На окружности

[wpoms.]

Точки окружности `A` и `B` принадлежат разным дугам, на которые окружность разбивается концами диаметра `CD`. Отрезки `EC` и `DF` перпендикулярны отрезку `AB`. Найдите `BF`, если `AE = 1` см.

@темы: Планиметрия

---

Сгорая плачут свечи

[wpoms.]

В часовне На костях (Capela dos Ossos) было несколько свечей одинакового размера. В первый день зажгли на один час одну свечу. На второй день на один час зажгли две свечи, на третий день зажгли три свечи на один час, и так далее, до последнего дня, в который зажгли все свечи на один час. В конце концов, все свечи полностью сгорели. Определите все возможности для исходного числа свечей.

@темы: Комбинаторика

---

Найти сумму

[zodiyelite]

Здравствуйте!
1 курс, указание - использовать комплексные числа

Найти `S = sin(x) + 2*sin(2*x) + 3*sin(3*x) +ldots + n*sin(n*x)`

До чего дошел - прикреплено в изображении, но как найти мнимую часть А не знаю.
Пожалуйста, подскажите, что делать дальше, а может - как стоило решать задачу более рационально.
Спасибо

@темы: Тригонометрия, Комплексные числа

---

Интеграл

[mathdon]

Помогите, пожалуйста, с интегралом:
интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности от выражения `int_(-oo)^oo [2*(1+x^2)*(4+y^2)/pi^2]dy=2*(1+x^2)*(4*y+y^3/3)`, где y равен соотв-но плюс и минус бесконечности. В итоге получается произведение числа на бесконечность... А нужно число... Что можно сделать? Заранее спасибо.

@темы: Интегралы

---

Ищу задания

[cube in cube]

Никак не могу найти задания студенческой математической олимпиады МФТИ за последние три года, их и ищу.

@темы: Литература

---

Исследовать ряд на сходимость

[Filia35]

Доброго дня!
Необходимо исследовать на сходимость следующий ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * arctg (1/(2n+3)) )`
Я поискала в интернете и увидела, что примеры такого типа обычно решаются при помощи признака Лейбница, однако мы еще этой темы не проходили и решать нужно другим способом.
Я пробовала использовать признаки сравнения и приводить данный ряд к более простому (я не уверена в этих манипуляциях):
arctg (1/(2n+3)) ~ 1/(2n+3); 1/(2n+3) ~ 1/(2n)
Откуда в конечном счете имела ряд
`sum_(n=1)^(infty) ( (-1)^n/sqrt(n) * 1/(2n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 *( (-1)^n/sqrt(n)* 1/n) ) = sum_(n=1)^(infty) ( 1/2 * ( (-1)^n/ n^(3/2) ) )`
Но вот дальше опять вопрос, я могу сравнить полученный интеграл с интегралом `sum_(n=1)^(infty) ( 1/ n^(3/2) )` и далее опять же применять признак сравнения? Я просто не знаю, что делать с (-1)^n
Прошу помощи!

@темы: Ряды

---

Функции в треугольнике

[wpoms.]

Пусть `S` - множество точек лежащих внутри данного равностороннего треугольника `ABC` с длиной стороны `1` или на его границах. Для любой точки `M in S, \ a_M, \ b_M, \ c_M` обозначают расстояния от `M` до `BC, \ CA, \ AB` соответственно. Определим `f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M)`. (a) Опишите множество `{M \in S | f(M) \geq 0 }` геометрически. (b) Найдите наименьшее и наибольшее значение `f(M)` и точки в которых они достигаются.

@темы: Функции, Планиметрия

---

Двойной интеграл

[Пушистохвост]

Здравствуйте. Помоги, пожалуйста, разобраться.



