Пусть $P$ будет серединой стороны $AB$ треугольника $ABC.$ Луч, симметричный лучу PC относительно прямой $AB$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D.$ Пусть $E$ будет второй точкой пересечения прямой $CP$ с описанной окружностью треугольника $ABC.$ Докажите, что $|AE| = |BD|.$ |  |
Сергей Слюсарев. Довольно вычурные «Начала» ЕвклидаНайдите все пары положительных целых чисел $a$ и $b$ таких, что $a - b = 101$ и $ab$ является квадратом целого числа. | |
Найдите все пары действительных чисел `x` и `y`, которые удовлетворяют уравнениям `x + 1/(y - x) = 1`; `y + 1/(x - y) = 2`. | |
Даны многочлены `P(x)`, `Q(x)`, `R(x)` и `S(x)` такие, что `P(x^5) + xQ(x^5) + x^2 R(x^5) = (x^4 + x^3 + x^2 + x +1) S(x).` Докажите, что `x-1` является делителем многочлена `P(x).` |  |
Пусть $PABC$ - треугольная пирамида, в которой $\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 90^o$, а сумма длин шести рёбер равна $S$. Найдите максимальное значение объёма такой пирамиды. | |
Найдите все целочисленные решения уравнения `a^2+b^2+c^2=a^2b^2.` | |
