенства)

---

Теория вероятностей. Выразить события через событие.

[nodiin]

Здравствуйте! Никак не могу решить задачу из-за странного, на мой взгляд, условия.
Условие:
Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, вынули последовательно без возвращения 3 шара. Событие А1 - "1-ый шар белый". Выразите через А1 события:
1) "Вынули ровно 2 белых шара"
2) "Среди вынутых шаров оказался, по крайней мере, один белый"
3) "Среди вынутых шаров оказался, по крайней мере, один черный"
4) "Все вынутые шары одного цветы"

Условие звучит именно так, слово в слово. Именно событие А1. Если бы в условии были даны события Ai - "i-тый шар белый", то выразить через них то что надо несложно. Но в задаче конкретно A1, и я не знаю что делать, помогите пожалуйста. Заранее спасибо!

@темы: Теория вероятностей

---

Доказать неравенство

[wpoms.]

Пусть $x, y, z$ такие действительные числа, что $0 \le x, y, z \le 1$. Покажите, что $\frac{x}{y + z + 1} + \frac{y}{z + x + 1} + \frac{z}{x + y + 1} \le 1 - (1 - x)(1 - y)(1 - z)$

@темы: Доказательство неравенств

---

Равнобедренная трапеция

[Alemand]

Подскажите, пожалуйста, есть решение следующей задачи без использования уравнения четвертой степени:
В равнобедренной трапеции боковые стороны равны 10, большее основание 16, площадь 80. Найти меньшее основание.

---

Вписанная сфера

[wpoms.]

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается каждой грани в ее центре тяжести. Покажите, что тетраэдр является правильным.

@темы: Стереометрия

---

[Trotil]

Широко известна задача о трёх мудрецах.

Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и обратились к четвертому, чтобы он их рассудил. Судья сообщил мудрецам, что у него есть три белых колпака и два черных, после чего надел каждому колпак на голову так, чтобы каждый видел только колпаки двух других мудрецов. Мудрецам требовалось угадать цвет колпака на собственной голове. Через некоторое время один из мудрецов сообщил, что у него на голове белый колпак и выиграл состязание. Как он смог догадаться?

На видео ниже объясняется решение аналогичной задачи о пяти мудрецах (вместо колпаков - красные/зеленые бумажки на лбу):

Зубков: www.youtube.com/watch?v=f7e0ddWsH8E&t=743s
Трушин: www.youtube.com/watch?v=f2VLdwU9xc4&t=1381

Если бы на лбу у меня была бы красная бумажка, то все остальные догадались бы на день раньше, если на лбу у нас были бы две красные бумажки, то остальные догадались бы на два дня раньше и так далее. Считается, что менее, чем за пять дней догадаться нельзя.

Меня смущает индукционный переход от КЗЗЗЗ к случаям KЗЗKK и KЗKKK.
Ведь явно случаев KЗЗKK и KЗKKK нет, каждый видит 4 зелёные бумажки перед собой.

Рассуждение сводится к тому, что в первый или во второй день никто не ушёл, значит перед нами не KЗККК и не KЗЗКК, так они и так об этом знали, так как перед собой видели зелёные бумажки перед собой. То есть они должны догадаться быстрее. Где я не прав?

---

Нечто с синусами

[wpoms.]

Пусть $A + B + C$ кратно $\pi$. $x, y,$ и $z$ — действительные числа. Пусть $x \sin(A) + y \sin(B) + z \sin(C) = x^2 \sin(2A) + y^2 \sin(2B) + z^2 \sin(2C) = 0.$ Покажите, что $x^n \sin(nA) + y^n \sin(nB) + z^n \sin(nC) = 0$ для любого целого положительного $n$.

@темы: Тригонометрия, Теория чисел

---

Сообразим на троих

[wpoms.]

Найдите максимально возможное количество трехчленных арифметических прогрессий в монотонной последовательности из $n$ различных действительных чисел.

@темы: Прогрессии, Комбинаторика