Привести к каноническому виду ДУ в каждой из областей, где его тип сохраняется.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Думал сам смогу, но что-то запоролся.
Рассматриваем 2 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`u_{x x} - 2u_{xy} - u_{yy} = 0`
Составляем характеристическое уравнение.
`dy^2 + 2dxdy - dx^2 = 0`
Решаем относительно `dy`
`D/4 = dx^2 + dx^2 = 2dx^2`
`dy = -dx(1 + sqrt(2))`
`y = -(1 + sqrt(2))x + C`
`dy = -dx(1 - sqrt(2))`
`y = (sqrt(2) - 1)*x + C`
Делаем замену `\xi = y + (1 - sqrt(2))x`; `\eta = y + (1 + sqrt(2))x`
`u_{x x} = u_{\xi \xi} * \xi_x^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_x * \eta_x + u_{\eta \eta} * \eta_x^2 + u_{\xi} * \xi_{x x} + u_{\eta} * \eta_{x x} = `
`= u_{\xi \xi} * (1 - sqrt(2))^2 - 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))^2`
`u_{y y} = u_{\xi \xi} * \xi_y^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_y * \eta_y + u_{\eta \eta} * \eta_y^2 + u_{\xi} * \xi_{y y} + u_{\eta} * \eta_{y y} = `
`= u_{\xi \xi} + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta}`
`u_{x y} = u_{\xi \xi} * \xi_x * \xi_y + u_{\xi \eta}(\xi_x * \eta_y + \xi_y * \eta_x) + y_{eta \eta} * \eta_x * \eta_y + u_{xi} * \xi_{x y} + u_{\eta} * \eta_{x y} = `
`= u_{\xi \xi}(1 - sqrt(2)) + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))`
Подставляя в уравнение я получил
`8u_{\xi \eta} = 0`
Это норма?
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет параболично.
`u_{x x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
Хар. ур-е
`dy^2 - 2dxdy + dx^2 = 0`
`(dy - dx)^2 = 0`
`y = x + C` (кр. 2)
Дело в том, что если я делаю замену `\xi = \eta = y - x`, то я получу равенство `0 = 0` в конце. Поэтому я думаю, что замену надо наверное какую-то другую делать.
`sgn(y)u_{x\x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
`D/4 = 1 - 4sgn(y)`
Думал сам смогу, но что-то запоролся.
Рассматриваем 2 случая
`sgn(y) = -1` здесь уравнение будет гиперболично.
`u_{x x} - 2u_{xy} - u_{yy} = 0`
Составляем характеристическое уравнение.
`dy^2 + 2dxdy - dx^2 = 0`
Решаем относительно `dy`
`D/4 = dx^2 + dx^2 = 2dx^2`
`dy = -dx(1 + sqrt(2))`
`y = -(1 + sqrt(2))x + C`
`dy = -dx(1 - sqrt(2))`
`y = (sqrt(2) - 1)*x + C`
Делаем замену `\xi = y + (1 - sqrt(2))x`; `\eta = y + (1 + sqrt(2))x`
`u_{x x} = u_{\xi \xi} * \xi_x^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_x * \eta_x + u_{\eta \eta} * \eta_x^2 + u_{\xi} * \xi_{x x} + u_{\eta} * \eta_{x x} = `
`= u_{\xi \xi} * (1 - sqrt(2))^2 - 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))^2`
`u_{y y} = u_{\xi \xi} * \xi_y^2 + 2u_{\xi \eta} * \xi_y * \eta_y + u_{\eta \eta} * \eta_y^2 + u_{\xi} * \xi_{y y} + u_{\eta} * \eta_{y y} = `
`= u_{\xi \xi} + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta}`
`u_{x y} = u_{\xi \xi} * \xi_x * \xi_y + u_{\xi \eta}(\xi_x * \eta_y + \xi_y * \eta_x) + y_{eta \eta} * \eta_x * \eta_y + u_{xi} * \xi_{x y} + u_{\eta} * \eta_{x y} = `
`= u_{\xi \xi}(1 - sqrt(2)) + 2u_{\xi \eta} + u_{\eta \eta} (1 + sqrt(2))`
Подставляя в уравнение я получил
`8u_{\xi \eta} = 0`
Это норма?
`sgn(y) = 1` здесь уравнение будет параболично.
`u_{x x} + 2u_{xy} + u_{yy} = 0`
Хар. ур-е
`dy^2 - 2dxdy + dx^2 = 0`
`(dy - dx)^2 = 0`
`y = x + C` (кр. 2)
Дело в том, что если я делаю замену `\xi = \eta = y - x`, то я получу равенство `0 = 0` в конце. Поэтому я думаю, что замену надо наверное какую-то другую делать.
-
-
15.12.2016 в 11:21Это норма? - в смысле "нормально"?... ну, Вы же знаете что такое "канонический вид уравнения"...
Дело в том, что если я делаю замену `\xi = \eta = y - x` - может таки новые переменные не должны равняться друг другу?...
-
-
15.12.2016 в 17:38В случае гиперболического уравнения вид должен быть такой
`u_{\xi \eta} = F(\xi, \eta, u, u_\xi, u_\eta)`
Ну у меня все в порядке, если можно считать правую часть уравнения за функцию. Просто она равна 0. Ну насколько я понял это потому, что у меня уравнение однородное.
Потом мне вдруг в голову пришла гениальная мысль - открыть учебник
-
-
15.12.2016 в 18:53-
-
15.12.2016 в 20:53Очень свежая мысль...
Дорешал. Подошла функция `\eta = x.`
Можно и так... а можно было делать ортогональное преобразование `\eta = x+y`... в общем на любителя...