Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Докажите, что из любых 17 натуральных чисел можно выбрать 9 чисел так, чтобы их сумма делилась на 9. |  |
пятница, 03 августа 2018
понедельник, 30 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Каждую вершину куба покрасили в красный или синий цвет. Затем каждую его грань красили по следующему правилу: если в красный цвет покрашены 3 или 4 вершины грани, то грань красят в красный цвет, если в синий цвет покрашены 3 или 4 вершины грани, то грань красят в синий цвет, если у грани по две вершины каждого цвета, то её красят в пурпурный цвет.
a) Могли ли получиться 3 красных и 3 синих грани?
b) Могли ли получиться 5 пурпурных и 1 красная грань?
a) Могли ли получиться 3 красных и 3 синих грани?
b) Могли ли получиться 5 пурпурных и 1 красная грань?
пятница, 27 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Три окружности $\omega_1,$ $\omega_2$ и $\omega_3$ пересекаются в точке $O.$ Попарно они пересекаются в точках $P(\omega_1\ \text{и}\ \omega_2),$ $R(\omega_2\ \text{и}\ \omega_3)$ и $S(\omega_1\ \text{и}\ \omega_3).$ На окружности $\omega_1$ выбрана точка $A,$ принадлежащая дуге $PS,$ не содержащей точку $O,$ прямая $AP$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $B,$ и прямая $AS$ повторно пересекает $\omega_3$ в точке $C.$ Докажите, что точки $B,$ $R$ un $C$ лежат на одной прямой. | |
четверг, 26 июля 2018
На плечах гигантов, на спинах электронов
Помогите с детской задачей по комбинаторике ))
Точнее, по теории вероятностей, но дело всё же в комбинаторике.
Задача такая. Есть 10 человек, которые стоят в кругу. На 4 из них надеты белые перчатки, на 6 — черные.
Какова вероятность, что никакие два человека в белых перчатках не стоят вместе.
Формула классической вероятности `P(A)=m/n`.
И вот, проблемы уже начинаются с расчетом `n`.
Если считать просто "по формуле" перестановки с повторениями, то получаем всего перестановок таких людей: `{10!}/{4!*6!}`
И еще разделим на 10 из-за того, что они стоят в кругу. Имеем: `n={9!}/{4!*6!}`.
Я здесь не уверена до конца, что так можно...
В учебнике написан вот такой способ расчета `n`.
Ставим в круг 6 человек в черных перчатках (это можно сделать единственным способом: просто поставить). Расставляем в промежутки 4 человека в белых перчатках. Имеем: 6 способов для расстановки первого, 7 для второго, 8 для третьего, 9 для четвертого. И всё это разделим на 4!, так как они неразличимы.
Получим:
`n={6*7*8*9}/{4!}={9!}/{4!*5!}`
Т.е. с моим ответом не сходится.
Хорошо, но если мы сделаем наоборот: сперва расставим белых, потом черных?
Тогда имеем по той же логике:
`n={4*5*6*7*8*9}/{6!}={9!}/{3!*6!}`
Что я делаю не так?
Точнее, по теории вероятностей, но дело всё же в комбинаторике.
Задача такая. Есть 10 человек, которые стоят в кругу. На 4 из них надеты белые перчатки, на 6 — черные.
Какова вероятность, что никакие два человека в белых перчатках не стоят вместе.
Формула классической вероятности `P(A)=m/n`.
И вот, проблемы уже начинаются с расчетом `n`.
Если считать просто "по формуле" перестановки с повторениями, то получаем всего перестановок таких людей: `{10!}/{4!*6!}`
И еще разделим на 10 из-за того, что они стоят в кругу. Имеем: `n={9!}/{4!*6!}`.
Я здесь не уверена до конца, что так можно...
В учебнике написан вот такой способ расчета `n`.
Ставим в круг 6 человек в черных перчатках (это можно сделать единственным способом: просто поставить). Расставляем в промежутки 4 человека в белых перчатках. Имеем: 6 способов для расстановки первого, 7 для второго, 8 для третьего, 9 для четвертого. И всё это разделим на 4!, так как они неразличимы.
Получим:
`n={6*7*8*9}/{4!}={9!}/{4!*5!}`
Т.е. с моим ответом не сходится.
Хорошо, но если мы сделаем наоборот: сперва расставим белых, потом черных?
Тогда имеем по той же логике:
`n={4*5*6*7*8*9}/{6!}={9!}/{3!*6!}`
Что я делаю не так?
вторник, 24 июля 2018
На плечах гигантов, на спинах электронов
С днем рождения All_ex!
Счастья, здоровья, благополучия Вам и Вашим близким!