Имеется двойной интеграл:

 

`\int_{1}^{5}dx\int_{((x-1)^2)/8}^{(x-1)/2}dy`

 

Когда я решила его, то получился ответ `4/3`

 

Потом я провела изменение порядка интегрирования, и у меня получился вот такой интеграл:

 

`\int_{0}^{2}dy\int_{(sqrt(8y)+1)}^{(2y)+1}dx`

 

Когда я решила уже этот интеграл, то у меня получился ответ `-4/3`.

 

В вычислениях ошибки быть не может, пересчитывала собственноручно несколько раз и загоняла в разные онлайн-программы. Значит, ошибка где-то в изменении порядка? Но область интегрирования я находила, точки пересечения первой параболы и прямой - (1;0) и (5;2). Неправильно выражала х в определении пределов для внутреннего интеграла? Перепроверила уже кучу раз, ошибку найти не могу.

@темы: Кратные и криволинейные интегралы, Интегралы

---

Вопрос по теории вероятности

[v-sofie]

Добрый вечер!

Простой вопрос, по идеи, но голову сломала. Известно, что x1 и x2 совместно нормально распределены (известно среднее, дисперсия и коэфф. корреляции) и нас интересуют только те пары, у которых Р(х1,х2)>0.95. Известно, что х1 и х2 связаны формулой линейной регрессии: A + bx1 + cx2. Надо найти const, больше которой линейная регрессия. P(A + bx1 + cx2> const).

Как это сделать?

@темы: Теория вероятностей

---

Перестановка предельных переходов

[IWannaBeTheVeryBest]

Всем привет. Опять доказательство теоремы, в котором хотелось бы разобраться. (Фихтенгольц, том 2, гл. 14, параграф 1, пункт 505)
Пусть существует по отдельности пределы
`lim_{y->y_0} f(x, y) = phi(x)`
`lim_{x->x_0} f(x, y) = psi(y)`
Если стремление `f(x, y)` к `phi(x)` равномерное, то существуют и равны повторные пределы
`lim_{x->x_0} lim_{y->y_0} f(x, y) = lim_{y->y_0} lim_{x->x_0} f(x, y)` (1)
Доказательство начинается с условия равномерного стремления `f(x, y)` к своей предельной функции
`\forall epsilon > 0` `\exists delta > 0:` `|y - y_0|,` `|y' - y_0| < delta => |f(x, y') - f(x, y)| < epsilon`
Переходя к пределу в последнем неравенстве, при `x -> x_0`
(вот здесь первый вопрос. Зачем это делается? Я думаю потому что в левой части равенства (1) `x` при внешнем пределе стремится к `x_0`)
получаем
`|psi(y') - psi(y)| <= epsilon` (почему знак неравенства не строгий?)
Здесь выполнено условие Больцано - Коши для `psi(y)` => `lim_{y -> y_0} psi(y) = A`.
(верно ли я понимаю, что мы, используя внешний предел в левой части равенства (1), получили то, что в правой части этого равенства стоит число?)
Ясно теперь, что `|y - y_0| < delta => ` `|phi(x) - f(x, y)| <= epsilon` и `|psi(y) - A| <= epsilon` (опять почему то не строгие знаки)
Сохраняя выбранное значение `y` найдем такое `delta' > 0:` `|x - x_0| < delta' =>` `|f(x, y) - psi(y)| < epsilon` (это просто использование определение предела?)
Из всех выше указанных неравенств следует, что
`|phi(x) - A| < 3*epsilon`
Ну это более менее понятно. Только, если честно, на какой-то подгон немного похоже. Очень удобная расстановка всех функций в модулях, хотя, безусловно, под модулем эти разности функций можно как угодно писать.
Из последнего неравенства следует
`lim_{x -> x_0} phi(x) = A`
Что и требовалось доказать.
Можете ли сказать, верно ли я все понимаю? Ну хотя бы без знаков неравенства

@темы: Математический анализ

---

Многочлены Лежандра

[IWannaBeTheVeryBest]

