Общий член ряда

[alligator76]

Требуется указать общий член ряда
`1/5+21/11+121/21+...`

Весь день пытаюсь понять закономерность, ничего не выходит.
Прошу помощи.

@темы: Ряды

---

Про параллелограмм

[wpoms.]

Точка `P`, расположенная внутри треугольника `ABC`, лежит на срединном перпендикуляре стороны `AB`. Точки `Q` и `R`, расположенные вне треугольника таковы, что `BPA`, `BOC` и `CRA` - подобные треугольники. Докажите, что `PQCR` является параллелограммом.

@темы: Планиметрия

---

Метод Фурье. Уравнения математической физики.

[wammy]

Доброго дня всем!
Застрял на решении начально-граничной задачи.
Помогите развеять недопонимание.
Имеется следующая задача:

`u_t - u = u_x_x +xt(2-t)+2cost, 0 < x < pi, t > 0`
`u(x,0) = cos(2x)`
`u_x (0,t) = t^2`
`u_x (pi, t) = t^2`

Решение

Избавимся от неоднородности граничных условий:
`u = v+w,` где `w = xt^2`
Тогда исходная задача сведется к следующей:
`v_t - v = v_x_x + 2cost`
`v(x,0) = cos2x`
`v_x(0,t) = 0`
`v_x(pi,t) = 0`

Эту задачу средуцируем на две следующие:

`v = y + z`

`y:`
`y_t - y = y_x_x + 2cost`
`y(x,0) = 0`
`y_x(0, t) = 0`
`y_x(pi,t) = 0`


`z:`
`z_t - z = z_x_x`
`z(x, 0) = cos2x`
`z_x(0,t) = 0`
`z_x(pi, t) = 0`

Решим задачу для `z`:

`z = X(x)T(t)`
Тогда получим:
`(T')/ T - 1 = (X'')/ X = -lambda`
Отсюда получим спектральную задачу Штурма-Лиувиля:
`X'' + lambdaX = 0`
`X'(0) = 0`
`X'(pi) = 0`
решив которую получим, что:
`lambda_0 = 0, X_0 = 1`
`lambda_n = n^2, X_n = cosnx`

Тогда для `lambda_0 = 0` уравнение для `T`:
`T_0 = C_0 * e^t`
А для `lambda_n = n^2`:
`T_n = C_n * e^(1-n^2)`
А тогда:
`z = C_0 * e^t + sum_(n=1)^(oo) (C_n * e^((1-n^2)*t) * cosnx)`
Отсюда, вспоминая ряд Фурье, получаем, что:
`C_0 = 0`
`C_n = 1, n=2`
`C_n = 0, n !=2`
А тогда:
`z = e^(-3t)*cos2x`
И вот тут первый вопрос: я `C_0` правильно посчитал???

Вернемся к задаче для `y`:
`y = sum_(n=1)^(oo) (G_n(t)*cosnx)`
Тогда, подставив это выражение в уравнение:
`sum_(n=1)^(oo) (G'_n + (n^2-1)*G_n)*cosnx = 2*cost`
Тогда:
`2cost = sum_(n=1)^(oo) k_n*cosnx`
А тогда:
`k_n = (2 / (pi*n)) * int_0^pi (2cost*cosnx)dx = 0`
Вот это меня сильно смущает, что `k_n = 0`!
Где я ошибся, скажите, пожалуйста?

@темы: Уравнения мат. физики

---

Добрый день!Помогите с контрольной работой, сегодня уже нужно сдать(

[FeshDrag]

Буду очень признательна за помощь. Ничего не понимаю в Теориях Вероятности(
1. Среднее значение с.в. равно 104,5, среднее квадратическое отклонение-2,64.Считая, что величина имеет нормальное распределение необходимо: а)составить плотность вероятности и функцию распределения;

б) найти вероятность того, что она примет значение из интервала (100;140).

