Система уравнений с делением с остатком

[бенгальская]

Система уравнений была получена в процессе дешифровки текста, зашифрованного методом гаммирования, таких же уравнений (с неизвестными С, А, М) я еще хоть штук 10 получить могу, а как вычислить неизвестные догадаться не могу

(A*91+C)modM=0
CmodM=1
(A+C)modM=20

@темы: Комбинированные уравнения и неравенства

---

[rom7]

Уважаемое сообщество.
Хочу уточнить, есть ли спец формула уравнения касательной к неявно заданной функции?
Обычно я непосредственно нахожу производные и выражаю в них y', но вот вижу, что по данной ссылке каким-то образом сразу подставили в формулу и получили уравнение касательной (в разделе answers)

math.stackexchange.com/questions/1287825/sqrty-...


The tangent at the point (x0,y0) of the curve f(x,y)=0 has equation
(x−x0)∂f∂x(x0,y0)+(y−y0)∂f∂x=0

@темы: Производная

---

Про треугольник

[wpoms.]

Пусть $ABC$ --- прямоугольный треугольник и $C = 90^\circ.$ Точки $D$ и $E$ выбраны на гипотенузе AB так, что $AD = AC$ и $BE = BC.$ Точки $P$ и $Q$ лежат на $AC$ и $BC$ соответственно, при этом, $AP = AE$ и $BQ = BD.$ Пусть $M$ --- середина отрезка $PQ.$ Покажите, что $M$ --- точка пересечения биссектрис треугольника $ABC$ и найдите величину угла $AMB.$

@темы: Планиметрия

---

Матрица последовательных чисел

[Груша Вильямс]

Требуется определить общую формулу для чисел в ячейках матрицы `n times n` через соответствующие координаты ячеек `i` и `j`, где `i,j={0,1,2,...,n-1}`, при условии что числа последовательные и начинаются с 1.
Пример, матрица 3x3
123
456
789

@темы: Функции

---

Олимпиада стран Залива

[wpoms.]

Олимпиада стран Залива

Олимпиада стран Залива (Gulf Mathematical Olympiad) проводится с 1433 года. В ней принимают участие сборные команды Бахрейна, Кувейта, Омана, Катара, Саудовской Аравии и Объединённых Арабских Эмиратов. Задачи для олимпиады составляют гастарбайтеры из Европы под руководством Д. Смита (Англия).

@темы: Олимпиадные задачи

---

Турнир городов. Осень. Базовый вариант

[wpoms.]

Турнир городов. Осень. Базовый вариант

8-9 классы

Задача 1
Имеется 5 ненулевых чисел. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что пять сумм положительны и пять сумм отрицательны. Сколько произведений положительны и сколько – отрицательны?

Задача 2
Существуют ли такие 99 последовательных натуральных чисел, что наименьшее из них делится на 100, следующее делится на 99, третье – на 98, … , последнее делится на 2?


Задача 3
B ряд лежат 100 внешне одинаковых монет. Среди них ровно 26 фальшивых, причём они лежат подряд. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – не обязательно одинаково, но они легче настоящих. Как за одно взвешивание на двухчашечных весах без гирь найти хотя бы одну фальшивую монету?

Задача 4
На одной из клеток поля 8 × 8 зарыт клад. Вы находитесь с металлоискателем в центре одной из угловых клеток этого поля и передвигаетесь, переходя в центры соседних по стороне клеток. Металлоискатель срабатывает, если вы оказались на той клетке, где зарыт клад, или в одной из соседних с ней по стороне клеток. Можно ли гарантированно указать клетку, где зарыт клад, пройдя расстояние не более 26?

Задача 5
Окружность радиуса 1 нарисована на шахматной доске так, что целиком содержит внутри белую клетку (сторона клетки равна 1). Докажите, что участки этой окружности, проходящие по белым клеткам, составляют суммарно не более 1/3 от её длины.

10-11 классы

Задача 1.
Существуют ли нецелые числа $x$ и $y,$ для которых $\{x\}\cdot\{y\} = \{x+y\}?$ (Здесь $\{x\}$ --- дробная часть числа $x.$)

Задача 2.
В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL.$ Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K.$ Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Задача 3.
Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина --- отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Задача 4.
а) Может ли некоторый шар высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3, 4?
б) Тот же вопрос, если радиус шара должен быть равен 5.