В теме "Ортогональные системы функций" (Фихтенгольц Т3, Гл. 19, параграф 1, п. 679, пример 5) указаны многочлены Лежандра в качестве ортогональной системы функций.
Приведен интеграл
`int_{-1}^{1} P^2(x) dx = 2/(2n + 1)`
`P_0(x) = 1`
`P_n(x) = 1/((2n)!!) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n)`
Решил я разобраться с этим интегралом. Фихтенгольц меня отправляет -> Т2, гл. 9, параграф 4, п. 320, стр. 150.
Исключаем временно константу `1/(((2n)!!)^2)`
Рассмотрим интеграл
`int_{-1}^{1} (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) dx`
Интегрируем по частям
Берем первую дробь за `u` другую за `dv`. Части `uv` при подстановке пределов интегрирования будут обнуляться. При `int_{-1}^{1} vdu` будет вылезать минус.
Проделав эту операцию `n` раз, мы получаем интеграл
`(-1)^n * int_{-1}^{1} (d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) * (x^2 - 1)^n dx = 2 * (2n)! * int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx`
Здесь мне понятно все, кроме одного. Как доказать такое равенство
`(d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) = (2n)!`
Дальнейшие выкладки мне понятны. Даже дословно разобрал `int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx` при `x = sint`. Тут все ясно. Вот помогите только доказать это равенство. На него ссылок вроде Фихтенгольц не оставил(( Проще конечно на веру принять. Но если разбираться, то уж до конца. А то так просто не интересно))

@темы: Математический анализ

---

ковер

[вейко]

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Геометрия

[Dana36]

DABC правильная пирамида. Треугольник ABC основание пирамиды. DO=8 м
DO перпендикулярно ABC. T - середина DC.
Satb=15*sqrt 3/2
Найдите сторону основания пирамиды.

@темы: ЕГЭ

---

[polinapolin]

Добрый вечер!

Помогите, пожалуйста, со следующей задачей:
Рост 5000 студентов распределен нормально со средним 175 см и стандартным отклонением 8 см. Если выбрать 80 выборок по 25 студентов в каждой, какими будут среднее и стандартное отклонение средних, если выборки делаются
а) с возвращением
б) без возвращения

Не очень понимаю, что делать. Разве должны средние для выборок отличаться от генеральной совокупности?
И как тут влияет возвращение?

Заранее спасибо!

@темы: Математическая статистика

---

Число в степени

[wpoms.]

Покажите, что существует положительное целое `N` такое, что десятичное представление числа `2000^N` начинается с `200120012001`.

@темы: Теория чисел

---

Ищу книгу по теории матриц

[cube in cube]

Ищу книгу по теории матриц. Что-то наподобие Фихтенгольца, по объёму, глубине и понятности изложения.

@темы: Поиск книг

---

Коэффициент корреляции

[mathdon]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, со следующей задачей: "Найти коэффициент корреляции r между величинами x и x^2 : а) P(x=-1)=1/6; P(x=0)=1/3; P(x=1/2; б) x~R[0,1] (равномерное распределение)

@темы: Теория вероятностей

---

Разложение на множители

[wpoms.]

Найдите все целые `n` для которых многочлен `p(x) = x^5 - n*x - n - 2` может быть представлен как произведение двух многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.

@темы: Теория многочленов

---

процедура двойного интегрирования функции

[вейко]

вопрос какова геометрическая интерпритация второй первообразной?

первая как из известно дает при подстановке пределов площадь под соответсвующим участком графика

речь о о функции 1й действительной переменной ,график пусть целиком выше оси ох, ну и константы интегрирования наверно обнулим

@темы: Интегралы

---

Доказать неравенство

[cube in cube]

Пусть `f` определена на интервале `[0;2]` так что : `f(x) > 0 , f''(x) >= 0`
следует ли отсюда, что `int_0^2 f(x) dx <= 2*f(2)`
Если бы в условии было бы сказано, что функция непрерывна на заданном отрезке, то тогда это утверждение очевидно. Будет ли оно верным если функция не непрерывна на заданном промежутке?

@темы: Интегралы