2.Число вызовов «скорой помощи» за время t образует пуассоновский поток событий с параметром 2t. Чему равно среднее число вызовов за время ?

3. Наблюдались значения:2,96; 3,07; 3,02; 2,98; 3,06; 2,92; 2,88; 3,10; 3,06; 2,95.Построить доверительный интервал для а нормального распределения N(a, σ2) надежности 0,9.

4. Вероятность получения с конвейера изделия высшего качества равна 0,8. Проверяется 800 изделий. С.в. Х – число изделий высшего качества. Укажите промежуток, в котором значения этой с.в. можно ожидать с вероятностью, не меньше 0,5.

@темы: Математический анализ, Теория вероятностей, Математическая статистика

---

Как доказать что уравнение определяет параболу и привести к каноническому виду:

[KonstantinYurlov]

x^0.5-y^0.5=4

@темы: Аналитическая геометрия

---

Решение волнового уравнения

[IWannaBeTheVeryBest]

Не могу найти, как решить уравнение с условиями
`9u_{t t} = u_{x x}`
`u_x(0, t) = u_x(2, t) = 0`
`u(x, 0) = x, 0<=x<=1; u(x, 0) = 1, 1<=x<=2`
`u_t(x, 0) = 0`
Везде, что я только не смотрел, везде рассматриваются примеры, где во втором условии данной системы фигурируют сами функции `u`, а не их производные. Вообще не знаю, что с ними делать.

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

---

Задачи по функциональному анализу

[[~PSIH~]]

Задача 1.
Пусть M - такое подмножество в полном метрическом пространстве X, что любая вещественнозначная непрерывная и ограниченная на М функция достигает своей точной верхней и точной нижней грани. Доказать, что М - компакт.

Соображения:

Соображения: Известно, что в любом метрическом пространстве компактность и секвенциальная компактность - это одно и то же. Значит нужно доказать, что любая последовательность `{x_k}_(k=1)^(oo) subset M`сходится к некоторому элементу `x in M`.
Что мы знаем? То, что `a <= f(x_k) <= A forall k`, где a и A соответственно нижняя и верхняя грани. Отрезок на R - компакт, значит у этой последовательности (точнее нужно выделить подпоследовательность, но будем считать, что всё лишнее выкинули, а остатки как нужно переобозначили) есть предельный элемент.
Видимо дальше нужно рассуждать от противного, предположив, что `{x_k}` не имеет предела, т.е. последовательность не фундаментальна, а значит `exists epsilon > 0 : forall N > 0 exists m,n > N : |x_n - x_m| > epsilon`.
И дальше не понимаю, что же делать. Задачка простая, но не могу сообразить.
P.S. Пока печатал, подумал о доказательстве через исходное определение компактности. Знаем, что отрезок компакт, значит есть конечное покрытие открытыми множествами. Функция непрерывна, значит прообраз любого открытого множества открыт. Может попытаться доказать, что эти прообразы покрывают всё М?

---

Задача 2.
Пусть `A_n in B(L_2[0,1]), A_n = A^n, (Ax)(t) = int_0^t K(t,s) x(s)ds, x in L_2 ( [0,1] ), K in L_2 ([0,1]^2)`, где `B(L_2[0,1])` - множество всех линейных непрерывных операторов на указанном пространстве. Нужно доказать, что оператор сильно сходится к нулю (т.е. доказать, что `||A_n x - 0|| -> 0, n-> oo forall x in L_2[0,1]`), и показать, что не сходится равномерно к нулю (т.е., что `||A_n||`не стремится к нулю при `n-> oo`).

Соображения:

Соображения: Непонятно, что же вообще делать. Пытался преобразовать n-кратный интеграл в какому-то приличному виду, но уже после одного интегрирования по частям получается что-то странное, и желания двигаться в этом направлении отпадает (хотя в случае, когда `K equiv 1`, интегрировать получалось, и все доказывалось).