Задача 5.
В левой нижней клетке доски $100 \times 100$ стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход --- горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки $A$ и $B,$ что фишка не менее двух раз делала ход из $A$ в $B.$

@темы: Порешаем?!

---

Винни-Пух сел на диету

[wpoms.]

5525. Собралось несколько друзей, некоторые из которых всегда говорят правду, а остальные всегда лгут. Докажите, что вместе они могут проскандировать одну фразу, по которой посторонний сможет определить число лгущих. %М.А. Дидин (Москва) 5526. Винни-Пух сел на диету и каждый день ест на две банки варенья меньше и на одну банку мёда больше, чем вчера. Всего за время диеты он съел 484 банки варенья и 275 банок мёда. Сколько дней длилась диета? %Е.В. Бакаев (Москва) 5527. Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle{B} = 120^\circ.$ Точки $K \in [AB]$ и $L \in [BC]$ взяты так, что $AK = CL$ и $\angle{KML} = 120^\circ,$ где $M$ --- середина стороны $AC.$ Докажите равенство $KL = \frac{1}{2}AC.$ %Е.В. Бакаев (Москва) 5528. Последовательность натуральных чисел $(a_n)$ строится с помощью рекуррентного отношения $a_{n+1} = a_n + d_n,$ где $d_n$ --- наибольший общий делитель чисел $a_n$ и $n.$ Верно ли, что при любом значении $a_1$ последовательность $(d_n)$ не содержит ни одного составного числа? %Ю.А. Игнатов (Тула) 5529. Плоскую фигуру можно разрезать на $n$ «доминошек» $1\times2.$ Из неё вырезали кусок, равный такой доминошке, и от неё осталась связная фигура, которую уже нельзя разрезать на такие доминошки. При каком наименьшем значении $n$ это возможно? %Ю.А. Игнатов (Тула) 5530. Докажите, что неравенство $\sum_{k=1}^{\infty} \left[\frac{t}{2^{k+1}} + \frac{1}{2}\right] \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \left[\frac{t}{2^{k+1}}\right]$ справедливо для любого $t > 0.$ ($[a]$ --- целая часть числа $a.$) %Е.И. Знак (С.-Петербург) Математика в школе №7, 2017

@темы: Порешаем?!

---

[sick_alien]

Здравствуйте уважаемое сообщество.

Делаю курсовую работу по численным методам, третий курс Каунасского Технологического Университета.

Задача – вычисление элементарных функций, ещё точнее – у меня в задании – экспоненциальная функция

`f(x)=e^(x)`

Что я сделал и с чем разобрался:

1) сделал реализацию вычисления разложением в рад Маклорена

`e^(x) = 1 + 1/(1!) x + 1/(2!) x^(2) + 1/(3!) x^(3) + ….+1/(m!) x^(m)`

`p(x) = a_0 +a_1 x + a_2 x^(2)+ a_3 x^(3) + …..+ a_n x^(n)`

и рассчитываю значение функции используя рекуррентную формулу

`F(x) = a_k + a_(k-1) x/k`

2) сделал реализаицию вычисления степенного ряда по схеме Горнера

`p(x) = a_0 + x (a_1 + x (a_2 + …. + x (a_(n-1) + a_n x )))`

(тот же степенной ряд, но коэффициенты рассчитываются заранее, число членов задано)

`b_n := a_n`
`b_(n-1) := a_(n-1) + b_n x_0`
`……...`
`b_0 := a_0 + b_1 x_0`
`p(x_0) = b_0`

3) реализовал редукцию аргумента, для вычисления в интервале

`e^x = a e^(x- ln a)`

Что нужно сделать:

реализовать вычисление экспоненты полиномами Чебышева.

Мне понятно всё. Нашёл литературу:

[1] Благовещенский Ю.В. - Вычисление элементарных функций на ЭВМ, Киев, 1977
[2] К. Ланцош – Практические методы прикладного анализа, 1956

в [1] просто дана формула, для вычисления, тупо переписанная из [2], без каких либо объяснений. Я нашёл книгу Ланцоша, и попытался разобраться. На стр. 467-468 дан пример приложения расчёта экспоненциальной функции смещёнными полиномами Чебышева и ‘tau’ - методом.


Вот эта формула:

`y_n (x) = tau sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`

, где

`S_m(x) = 1 + x + x^2 / 2! + …. + x^m / m!`

и тогда мы получаем

`y_n = (sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)) / ( sum_(m=0)^(n) c_n^m m!)`

Решение оказывается взвешенным арифметическим средних частных сумм Тейлора, где весовой функцией являются полиномы Чебышева.

