Аффинное преобразование параболы в себя

[natali)]

ЗАДАНИЕ:
Определить такое аффинное преобразование параболы y^2=1/2 x в себя, которое переводит точки (8; - 2), (2;- 1) соответственно в точки (32;- 4), (18;- 3). Система координат аффинная.

Как я пытаюсь решать:

афинное преобразование:
x`=a1x+b1y+c1
y`=a2x+b2y+c2

Подставляю координаты данных точек и их образов:
32= 8a1-2b1+c1
-4= 8a2-2b2+c2

18= 2a1-b1+c1
-3=2a2-b2+c2

откуда:
8a1-2b1+c1=32
2a1-b1+c1 =18

и
8a2-2b2+c2=-4
2a2-b2+c2=-3

Но! В каждой системе 2 уравнения, и 3 неизвестных, так что этого недостаточно.

Понимаю, что нужно как-то использовать тот факт, что искомое афинное преобразование переводит параболу в саму себя. Но не знаю как. Подскажите, пожалуйста, идею!

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Гость]

в себя,

Куда переходит вершина?

[natali)]

Насколько понимаю, вершина переходит в саму себя. То есть (0,0) переходит в (0,0), верно?
Тогда коэффициенты с1 и с2 равны 0.
Я пробовала так решать. Тогда получаем:

8a1-2b1=32
2a1-b1=18, откуда a1=-1, b1=-20
и
8a2-2b2=-4
2a2-b2=-3, откуда a2=1/2, b2=4

Получаем формулы:
x`=-x-20y
y`=1/2x+4y

И вроде бы ура! решена задача!
Но я решила сделать проверку.
Взяла точку на параболе: (2,1), ее образ (по полученным формулам) (-22,5) и эта точка не принадлежит параболе....
А ведь парабола должна переходить в саму себя.. Вот в чем вся проблема.

[Гость]

То есть (0,0) переходит в (0,0), верно?

Скорее всего нет.

Можно в уравнение параболы вместо x,y подставить a1x+b1y+c1, a2x+b2y+c2. После упрощения должно получиться то же самое уравнение. Это позволит приравнять коэффициенты при соответствующих степенях переменных в старом и новом уравнении. В полученной системе можно определить значение нескольких переменных. Остальные определятся подстановкой координат точек, как вы это уже делали.

[Гость]

Можно в уравнение параболы вместо x,y подставить a1x+b1y+c1, a2x+b2y+c2.

Я пробовала так сделать. Получаю тождественное преобразование..
y`^2=1/2x`
(a2x+b2y+c2)^2=1/2 (a1x+b1y+c1)
a2^2x^2+b2^2y^2+c2^2+2a2b2xy+2a2c2x+2b2c2y=1/2a1x+1/2b1y+1/2c1
Перенесла на одну сторону:
a2^2x^2+b2^2y^2+c2^2+2a2b2xy+2a2c2x+2b2c2y-1/2a1x-1/2b1y-1/2c1=0

[Гость]

a2^2x^2+b2^2y^2+c2^2+2a2b2xy+2a2c2x+2b2c2y-1/2a1x-1/2b1y-1/2c1=y^2-1/2x

x^2 быть не должно, значит a2=0
b2=+1 или -1
с2=0
a1=1
b1=0
c1=0

x`=x
y`=y или -y

Но такие преобразования явно не переведут точки так, как дано по условию..

[natali)]

А вот еще вопрос: если парабола переходит в себя, то ее ось переходит в ее же ось?
y=0 и y`=0?
Тогда получится, что точка (0,0) принадлежит параболе и должна остаться на параболе после преобразования, и одновременно принадлежит оси и должна остаться на оси, т.е. и в том и другом случае она будет находиться на пересечении параболы с ее осью. И тогда (0,0) перейдет в (0,0). Или я не права в своих рассуждениях? Если да, где именно?

[Trotil]

Если построить рисунок, то видно, вершина перейдёт куда-то приблизительно в (40, -4.5).

Я так понимаю, что по двум точкам - можно получить преобразование с двумя свободными переменными и тогда уравнение параболы перейдёт в общее уравнение кривой второго порядка. Далее ниже работать с этим преобразованием.

Парабола однозначно задаётся эксцентриситетом и фокальным параметром и здесь утверждается, что любое общее уравнение кривой второго порядка можно выразить через эти два параметра.

В старом базисе и в новом эксцентриситет кривой и фокальный параметр должны совпадать. Это вроде однозначно определяет оставшиеся неизвестные.

[Trotil]

Только, наверно, эксцентриситет будет вырожден в единицу, иначе странно, что мы можем получить преобразование, в котором парабола станет гиперболой... Это противоречит здравому смыслу. Чего-то ещё не хватает.

[Гость]

Но такие преобразования явно не переведут точки так, как дано по условию..

А такие $x' = x-8y+8,\ y' = y-2$?
При этом (0;0) -> (8, -2). Последняя принадлежит y^2=1/2 x.

[Гость]

по двум точкам

В этой задаче, как оказалось, достаточно одной точки.

[Гость]

с2=0
a1=1
b1=0
c1=0

Как вы это получили?

[natali)]

Спасибо большое!
Я поняла, где был мой косяк.
Задача решена! Всем спасибо!