---

Задача 3.
Пусть `x in L_2[0,2 pi]`. `(Ax)(t) = 1/(2*pi) int_0^(2*pi) x(s) ctg((t-s)/2)ds`. Доказать, что A является частичной изометрией (т.е. `L_2[0,2 pi]` распадается в прямую сумму `Ker A oplus B` и `A: quad B -> I mA` - изометрический изоморфизм).

Соображения:

Соображения: Имеется указание, что функцию нужно разложиться в ряд Фурье, и доказать, что `A: sin(nt) -> -cos(nt), A:cos(nt) -> sin(nt)`.
Но даже проинтегрировать не получается. Вообще кажется, что интеграл расходится. Вольфрам посчитать не может, по крайней мере.
Уже и пытался дифференцировать по t (условия на то, можно ли это делать, я, конечно же, не проверял, но пробовал). Получаются более-менее приличные выражения:
`y(t) = 1/(2*pi) int_0^(2*pi) sin(ns) ctg((t-s)/2)ds`, `y'(t) = -1/(2*pi) int_0^(2*pi) sin(ns)/(sin^2((t-s)/2))ds`,`y''(t) = 1/(2*pi) int_0^(2*pi) sin(ns) ctg((t-s)/2)/(sin^2((t-s)/2))ds`.
Но опять неясно, можно ли что-то из этого получить.

---

Задача 4.
Нужно найти спектр оператора (с классификацией (точечный, непрерывный и остаточный спектры)) `(Ax)(t) = -x(-t)` в `C[-1,1]`.

Соображения:

Соображения: Есть ответ: спектр исключительно точечный и состоит из +-1.
Пытался решать уравнение `-x(-t)- lambda x(t) = 0`. Но вот вопрос: как же его решать?
Понятно, что `||A||=1`, поэтому `|lambda|<=1`. Но как доказать для внутренних точек, что ядро оператора `A- lambda Id` нулевое, а образ совпадает со всем пространством при `|lambda|<1`? Пытался интегрировать уравнение и получать какие-то необходимые условия, но в этом случае получаем единственное значение -1. И вообще непонятно, можно ли так делать.
Еще нашел сопряженный оператор `A':C[-1,1]`*`(=BV_0[-1,1])->C[-1,1]`*. Он действует так: `(A'y)(t)=y(-t)`. Но что извлечь отсюда? Что можно сказать о спектре этого оператора?

В общем, вопросов много, и, думаю, они совсем не простые, но всё же надеюсь на какие-нибудь советы.

@темы: Функциональный анализ

---

Помогите решить, это для меня темный лес.

[Nyma]

Даны уравнения линии r=9/(5+4cos(ф)). Требуется:
1) Построить линию по точкам на промежутке от ф=0 до ф=2п с шагом, равным п/8;
2) Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абцисс - с полярной осью;
3) Назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

@темы: Линии второго порядка, Линии в полярной системе координат

---

Помогите

[Nyma]

Даны вершины треугольника: А(6.9),В(5.-4),С(4.6), найти используя средства векторной алгебры:
1)Длину высоты проведенной из точки А;
2)Площадь треугольника АВС;
3)Угол между сторонами ВА и ВС;
4)Координаты точки N середины стороны АС;
5)Координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2:3, считая от точки А.

@темы: Векторная алгебра

---

Доказать утверждение

[zodiyelite]

Даны две пересекающиеся не взаимно перпендикулярные прямые `A_1x+B_1y+C_1 = 0, A_2x+B_2y+C_2 = 0`Доказать, что угол между векторами `n_1 = (A_1,B_1), n_2 = (A_2,B_2)` равен тому из углов между данными прямыми, внутри которого лежат точки, принадлежащие полуплоскостям, определяемым данными прямыми, для координат точек которых левые части данных уравнений имеют противоположные знаки.

Вектор нормали, составленный из коэффициентов уравнения прямой всегда направлен в положительную полуплоскость, относительно этой прямой. Но как строго доказать, то что требуется?