Там же, в [2] выписаны 5 первых сумм, которые соответствуют формуле выше.

`y_0 = 1`

`y_1 = (1 + 2x) / 1`

`y_2 = (9 + 8 x + 8 x^2) /9`

`y_3 = (113 + 114 x + 48 x^2 + 32 x^3) / 113`

`y_4 = (1825 + 1824 x + 928 x^2 + 256 x^3 + 128 x^4) / 1825`

теперь собственно вопрос:

я разобрался, что за сумма в знаменателе. И как она вычисляется. Коэффииенты смещённого полинома чебышева я также рассчитал и реализовал программно.

Вопрос заключается в том, как рассчитывать выражение (я не понимаю):

`sum_(m=0)^(n) c_n^m m! S_m(x)`

?????? (например последние два члена для ‘y_4’ совпадают с коэффииентами смещённого ряда Чебышева, а другие как то рассчитываются)

для большей понятности распишу коэффииенты смещённого ряда Чебышева (в порядке убывания степени)

`n = 0 : 1`
`n = 1 : 2,-1`
`n = 2 : 8, -8, 1`
`n = 3 : 32, - 48, 18, -1`
`n = 4 : 128, - 256, 160, -32, 1`
`n = 5: 512, -1280, 1120, - 400, 50, -1`

например `1825` можно получить ` = 128*4! + (- 256)*3! + 160*2! + (-32)*1 + 1*1`

Please help, deadline is coming

@темы: Теория многочленов, Численные методы

---

Про коробки

[wpoms.]

Имеются 100 бесконечно вместительных коробок, в каждой из которых лежит по одной фишке. Бруно может добавить в каждую коробку так много фишек, сколько пожелает. После этого начинает выполняться последовательность шагов. На шаге 1 в каждую коробку добавляется по одной фишке. На шаге 2 фишка добавляется в те коробки, в которых содержится чётное количество фишек. На шаге 3 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 3. На шаге 4 фишка добавляется в те коробки, количество фишек в которых делится на 4. И так далее. Целью Бруно было добиться того, чтобы на каждом шаге можно было найти две коробки с разным количеством фишек. Определите, может ли Бруно достичь своей цели при каком-либо добавлении фишек до начала выполнения описанной последовательности шагов.

@темы: Дискретная математика

---

Волновой алгоритм 2

[Груша Вильямс]

Уже писал про него, один из методов поиска, он же поиск в ширину. Неэффективную реализацию написал (на поиск каждого возможного шага прочесывает всю матрицу), но с некоторыми ошибками. Исправлять потом буду, пока времени не хватает на это. Программа выводит все кратчайшие пути. Все. Но тут сам собой вопрос напрашивается -- а все это сколько? И само собой появилось желание, чтобы программа количество кратчайших путей считала. И сколько я не пытался так ничего и не получилось. Решил пойти от простого, вывести формулу математически для какого-нибудь простого случая, а конкретно для матрицы без препятствий, начало в левом верхнем углу, конец -- в правом нижнем углу. Но и тут был нежданный провал. Вручную посчитал для 3x3 и 4x4 соответственно 5 и 20 путей. Формулу не вывел и, более того, даже не понял как подходить к ней. Кто-нибудь сталкивался с этой задачей? В интернете увы ничего найти не удалось. Любые ссылки, в том числе и на английскую литературу пойдут мне на пользу. Хотелось бы пока в оффлайне думать над решением.

@темы: Теория графов

---

Помогите разделить кватернион на вращения по разным осям.

[Alerr]

Привет всем, давненько сюда не заглядывал)!
Есть вращения Rot1 и Rot2.
Нужо найти вращение (кватернион), который бы удовлетворял:
Rot2 = Rot1 * searchRot;
searchRot - это то что нужно найти.

