Вопрос по теории вероятности

[v-sofie]

Добрый вечер!

Простой вопрос, по идеи, но голову сломала. Известно, что x1 и x2 совместно нормально распределены (известно среднее, дисперсия и коэфф. корреляции) и нас интересуют только те пары, у которых Р(х1,х2)>0.95. Известно, что х1 и х2 связаны формулой линейной регрессии: A + bx1 + cx2. Надо найти const, больше которой линейная регрессия. P(A + bx1 + cx2> const).

Как это сделать?

@темы: Теория вероятностей

Comments

[All_ex]

Р(х1,х2) - это у Вас имеется ввиду функция распределения?...

[v-sofie]

All_ex, вероятность.

[All_ex]

v-sofie, вероятность. какого события?...

[v-sofie]

All_ex, рассматриваются группы 1 и 2. В обоих группах есть распределение, нормальное, но с разными константами. И в группу входит те, для которых P(x1,x2) > 0.95. Надо найти выражение для линейного распределения того же самого.
Полностью вопрос можно тут прочитать (проблема 2, задание 2), это маленький подвопросик, который нужен для решения.
dl.dropboxusercontent.com/u/874790/Webpage/Teac...

[All_ex]

v-sofie, я не знаю Вашей системы обозначений, поэтому и пытаюсь уточнить...
Меня учили, что говоря про случайные величины и вероятности, рассматривают события - случайная величина принадлежит какому-то множеству... например, `P(-1 < X < 2)` или `P( [X;Y] in D)`...
поэтому запись `P(X)` или `P(X;Y)` мне не понятна...

[v-sofie]

All_ex, это пересечение. Т.е. одновременно х1 и х2. В 3х мерном пространстве они распределены по нормальному распределению.

х1 и х2 связаны, возрастает х1 и возрастает х2, условно.

[All_ex]

v-sofie, насколько я могу судить - это картинка плотности двумерного нормального распределения...
Но остальные слова для меня странные... ... могу спрашивать про все написанные предложения...
Что у Вас обозначает `P(x_1;x_2)` я так и не понял... может ссыль какую-нибудь дадите на определение (обозначение) ...

[v-sofie]

All_ex, да, так и есть. Нормальное двумерное, с известными параметрами. Насчет вероятности - это обычная запись двумерного распределения. Двумерное распределение, где учитываются 2 значения. Обозначает это, если по картинке брать, то как мы отрезаем хвосты одномерного распределения, и то что большинство, это 95%. Тоже и в двумерном случае, мы выделяем 95%, только в трехмерном пространстве

[All_ex]

Ещё раз посмотрел на описание задания...
В вопросе 3, стоят привычные для меня обозначения вероятностей... в данном случае условных...
Но там, где у Вас задаётся множество `Chi_1`, не понятно условие `P(x_1;x_2) > 0.95`... пишут, что определяли на лекциях... не подскажите, где их посмотреть ...

[All_ex]

v-sofie, прощу прощения... не заметил Ваш последний комментарий...

как мы отрезаем хвосты одномерного распределения - ситуация проясняется...
В остальное буду вникать завтра... ...

[All_ex]

Ну, моё представление о задаче такое...

Множество `P(x_1;x_2) > 0.95` - это некий эллипс, уравнение которого известно...
Вас интересует правая часть линейного неравенства, при которой весь эллипс будет попадать в решение...
Итого, надо найти касательную к эллипсу, которая параллельна прямой из неравенства...

Я правильно понял?...
Если, да, то в принципе это решаемая задача...

[v-sofie]

All_ex, по идеи - да. Я тут сама еще пытаюсь понять как это найти -)
Профессор ответил так:
Раз (X1,X2) двумерно нормальные, то линейная комбинация их тоже нормальная, но среднее и дисперсия другая. Мм... их-то я могу найти,.. В общем надо подумать, авось, догадаюсь -)

[All_ex]

Аааа... возникла ещё одна мысль догадка по поводу возможного алгоритма множества `P(x_1;x_2) > 0.95` ...

В свете этой догадки, для нахождения константы в неравенстве Вам надо выбирать соотвествующую квантиль распределения СВ `Z = a*X + b*Y + c` ...
Ну, тогда совсем всё просто...

[v-sofie]

All_ex, и как его найти? Мы же не знаем a,b,c. Мы можем найти среднее и дисперсию через них, но число не найдем

[All_ex]

Мы можем найти среднее и дисперсию через них, но число не найдем - Ну, число будет зависеть от параметров... но выразить его в виде формул вполне возможно...
Я так понимаю, что это типовое действие... получится что-то типа `const + a_Z + t*sigma_Z`, где `t` - квантиль стандартного нормального распределения...

[v-sofie]

`const + a_Z + t*sigma_Z`, ммм.. а что тут a_Z и sigma_Z ?
У нас есть 0, 95 и квантиль к нему = 1.96.

[All_ex]

a_Z и sigma_Z - матожидание и стандартное отклонение для СВ, которая у Вас записана как "сумма" исходных...

[v-sofie]

All_ex, мат ожидание x1 = 40, мат ожидание x2 = 3.5, стандартное отклонение x1 = 4, стандартное отклонение x2 = 0.35. Коэффициент корреляции = 0.7
Мы пишем мат ожидание E[a*x1 + b*x2 + c] = a*40 + b*3.5 + c. sigma [a*x1 + b*x2 + c] = a^2*4^2 + b^2*0.35^2 + 2*0.7*4*0.35*a*b.
Мы знаем и то, и другое, но без коэффициентов. Как я понимаю вопрос, мы знаем, что пару (x1,x2) мы должны сравнивать с 0.95. Но линейное представление - хз с чем сравнивать. Я знаю мат ожидание и отклонение, но не до числа, а до выражения.

[All_ex]

v-sofie, ... с чем сравнивать - ... лучше использовать литературные обороты...

Я всё ещё строю свои советы на догадках...
Но если последняя догадка верна, то Вы используете известный факт (подсказанный Вашим преподавателем), что `Z = a*x1 + b*x2 + c` имеет нормальное распределение `N(a;sigma^2)`... параметры этого распределения Вы нашли...
Осталось вспомнить, что `{Z - a}/{sigma}` имеет стандартное нормальное распределение...
Тогда для выход за множество `P(x_1;x_2) > 0.95` получаете неравенство `{Z - a}/{sigma} > 1.96` ... следовательно, `Z = a*x1 + b*x2 + c > (a*40 + b*3.5 + c)+ 1.96*\sqrt{a^2*4^2 + b^2*0.35^2 + 2*0.7*4*0.35*a*b}` ...
... ну, как-то так...

[v-sofie]

All_ex, да я что-то в этом роде и предполагала, но думала что с чем мы сравниваем не будет зависеть от неизвестных констант. Поэтому и были непонятки..
В любом случае, спасибо за помощь!

[All_ex]

welcome ...