Пусть все начинания будут успешными, пусть все мечты сбываются!
Пусть Ваши студенты Вас только радуют!
Мы Вас любим и гордимся Вами 
понедельник, 23 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Какое из чисел $(\sqrt{7})^{\sqrt{5}}$ или $(\sqrt{5})^{\sqrt{7}}$ больше? | |
среда, 18 июля 2018
Uriel_01.179
Задача 8-го класса по теме "Многоугольники" из пособия для углубленного изучения математики В.Ф. Бутузова и С.Б. Кадомцев ( ссылка на учебник www.studmed.ru/butuzov-vf-kadomcev-sv-i-dr-plan... )
"Может ли сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри четырехугольника, до его вершин быть больше периметра этого четырехугольника ?
Ответ обоснуйте." Чертежи
Если взять случайную точку O внутри данного четырехугольника ABCD и провести расстояния от точки O до вершин A,B,C,D то данный четырехугольник разделится на 4 треугольника: ABO,BOD,COD,ACO( рис. 1). Из неравенства треугольников получаем, что AC AB/2+BD/2+CD/2+AC/2 ). Из выше сказанного следует , что произвольная точка внутренней области многоугольника не подойдет, значит нужна какая то особая точка внутр. области ABCD, но что это может быть за точка ? Я рассмотрел такую O, что расстояние между O и одной из вершин ( на рис. 2 это вершина D ) настолько мало, что им можно пренебречь( таким образом я хотел исключить из неравенства расстояние OD ), но в этом случае мы получим неравенства AB<AO+OB; AC
"Может ли сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри четырехугольника, до его вершин быть больше периметра этого четырехугольника ?
Ответ обоснуйте." Чертежи
Если взять случайную точку O внутри данного четырехугольника ABCD и провести расстояния от точки O до вершин A,B,C,D то данный четырехугольник разделится на 4 треугольника: ABO,BOD,COD,ACO( рис. 1). Из неравенства треугольников получаем, что AC AB/2+BD/2+CD/2+AC/2 ). Из выше сказанного следует , что произвольная точка внутренней области многоугольника не подойдет, значит нужна какая то особая точка внутр. области ABCD, но что это может быть за точка ? Я рассмотрел такую O, что расстояние между O и одной из вершин ( на рис. 2 это вершина D ) настолько мало, что им можно пренебречь( таким образом я хотел исключить из неравенства расстояние OD ), но в этом случае мы получим неравенства AB<AO+OB; AC
вторник, 17 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Сколько всего пятизначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей? | |
четверг, 12 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Шесть туристов совершили несколько поездок в шесть стран, во время одной поездки каждый турист посещал только одну страну. Оказалось, что если выбрать любые три из этих стран, а также любых трех туристов, то, по крайней мере, один из них был в одной из этих стран. Чему равно наименьшее возможное общее количество поездок? | |
суббота, 07 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Через два дня участники увидят интересные задачи. Пожелаем им удачи!
Можно отметить, что в этом году наша страна уже заняла первое место читать дальше
Можно отметить, что в этом году наша страна уже заняла первое место читать дальше
Вопрос: Какое место займет Россия по набранным баллам?
| 1. Первое | 4 | (50%) | |
| 2. Второе | 2 | (25%) | |
| 3. Третье | 1 | (12.5%) | |
| 4. Другое, напишу в комментариях | 1 | (12.5%) | |
| Всего: | 8 | ||
ЗАДАНИЕ:
Определить такое аффинное преобразование параболы y^2=1/2 x в себя, которое переводит точки (8; - 2), (2;- 1) соответственно в точки (32;- 4), (18;- 3). Система координат аффинная.
Как я пытаюсь решать:
афинное преобразование:
x`=a1x+b1y+c1
y`=a2x+b2y+c2
Подставляю координаты данных точек и их образов:
32= 8a1-2b1+c1
-4= 8a2-2b2+c2
18= 2a1-b1+c1
-3=2a2-b2+c2
откуда:
8a1-2b1+c1=32
2a1-b1+c1 =18
и
8a2-2b2+c2=-4
2a2-b2+c2=-3
Но! В каждой системе 2 уравнения, и 3 неизвестных, так что этого недостаточно.
Понимаю, что нужно как-то использовать тот факт, что искомое афинное преобразование переводит параболу в саму себя. Но не знаю как. Подскажите, пожалуйста, идею!
Определить такое аффинное преобразование параболы y^2=1/2 x в себя, которое переводит точки (8; - 2), (2;- 1) соответственно в точки (32;- 4), (18;- 3). Система координат аффинная.