Второе важное условие задачи: нужно разбить searchRot на вращения по разным осям, так чтобы:
searchRot = searchRot_x * searchRot_y * searchRot_z;

searchRot нашел достаточно быстро:
Rot1 * searchRot = Rot2;
Rot1^(-1) * Rot1 * searchRot = Rot1^(-1) * Rot2;
searchRot = Rot1^(-1) * Rot2;

А вот как разбить вращение на разные составляющие по трем осям - вообще не знаю, уже 2 дня безрезультатно бьюсь с этим.
Пробовал получить угол (ang = ACos(searchRot.w) * 2), исходя из:
q.w = Cos(rotate_angle / 2);// <
q.x = rotate_vector.x * Sin(rotate_angle / 2);
q.y = rotate_vector.y * Sin(rotate_angle / 2);
q.z = rotate_vector.z * Sin(rotate_angle / 2);
Чтобы нати вращения вдоль какой-то оси пробовал (хотя вообще не уверен в верности того что делаю) ang умножать на "вклад" оси во вращение (q должен быть нормализован):
ang = ang * q.x (например вдоль ox).

Пока получаю невесть что, но не то что нужно.
Подскажите как разбить кватернион на вращения вдоль разных осей.

@темы: Высшая алгебра, Высшая геометрия, Комплексные числа

---

День Учителя

[All_ex]

Дорогие Сообщники, Коллеги и все кто к ним примкнул!

Поздравляю всех с ДНЁМ УЧИТЕЛЯ!

Желаю крепчайшего здоровья, профессиональных и прочих успехов, ...

а также ...

а также ...



получать удовольствие от проделанной работы ...

беречь себя и не нервничать понапрасну...

@темы: Праздники

---

Иррациональное неравенство

[yapogajiva]

sqrt(3x-x^2)<4-x
Помогите, пожалуйста, как решать? Можно ли возвести во 2 степень?

@темы: Иррациональные уравнения (неравенства)

---

Уравнение

[yapogajiva]

(x-2)(x+5)=(x-1)^2
Можно ли разделить обе части на (x-1)^2 или нужно раскрыть?
Пробовал и так, и так. Ответ один и тот же. Корень вроде не пропадает. Но как правильнее?
Спасибо

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

---

pqr метод

[Atakga]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста в чем состоит суть pqr метода доказательства неравенств. Спасибо за понимание.

@темы: Олимпиадные задачи, Доказательство неравенств

---

Задача

[rom7]

Здравствуйте,

хочу свериться, правильно ли я делаю у сообщества. Дана фигура. Её объем 570

Задачка стандартная. Нужно найти минимальные параметры на рисунке, чтобы площадь всей поверхности была минимально при данном объеме.
Взял Sa площадь поверхности, выразил её через 3 переменных C, r, S
Нашел 3 частные производные по dC, dr, dS, приравнял к нулю и получились громадные уравнения, которое проблематично решить, т.к. там есть 5-я степень r
И все из-за шарика, который врезается в цилиндр, т.к. само нахождение объема этого сегмента громоздко

@темы: Производная

---

Найти периодичность тригонометрической функции

[yapogajiva]

y=4sinx+sin(x-pi)+3sin(x+pi)

@темы: Тригонометрия, Школьный курс алгебры и матанализа, Исследование функций

---

Помогите с параметром

[наталья1011]

Найти все целые х, которые при любом значении параметр а принадлежащем промежутку (1; 2) удовлетворяют неравенству (2а-1)х^2<(а+1)х+3а. В ответ запишите сумму таких значений.

@темы: Задачи с параметром

---

Доказать по определению предел

[IWannaBeTheVeryBest]

Хотел бы просто освоить эту технику более менее.
`lim_{x -> 3} (2x + 3)/(x - 2) = 9`
`|x - 3| < \delta => |(2x + 3)/(x - 2) - 9| = |(-7x + 21)/(x - 2)| = 7|x - 3|/|x - 2| < \epsilon`
`|x - 3|/|x - 2| < \epsilon/7`
В принципе, можно выбрать `\delta = \epsilon/7`. Ну как бы по правилу, что если `|x - 3|` будет меньше такой дельты, то `|x - 3|/|x - 2|` и подавно будет меньше.
Правда не всегда. Проблема с промежутком `1 < x < 3`. Как вот тут быть?

@темы: Математический анализ

---

Баскетбол

[wpoms.]

В баскетболе коэффициентом эффективности игрока называют отношение заброшенных со штрафных мячей к общему количеству выполненных штрафных бросков. В конце первой половины игры коэффициент эффективности Метью был меньше 3/4, в в конце игры больше 3/4. Можно ли с уверенностью утверждать, что в некоторый момент времени его коэффициент эффективности был равен точно 3/4? Ответьте на тот же вопрос для 3/5 вместо 3/4.

@темы: Теория чисел