@темы: Аналитическая геометрия

---

Привести к каноническому виду ДУ

[IWannaBeTheVeryBest]

Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Думал сам смогу, но что-то запоролся.
Рассматриваем 2 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`u_{x x} - 2u_{xy} - u_{yy} = 0`
Составляем характеристическое уравнение.
`dy^2 + 2dxdy - dx^2 = 0`
Решаем относительно `dy`
`D/4 = dx^2 + dx^2 = 2dx^2`
`dy = -dx(1 + sqrt(2))`
`y = -(1 + sqrt(2))x + C`
`dy = -dx(1 - sqrt(2))`
`y = (sqrt(2) - 1)*x + C`
Делаем замену `\xi = y + (1 - sqrt(2))x`; `\eta = y + (1 + sqrt(2))x`
`u_{x x} = u_{\xi \xi} * \xi_x^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_x * \eta_x + u_{\eta \eta} * \eta_x^2 + u_{\xi} * \xi_{x x} + u_{\eta} * \eta_{x x} = `
`= u_{\xi \xi} * (1 - sqrt(2))^2 - 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))^2`
`u_{y y} = u_{\xi \xi} * \xi_y^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_y * \eta_y + u_{\eta \eta} * \eta_y^2 + u_{\xi} * \xi_{y y} + u_{\eta} * \eta_{y y} = `
`= u_{\xi \xi} + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta}`
`u_{x y} = u_{\xi \xi} * \xi_x * \xi_y + u_{\xi \eta}(\xi_x * \eta_y + \xi_y * \eta_x) + y_{eta \eta} * \eta_x * \eta_y + u_{xi} * \xi_{x y} + u_{\eta} * \eta_{x y} = `
`= u_{\xi \xi}(1 - sqrt(2)) + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))`
Подставляя в уравнение я получил
`8u_{\xi \eta} = 0`
Это норма?
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет параболично.
`u_{x x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
Хар. ур-е
`dy^2 - 2dxdy + dx^2 = 0`
`(dy - dx)^2 = 0`
`y = x + C` (кр. 2)
Дело в том, что если я делаю замену `\xi = \eta = y - x`, то я получу равенство `0 = 0` в конце. Поэтому я думаю, что замену надо наверное какую-то другую делать.

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

---

Позвони мне, позвони

[wpoms.]

Девятизначный телефонный номер abcdefghi является легко запоминаемым если последовательность его первых четырех цифр abcd повторяется в последних пяти цифрах efghi. Сколько всего существует легко запоминаемых телефонных номеров?

@темы: Комбинаторика

---

Привести к каноническому виду ДУ

[IWannaBeTheVeryBest]

Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Ну тут 3 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет эллиптично.
А что со случаем `sgn(y) = 0`? Ведь тогда у нас останется уравнение `2u_{xy} + u_{yy} = 0`. Или оно тоже будет гиперболично?
Если да, то можно приводить к каноническому виду не 3 раза, а 2. Просто в одном случае я буду писать `sgn(y)`, а в другом конкретно рассмотрю случай `sgn(y) = 1`

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

---

Продолжительность телефонного разговора

[alligator76]

Продолжительность телефонного разговора распределена по показательному закону с параметром `lambda=0,25` (1/мин). Разговор по телефону - автомату прерывается через три минуты от начала разговора. Каким должно быть время до прерывания разговора, чтобы доля прерванных разговоров не превышала 1%?

Я решаю так:

Пусть `xi` - продолжительность телефонного разговора.

Функция распределения `F(lambda)=1-e^(-lambda x)=1-e^(-0,25x)

Обозначим переменной `t` время до прерывания разговора. Тогда искомая вероятность равна:

`P(xi<=t)=P(0<=xi<=t)=P(t)-P(0)=(1-e^(-0,25t))-(1-e^(0))=1-e^(-0,25t)<=0,01`

Преподаватель пишет, что я неправильно составил неравенство. Никак не могу понять, в чем ошибка.