Как я пытаюсь решать:
афинное преобразование:
x`=a1x+b1y+c1
y`=a2x+b2y+c2
Подставляю координаты данных точек и их образов:
32= 8a1-2b1+c1
-4= 8a2-2b2+c2
18= 2a1-b1+c1
-3=2a2-b2+c2
откуда:
8a1-2b1+c1=32
2a1-b1+c1 =18
и
8a2-2b2+c2=-4
2a2-b2+c2=-3
Но! В каждой системе 2 уравнения, и 3 неизвестных, так что этого недостаточно.
Понимаю, что нужно как-то использовать тот факт, что искомое афинное преобразование переводит параболу в саму себя. Но не знаю как. Подскажите, пожалуйста, идею!
четверг, 05 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан треугольник `ABC,` `/_A = 50^@,` `/_B = 60^@,` `/_C = 70^@.` точка `P` лежит на стороне `AB,` `P != A,` `P != B,` вписанная окружность треугольника `ABC` пересекается с вписанной окружностью треугольника `ACP` в точках `U` и `V` и пересекается с вписанной окружностью треугольника `BCP` в точках `X` и `Y,` прямые `UV` и `XY` пересекаются в точке `K.`
Найдите величину угла `UKX.`
Найдите величину угла `UKX.`
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Отрезки `AB` и `CD` расположены в пространстве и могут не лежать в одной плоскости, точка `X` - середина `AB,` она не лежит на прямой `CD,` точка `Y` - середина `CD,` она не лежит на прямой `AB.` Докажите, что `2|XY| <= |AD| + |BC|.` В каком случае достигается равенство?
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан треугольник `ABC`, `r_A` - прямая, проходящая через середину `BC` и перпендикулярная биссектрисе `/_BAC,` `r_B` и `r_C` определены аналогично, `H` - ортоцентр `ABC,` `I` - центр вписанной окружности `ABC.` Пусть точки пересечения прямых `r_A`, `r_B`, `r_C` определяют некоторый треугольник. Докажите, что центр его описанной окружности делит пополам отрезок `HI.`
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан треугольник `ABC,` `/_ CAB = 2/_ ABC,` точка `D` лежит внутри треугольника `ABC,` `|AD| = |BD|,` `|CD| = |AC|.` Докажите, что `/_ ACB = 3/_ DCB.`
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан равнобедренный треугольник `ABC,` `AC=AB,` вписанная в него окружность касается в точках `X,` `Y,` `Z` его сторон `BC,` `CA,` `AB` соответственно, прямая `CZ` пересекает вписанную окружность в точках `L` y `Z,` прямая `YL` пересекает `BC` в точке `M.`
Докажите, что `XM=MC.`
Докажите, что `XM=MC.`
среда, 04 июля 2018
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, BC = CD = DE, каждая диагональ пятиугольника параллельна какой-то из его сторон.
Докажите, что (1) все углы пятиугольника равны, (2) все стороны пятиугольника равны.
Докажите, что (1) все углы пятиугольника равны, (2) все стороны пятиугольника равны.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Окружности `omega_1,` `omega_2` пересекаются в точках `P,` `Q.` Прямая, проходящая через точку `P,` пересекает `omega_1,` `omega_2` в точках `A,` `B,` соответственно. Другая прямая, параллельная `AB,` пересекает `omega_1` в точках `D,` `F,` а `omega_2` пересекает в точках `E,` `C` так, что точки `E,` `F` лежат между `C,` `D.` Пусть `X` - точка пересечения `AD` и `BE,` а `Y` - точка пересечения `BC` и `AF.` Пусть точка `R` симметрична точке `P` относительно `CD.`
Докажите, что (1) `R` лежит на `XY.` (2) `PR` является биссектрисой угла `XPY.`
Докажите, что (1) `R` лежит на `XY.` (2) `PR` является биссектрисой угла `XPY.`
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Точки `A,` `B,` `C` и `D` лежат на прямой `l` в указанном порядке, `AB = BC,` `AC = CD,` окружность `omega` проходит через точки `B` и `D,` прямая, проходящая через точку `A,` пересекает `omega` в точках `P` и `Q,` точка `Q` расположена между `A` и `P,` точка `M` - середина отрезка `PD,` а точка `R` симметрична точке `Q` относительно прямой `l,` отрезки `PR` и `MB` пересекаются в точке `N.`
Докажите, что точки `P,` `M,` `C` y `N` лежат на одной окружности.
Докажите, что точки `P,` `M,` `C` y `N` лежат на одной окружности.
Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Дан треугольник `ABC,` `AC = 31,` `AB = 22,` медианы `C C'` и `B B'` перпендикулярны друг другу. Найдите длину `BC.`