@темы: Теория вероятностей

---

Тервер и мишень

[MestnyBomzh]

Задача: По небольшой (точечной) цели ведется стрельба снарядами, радиус поражения которых равен R, т.е. цель поражается только в случае, если снаряд разорвался на расстоянии от цели, не превышающем величину R. Рассеивание при стрельбе нормальное, круговое с нулевым математическим ожиданием и СКО, равным С. Определить вероятность поражения цели при N независимых выстрелах.

Мой вопрос: что означает, что рассеивание - нормальная СВ? Сначала я подумал, что расстояние от точки попадания до центра мишени - это СВ, но тогда она может принимать значения только `>= 0`, что противоречит нормальному распределению. Так вот, можете помочь с введением CB, которая нормально распределена?

@темы: Теория вероятностей

---

Теоретическая физика, мат модели

[...Полярная Звезда...]

всем привет!
подскажите литературу, где можно почитать про лагранжиан, гамильтониан, однопараметрическую группу, производную Ли, действие и его минимум и вообще то что связано с этими понятиями, нам сказал взять Дубровина "современная геометрия", но учебник тяжеловато написан. Сам предмет называется математические модели теоретической физики.
Спасибо

@темы: Литература

---

Задача на движение

[Alemand]

Помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи (без привлечения производной)
Из пункта А в направлении пункта В выехал грузовик со скоростью v км/ч. Через час вслед за ним из пункта А в том же направлении выехал легковой автомобиль со скоростью 60+v км/ч. Догнав грузовик. легковой автомобиль развернулся и поехал обратно в пункт А со скоростью 60-v км/ч. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых значений скорости v (в км/ч), при которых к моменту возвращения легкового автомобиля в пункт А грузовик пройдет более 90 км.

@темы: Текстовые задачи

---

43 Московская районная олимпиада по математике

[vyv2]

Условия задач появились в Интернете по крайне мере за день до начала олимпиады - смотрите otvet.mail.ru/question/196338833
Не случайно участники олимпиады заметили: " Теперь понятно почему были некоторые особы сделавшие за 30 минут "

@темы: Олимпиадные задачи

---

Треугольник

[wpoms.]

Дан треугольник `ABC`, длины сторон которого выражаются целыми числами. Вписанная в треугольник `ABC` окружность касается сторон `BC` и `AC` в точках `D` и `E`, соответственно. Пусть `-2 <= |AD|*|AD| - |BE|*|BE| <= 2`. Покажите, что `|AC| = |BC|`.

@темы: Планиметрия

---

Небольшие нюансы ТФКП

[IWannaBeTheVeryBest]

Такие 2, наверняка, простых вопроса.
1) По сути у квадратного уравнения должно быть 2 корня. Но вот как быть, если дискриминант - комплексное число? Ведь корень из такого дискриминанта даст нам 2 решения. И когда мы будем решать уравнение, то получим
`z_{1,2} = (-b +- sqrt(D))/(2a)`, где `sqrt(D)` дает 2 решения. Так получается, что корня как бы 4 у этого уравнения? Или я неправ?
2) Возведение числа в степень. Ну например `(1 + i)^2` По формуле Муавра,
`(1 + i)^2 = 2 * (cos(pi/2) + isin(pi/2)) = 2i`
Ну в принципе можно было и в прямую раскрыть скобки. Однако если делать через экспоненту
`e^(2Ln(1 + i)) = e^(2(ln(sqrt(2)) + i(pi/4 + 2pik))) = 2 * e^i(2(pi/4 + 2pik)) = 2 * (cos(pi/2 + 4pik) + isin(pi/2 + 4pik))`
В принципе, в силу периодичности синуса и косинуса ответы одинаковые получились. Но меня как-то все равно коробит от того, что в одном случае получился однозначный ответ, а в другом - многозначный. Или я неверно интерпретировал формулу Муавра и там тоже добавляется период? Или я просто зря заморачиваюсь тут?))

@темы: ТФКП